Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 1 — Exercice 1 : Navire, cabines et véhicules : probabilités, variables aléatoires et Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Partie A

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que 30 % réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, 80 % réservent une cabine.

On sait par ailleurs que 75 % des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants :

$V$ : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule » ;
$C$ : « la famille réserve une cabine ».

Pour un événement quelconque $E$ , on désigne par $E$ son évènement contraire et par $P (E)$ sa probabilité.

1.a. Donner $P (C)$ .

1.b. Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.

2. Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

3. Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

4. Déterminer $P_{V} (C)$ . On arrondira le résultat à $1 0^{- 2}$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :

100 euros pour une cabine ;
70 euros pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments. On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$ .

$x_{i}$	$0$	$70$	$100$	$170$
$P (X = x_{i})$	$0, 19$	$0, 06$	$0, 51$	$0, 24$

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras. On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $E (Y) = 104$ et pour variance $V (Y) = 1686$ .

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

1. Justifier que $E (X) = 96$ et que $V (X) = 3114$ .

2. À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de 40 % sur les suppléments et les extras. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

2.a. Justifier que $Z = 0, 6 (X + Y)$ .

2.b. En déduire que $E (Z) = 120$ et que $V (Z) = 1728$ , où $E (Z)$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $V (Z)$ sa variance.

3. On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $Z_{1}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_{2}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_{n}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$ -ième famille.

On considère la variable aléatoire $M_{n} = \frac{Z _{1} + Z _{2} + \dots + Z _{n}}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

On admet que les variables $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$ .

3.a. Montrer que l'espérance $E (M_{n})$ de la variable $M_{n}$ est égale à $120$ , et que sa variance $V (M_{n})$ est égale à $\frac{1728}{n}$ .

3.b. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P (114 < M_{n} < 126) ⩾ 0, 85$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

1.a. L'énoncé indique que 75 % des familles réservent une cabine. La famille étant choisie au hasard, on a donc

$P (C) = 0, 75.$

1.b. Les données de l'énoncé se lisent directement sur l'arbre :

30 % des familles réservent un emplacement pour un véhicule : $P (V) = 0, 3$ , d'où, pour l'événement contraire, $P (V) = 1 - 0, 3 = 0, 7$ ;
parmi les familles qui réservent un emplacement, 80 % réservent une cabine : c'est une probabilité conditionnelle, $P_{V} (C) = 0, 8$ , d'où $P_{V} (C) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ (la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ).

Les quatre pointillés sont donc, de gauche à droite et de haut en bas : $0, 3$ sur la branche $V$ , $0, 7$ sur la branche $V$ , $0, 8$ sur la branche $C$ issue de $V$ et $0, 2$ sur la branche $C$ issue de $V$ .

Les deux branches issues de $V$ ne sont pas demandées ici : la question 4 les déterminera.

2. L'événement « la famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine » est $V \cap C$ . La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches :

$P (V \cap C) = P (V) \times P_{V} (C) = 0, 3 \times 0, 8 = 0, 24.$

La probabilité qu'une famille réserve à la fois un emplacement pour un véhicule et une cabine est $0, 24$ .

3. On sait que la famille a réservé une cabine : on cherche la probabilité conditionnelle $P_{C} (V)$ . Par définition de la probabilité conditionnelle (on a bien $P (C) \neq = 0$ ) :

$P_{C} (V) = \frac{P ( V \cap C )}{P ( C )} = \frac{0 , 24}{0 , 75} = \frac{24}{75} = \frac{8}{25} = 0, 32.$

Sachant qu'une famille a réservé une cabine, la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule est $0, 32$ .

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre $P_{C} (V)$ (demandé ici) avec $P_{V} (C) = 0, 8$ lu sur l'arbre : l'arbre donne les probabilités conditionnelles « sachant $V$ », et non « sachant $C$ ».

4. Les événements $V$ et $V$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P (C) = P (V \cap C) + P (V \cap C) .$

On en déduit

$P (V \cap C) = P (C) - P (V \cap C) = 0, 75 - 0, 24 = 0, 51.$

Puis, par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P (V) = 0, 7 \neq = 0$ ) :

$P_{V} (C) = \frac{P ( V \cap C )}{P ( V )} = \frac{0 , 51}{0 , 7} = \frac{51}{70} \approx 0, 7286,$

soit $P_{V} (C) \approx 0, 73$ à $1 0^{- 2}$ près (et, pour compléter l'arbre, $P_{V} (C) = 1 - \frac{51}{70} = \frac{19}{70} \approx 0, 27$ ).

Interprétation : parmi les familles qui ne réservent pas d'emplacement pour un véhicule, environ 73 % réservent une cabine. C'est un peu moins que parmi les familles qui voyagent avec un véhicule (80 %).

Ce que le correcteur attend : la formule des probabilités totales écrite explicitement avant le calcul, et une phrase d'interprétation qui parle de « familles sans véhicule » (l'événement conditionnant) et non de « familles avec cabine ».

Partie B

1. L'espérance d'une variable aléatoire discrète est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités :

$E (X) = 0 \times 0, 19 + 70 \times 0, 06 + 100 \times 0, 51 + 170 \times 0, 24 = 0 + 4, 2 + 51 + 40, 8 = 96.$

La variance est l'espérance du carré de l'écart à la moyenne, $V (X) = \sum_{i} P (X = x_{i}) (x_{i} - E (X))^{2}$ :

$V (X) = 0, 19 \times (0 - 96)^{2} + 0, 06 \times (70 - 96)^{2} + 0, 51 \times (100 - 96)^{2} + 0, 24 \times (170 - 96)^{2} = 0, 19 \times 9216 + 0, 06 \times 676 + 0, 51 \times 16 + 0, 24 \times 5476 = 1751, 04 + 40, 56 + 8, 16 + 1314, 24 = 3114.$

On a bien $E (X) = 96$ et $V (X) = 3114$ .

