Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 1 — Exercice 1 : Navire, cabines et véhicules : probabilités, variables aléatoires et Bienaymé-Tchebychev

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Partie A

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que 30 % réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, 80 % réservent une cabine.

On sait par ailleurs que 75 % des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants :

• $V$ : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule » ;
• $C$ : « la famille réserve une cabine ».

Pour un événement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

1.a. Donner $P(C)$.

1.b. Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.

2. Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

3. Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

4. Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :

• 100 euros pour une cabine ;
• 70 euros pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments. On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras. On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $E(Y)=104$ et pour variance $V(Y)=1686$.

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

1. Justifier que $E(X)=96$ et que $V(X)=3114$.

2. À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de 40 % sur les suppléments et les extras. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

2.a. Justifier que $Z=0,6(X+Y)$.

2.b. En déduire que $E(Z)=120$ et que $V(Z)=1728$, où $E(Z)$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $V(Z)$ sa variance.

3. On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $Z_1$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_2$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_n$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille.

On considère la variable aléatoire $M_n=\frac{Z_1+Z_2+\cdots +Z_n}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

On admet que les variables $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$.

3.a. Montrer que l'espérance $E(M_n)$ de la variable $M_n$ est égale à $120$, et que sa variance $V(M_n)$ est égale à $\frac{1728}{n}$.

3.b. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P(114<M_n<126)⩾0,85$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.