Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 2 — Exercice 4 : Vrai/Faux : convexité, dénombrement, probabilités, équations différentielles

1. L'affirmation 1 est FAUSSE.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de la fonction affine $u:x\mapsto -\frac{1}{2}x+3$ (de dérivée $u^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}$) et de la fonction $t\mapsto t^5$. D'après la formule ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$ :

$$f^{\prime }(x)=5\times \left(-\frac{1}{2}\right){\left(-\frac{1}{2}x+3\right)}^4=-\frac{5}{2}{\left(-\frac{1}{2}x+3\right)}^4,$$

puis

$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{5}{2}\times 4\times \left(-\frac{1}{2}\right){\left(-\frac{1}{2}x+3\right)}^3=5{\left(-\frac{1}{2}x+3\right)}^3.$$

La fonction cube conservant le signe, $f^{\prime \prime }(x)$ est du signe de $-\frac{1}{2}x+3$. Or

$$-\frac{1}{2}x+3\ge 0⟺3\ge \frac{1}{2}x⟺x\le 6.$$

Ainsi $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ sur $]-\infty ;6]$ et $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $]6;+\infty [$. La fonction $f$ est donc convexe sur $]-\infty ;6]$ et concave sur $[6;+\infty [$ : elle n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier. Le point de la courbe d'abscisse $6$ est d'ailleurs un point d'inflexion, puisque $f^{\prime \prime }$ s'y annule en changeant de signe.

Contre-exemple explicite : $f^{\prime \prime }(8)=5\times (-4+3{)}^3=5\times (-1{)}^3=-5<0$, donc la condition « $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pour tout réel $x$ » de la caractérisation de la convexité est mise en défaut.

2. L'affirmation 2 est VRAIE.

Un tirage est une liste non ordonnée de $5$ numéros deux à deux distincts choisis parmi $32$ : c'est une combinaison de $5$ éléments d'un ensemble à $32$ éléments. Le nombre total de tirages est donc :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{32}{5}\right)=\frac{32\times 31\times 30\times 29\times 28}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\frac{24165120}{120}=201376.$$

Les multiples de $8$ compris entre $1$ et $32$ sont $8$, $16$, $24$ et $32$ : il y en a $4$, et les $32-4=28$ autres jetons n'en sont pas.

Passons par l'événement contraire : un tirage ne contient aucun multiple de $8$ si et seulement si ses cinq numéros sont choisis parmi les $28$ jetons restants, ce qui donne :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{5}\right)=\frac{28\times 27\times 26\times 25\times 24}{120}=\frac{11793600}{120}=98280.$$

Le nombre de tirages contenant au moins un multiple de $8$ est donc :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{32}{5}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{5}\right)=201376-98280=103096.$$

C'est bien la valeur annoncée.

Ce que le correcteur attend : le passage par le complémentaire. Compter directement « au moins un multiple de $8$ » en écrivant $4\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{31}{4}\right)$ compterait plusieurs fois les tirages contenant deux multiples de $8$ ou davantage.

3. L'affirmation 3 est FAUSSE.

L'arbre donne les probabilités suivantes :

$$P(A)=\frac{2}{5},P_A(B)=\frac{1}{4},P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=\frac{7}{10}.$$

On en déduit d'abord les deux probabilités manquantes utiles :

$$P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5},P_{\overline{A}}(B)=1-P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}.$$

Les probabilités des deux chemins menant à $B$ s'obtiennent en multipliant le long de chaque chemin :

$$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10},$$

$$P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{10}=\frac{9}{50}.$$

Les événements $A$ et $\overline{A}$ formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne :

$$P(B)=P(A\cap B)+P\left(\overline{A}\cap B\right)=\frac{1}{10}+\frac{9}{50}=\frac{5}{50}+\frac{9}{50}=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}.$$

Comme $P(B)\ne 0$, la probabilité conditionnelle demandée vaut :

$$P_B\left(\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap B\right)}{P(B)}=\frac{\frac{9}{50}}{\frac{14}{50}}=\frac{9}{14}\approx 0,643.$$

Or $\frac{9}{14}\ne \frac{9}{50}$ : l'affirmation est fausse.

Ce que le correcteur attend : la valeur $\frac{9}{50}$ est bien celle de $P\left(\overline{A}\cap B\right)$, probabilité du chemin du bas menant à $B$. La confusion entre la probabilité d'une intersection (produit le long d'un chemin) et une probabilité conditionnelle (quotient par $P(B)$) est exactement le piège tendu ici.

4. L'affirmation 4 est VRAIE.

La fonction $h:x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. Avec $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, où $u(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ ($u^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$) et $v(x)=\sin (x)$ ($v^{\prime }(x)=\cos (x)$) :

$$h^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)+{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x).$$

Donc, pour tout réel $x$ :

$$h^{\prime }(x)+h(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)+{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)+{\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)={\mathrm{e}}^{-x}\cos (x).$$

La fonction $h$ vérifie donc l'équation $(E)$ en tout point de $\mathbb{R}$ : c'est bien une solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

L'affirmation 5 est FAUSSE.

Soit $C$ un réel et $k:x\mapsto C{\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)$. Comme $k=Ch$ et que la dérivation est linéaire, le calcul précédent donne, pour tout réel $x$ :

$$k^{\prime }(x)+k(x)=C(h^{\prime }(x)+h(x))=C{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x).$$

Pour que $k$ soit solution de $(E)$, il faudrait que $C{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)={\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)$ pour tout réel $x$, donc (en $x=0$, où ${\mathrm{e}}^0\cos (0)=1$) que $C=1$. Contre-exemple explicite : pour $C=0$, la fonction nulle vérifie $k^{\prime }+k=0$, alors que ${\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)$ vaut $1$ en $0$ : la fonction nulle n'est pas solution de $(E)$. Les fonctions proposées ne sont donc pas toutes solutions.

Les solutions de $(E)$. L'équation s'écrit $y^{\prime }=-y+{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)$. Une fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g-h$ est solution de l'équation homogène associée $y^{\prime }+y=0$, c'est-à-dire $y^{\prime }=-y$ ; en effet, $(g-h{)}^{\prime }+(g-h)=(g^{\prime }+g)-(h^{\prime }+h)$, qui est nul si et seulement si $g^{\prime }+g={\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)$. Or les solutions de $y^{\prime }=ay$ sont les fonctions $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$, ici avec $a=-1$. Les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ sont donc les fonctions

$$x⟼{\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)+C{\mathrm{e}}^{-x}={\mathrm{e}}^{-x}(\sin (x)+C),C\in \mathbb{R},$$

et non les fonctions $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{-x}\sin (x)$. Les deux familles ne coïncident que pour $C=1$.

Ce que le correcteur attend : la solution générale d'une équation différentielle avec second membre est la somme d'une solution particulière et de toutes les solutions de l'équation homogène ; la constante s'ajoute, elle ne multiplie pas la solution particulière.