Remarque. On peut contrôler ce résultat avec la formule $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ : $E (X^{2}) = 4900 \times 0, 06 + 10000 \times 0, 51 + 28900 \times 0, 24 = 294 + 5100 + 6936 = 12330$ , et $12330 - 9 6^{2} = 12330 - 9216 = 3114$ . On peut aussi vérifier que la loi de $X$ est cohérente avec la partie A : $P (X = 170) = P (V \cap C) = 0, 24$ , $P (X = 100) = P (V \cap C) = 0, 51$ , $P (X = 70) = P (V \cap C) = 0, 3 \times 0, 2 = 0, 06$ et $P (X = 0) = P (V \cap C) = 0, 7 - 0, 51 = 0, 19$ .

2.a. Avant réduction, une famille paie $X + Y$ euros pour les suppléments et les extras. Une remise de 40 % signifie qu'elle ne paie que $100% - 40% = 60%$ de ce montant. Le montant payé après réduction est donc

$Z = (1 - 0, 4) (X + Y) = 0, 6 (X + Y) .$

2.b. Par linéarité de l'espérance (valable sans hypothèse d'indépendance) :

$E (Z) = E (0, 6 (X + Y)) = 0, 6 (E (X) + E (Y)) = 0, 6 \times (96 + 104) = 0, 6 \times 200 = 120.$

Pour la variance, on utilise $V (a X) = a^{2} V (X)$ , puis l'additivité de la variance pour des variables indépendantes, ce que sont $X$ et $Y$ par hypothèse :

$V (Z) = 0, 6^{2} V (X + Y) = 0, 36 (V (X) + V (Y)) = 0, 36 \times (3114 + 1686) = 0, 36 \times 4800 = 1728.$

On a bien $E (Z) = 120$ et $V (Z) = 1728$ .

Ce que le correcteur attend : le facteur $0, 6$ sort de l'espérance tel quel, mais sort de la variance au carré ; et l'égalité $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ doit être justifiée par l'indépendance de $X$ et $Y$ .

3.a. Les variables $Z_{1}, \dots, Z_{n}$ suivent la même loi que $Z$ , donc pour tout $i$ , $E (Z_{i}) = 120$ et $V (Z_{i}) = 1728$ . Par linéarité de l'espérance :

$E (M_{n}) = E (\frac{Z _{1} + Z _{2} + \dots + Z _{n}}{n}) = \frac{1}{n} (E (Z_{1}) + E (Z_{2}) + \dots + E (Z_{n})) = \frac{1}{n} \times n \times 120 = 120.$

Les variables $Z_{1}, \dots, Z_{n}$ étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances ; et le facteur $\frac{1}{n}$ sort au carré :

$V (M_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} V (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} (V (Z_{1}) + \dots + V (Z_{n})) = \frac{1}{n ^{2}} \times n \times 1728 = \frac{1728}{n} .$

On retrouve le résultat du cours sur la moyenne d'un échantillon de taille $n$ : même espérance que la loi de départ, variance divisée par $n$ .

3.b. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à la variable $M_{n}$ d'espérance $120$ et de variance $\frac{1728}{n}$ , donne pour tout réel $ε > 0$ :

$P (∣ M_{n} - 120∣ ⩾ ε) ⩽ \frac{V ( M _{n} )}{ε ^{2}} .$

Or $114 < M_{n} < 126 ⟺ - 6 < M_{n} - 120 < 6 ⟺ ∣ M_{n} - 120∣ < 6$ . L'événement ${114 < M_{n} < 126}$ est donc le contraire de ${∣ M_{n} - 120∣ ⩾ 6}$ . Avec $ε = 6$ :

$P (∣ M_{n} - 120∣ ⩾ 6) ⩽ \frac{V ( M _{n} )}{6 ^{2}} = \frac{1728}{36 n} = \frac{48}{n},$

d'où, en passant à l'événement contraire :

$P (114 < M_{n} < 126) = 1 - P (∣ M_{n} - 120∣ ⩾ 6) ⩾ 1 - \frac{48}{n} .$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet donc d'affirmer que $P (114 < M_{n} < 126) ⩾ 0, 85$ dès que

$1 - \frac{48}{n} ⩾ 0, 85 ⟺ \frac{48}{n} ⩽ 0, 15 ⟺ n ⩾ \frac{48}{0 , 15} = 320$

(on a multiplié par $n > 0$ puis divisé par $0, 15 > 0$ , ce qui conserve le sens de l'inégalité). Pour $n = 320$ , le minorant vaut exactement $1 - \frac{48}{320} = 1 - 0, 15 = 0, 85$ ; pour $n ⩽ 319$ , il est strictement inférieur à $0, 85$ . Le plus petit entier cherché est donc

$n = 320.$

Interprétation : si l'on choisit au hasard un échantillon d'au moins 320 familles bénéficiant de la réduction, la probabilité que le montant moyen payé par ces familles pour les suppléments et les extras soit strictement compris entre 114 et 126 euros est d'au moins $0, 85$ . Autrement dit, avec une probabilité d'au moins 85 %, la moyenne observée s'écarte de moins de 6 euros de l'espérance $120$ euros.

Ce que le correcteur attend : le passage explicite de l'événement ${114 < M_{n} < 126}$ à son contraire ${∣ M_{n} - 120∣ ⩾ 6}$ , et la précision que $320$ est une taille suffisante au sens de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui n'est pas optimale : la probabilité réelle peut dépasser $0, 85$ pour des échantillons plus petits, mais l'inégalité ne permet pas de l'affirmer.

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