Corrigé bac mathématiques 2026 Asie jour 2 — Exercice 4 : Vrai/Faux : convexité, dénombrement, probabilités, équations différentielles

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation.

Les quatre questions sont indépendantes.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par

$f (x) = (- \frac{1}{2} x + 3)^{5} .$

Affirmation 1 : La fonction $f$ est convexe sur $R$ .

2. Une urne contient $32$ jetons numérotés de $1$ à $32$ indiscernables au toucher. On tire simultanément $5$ jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

Affirmation 2 : Le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de $8$ est égal à $103096$ .

3. On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.

Affirmation 3 : $P_{B} (A) = \frac{9}{50}$ .

4. On considère l'équation différentielle

$(E) : y^{'} + y = e^{- x} cos (x),$

où $y$ est une fonction de la variable $x$ , dérivable sur $R$ .

Affirmation 4 : La fonction $h$ définie sur $R$ par $h (x) = e^{- x} sin (x)$ est solution de $(E)$ sur $R$ .

Affirmation 5 : Les solutions de $(E)$ sur $R$ sont les fonctions $k$ définies sur $R$ par

$k (x) = C e^{- x} sin (x) o u ˋ C est une constante r e ˊ elle.$

Corrigé

1. L'affirmation 1 est FAUSSE.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $R$ comme composée de la fonction affine $u : x \mapsto - \frac{1}{2} x + 3$ (de dérivée $u^{'} (x) = - \frac{1}{2}$ ) et de la fonction $t \mapsto t^{5}$ . D'après la formule $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ :

$f^{'} (x) = 5 \times (- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2} x + 3)^{4} = - \frac{5}{2} (- \frac{1}{2} x + 3)^{4},$

puis

$f^{''} (x) = - \frac{5}{2} \times 4 \times (- \frac{1}{2}) (- \frac{1}{2} x + 3)^{3} = 5 (- \frac{1}{2} x + 3)^{3} .$

La fonction cube conservant le signe, $f^{''} (x)$ est du signe de $- \frac{1}{2} x + 3$ . Or

$- \frac{1}{2} x + 3 \geq 0 ⟺ 3 \geq \frac{1}{2} x ⟺ x \leq 6.$

Ainsi $f^{''} (x) \geq 0$ sur $] - \infty; 6]$ et $f^{''} (x) < 0$ sur $] 6; + \infty [$ . La fonction $f$ est donc convexe sur $] - \infty; 6]$ et concave sur $[6; + \infty [$ : elle n'est pas convexe sur $R$ tout entier. Le point de la courbe d'abscisse $6$ est d'ailleurs un point d'inflexion, puisque $f^{''}$ s'y annule en changeant de signe.

Contre-exemple explicite : $f^{''} (8) = 5 \times (- 4 + 3)^{3} = 5 \times (- 1)^{3} = - 5 < 0$ , donc la condition « $f^{''} (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ » de la caractérisation de la convexité est mise en défaut.

2. L'affirmation 2 est VRAIE.

Un tirage est une liste non ordonnée de $5$ numéros deux à deux distincts choisis parmi $32$ : c'est une combinaison de $5$ éléments d'un ensemble à $32$ éléments. Le nombre total de tirages est donc :

$(5 32) = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{24 165 120}{120} = 201 376.$

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