Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 2 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace : plan, droite et volume

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points

$A (1; 2; 3), B (- 1; 3; 1), C (2; 1; 6) et D (3; - 2; - 1) .$

1.a. Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.

1.b. Montrer que le vecteur $n (1; 4; 1)$ est normal au plan $(A B C)$ .

1.c. En déduire une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

2.a. Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$ , perpendiculaire au plan $(A B C)$ et passant par le point $D$ .

2.b. Déterminer les coordonnées du point $H$ qui est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(A B C)$ .

2.c. En déduire que la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ est égale à $32$ .

3.a. Montrer que $cos (B A C) = - \frac{3 11}{11}$ .

3.b. En déduire la valeur exacte de $sin (B A C)$ .

3.c. Montrer que l'aire du triangle $A B C$ vaut $\frac{3 2}{2}$ .

4. Déterminer le volume du tétraèdre $A B C D$ .

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :

$V = \frac{1}{3} \times B \times h,$

où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur qui lui est associée.

Corrigé

1.a. Trois points définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires. Calculons leurs coordonnées :

$A B - 1 - 1 3 - 2 1 - 3 = - 2 1 - 2 et A C 2 - 1 1 - 2 6 - 3 = 1 - 1 3 .$

S'il existait un réel $λ$ tel que $A B = λ A C$ , la première coordonnée donnerait $- 2 = λ$ et la deuxième $1 = - λ$ , soit $λ = - 1$ : c'est contradictoire. Les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont donc pas colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent bien un plan $(A B C)$ .

1.b. Un vecteur non nul est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec l'expression analytique :

$n \cdot A B = 1 \times (- 2) + 4 \times 1 + 1 \times (- 2) = - 2 + 4 - 2 = 0,$

$n \cdot A C = 1 \times 1 + 4 \times (- 1) + 1 \times 3 = 1 - 4 + 3 = 0.$

Le vecteur $n$ , qui est non nul, est donc orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $A B$ et $A C$ du plan $(A B C)$ : c'est un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

1.c. D'après le théorème sur l'équation cartésienne d'un plan, comme $n (1; 4; 1)$ est normal à $(A B C)$ , ce plan admet une équation cartésienne de la forme

$x + 4 y + z + d = 0, d \in R .$

Le point $A (1; 2; 3)$ appartient à ce plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

$1 + 4 \times 2 + 3 + d = 0 ⟺ 12 + d = 0 ⟺ d = - 12.$

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