Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 1 — Exercice 2 : Vrai/Faux : géométrie dans l'espace et dénombrement

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ . On considère :

la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = t y = - 1, 5 - t z = 2 - 2 t o u ˋ t \in R;$

les points $A (3; 0; 2)$ et $B (2; 1; - 3)$ ;
le plan $(P)$ d'équation : $- x + y - 5 z - 0, 5 = 0$ .

a. Affirmation 1 : Le plan $(P)$ est orthogonal à la droite $(A B)$ , et passe par le milieu du segment $[A B]$ .

b. Affirmation 2 : Les droites $(d)$ et $(A B)$ sont sécantes.

c. On considère le point $C$ de coordonnées $(1, 5; - 3; - 1)$ .

Affirmation 3 : La mesure de l'angle $A C B$ , arrondie à $1 0^{- 1}$ , est égale à $70, 5^{\circ}$ .

2. Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :

le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre ;
celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.

N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes. Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.

On considère que les choix des codes sont équiprobables.

Affirmation 4 : Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.

Corrigé

1.a. Affirmation 1 : VRAIE.

Calculons les coordonnées du vecteur $A B$ :

$A B = 2 - 3 1 - 0 - 3 - 2 = - 1 1 - 5 .$

Le plan $(P)$ a pour équation cartésienne $- x + y - 5 z - 0, 5 = 0$ : d'après le cours, un vecteur normal à $(P)$ est le vecteur formé par les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ , soit

$n = - 1 1 - 5 .$

On constate que $n = A B$ . Le vecteur $A B$ , qui dirige la droite $(A B)$ , est donc un vecteur normal au plan $(P)$ : la droite $(A B)$ est orthogonale au plan $(P)$ .

Le milieu $I$ du segment $[A B]$ a pour coordonnées

$I (\frac{3 + 2}{2}; \frac{0 + 1}{2}; \frac{2 + ( - 3 )}{2}) = I (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}) .$

Vérifions que $I$ appartient à $(P)$ en reportant ses coordonnées dans l'équation :

$- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} - 5 \times (- \frac{1}{2}) - 0, 5 = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 0.$

L'équation est vérifiée : $I \in (P)$ . Le plan $(P)$ est orthogonal à $(A B)$ et passe par le milieu de $[A B]$ : c'est le plan médiateur du segment $[A B]$ . L'affirmation 1 est vraie.

Ce que le correcteur attend : les deux conditions doivent être vérifiées, l'une sans l'autre ne suffit pas ; et l'appartenance de $I$ à $(P)$ se prouve par le calcul $- x_{I} + y_{I} - 5 z_{I} - 0, 5 = 0$ , pas par une simple affirmation.

1.b. Affirmation 2 : FAUSSE.

Un vecteur directeur de $(d)$ se lit sur sa représentation paramétrique (coefficients de $t$ ) : $u = 1 - 1 - 2$ . Un vecteur directeur de $(A B)$ est $A B = - 1 1 - 5$ .

Les droites ne sont pas parallèles. Si $u$ et $A B$ étaient colinéaires, il existerait un réel $k$ tel que $A B = k u$ , soit $- 1 = k$ , $1 = - k$ et $- 5 = - 2 k$ . Les deux premières égalités imposent $k = - 1$ , mais alors $- 2 k = 2 \neq = - 5$ : il n'y a pas de tel $k$ . Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $(d)$ et $(A B)$ ne sont pas parallèles.

Les droites n'ont aucun point commun. La droite $(A B)$ passe par $A (3; 0; 2)$ et est dirigée par $A B$ ; une représentation paramétrique de $(A B)$ est donc

$⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - s y = s z = 2 - 5 s (s \in R) .$

On utilise un paramètre $s$ distinct du paramètre $t$ de $(d)$ , car un éventuel point d'intersection n'a aucune raison de correspondre à la même valeur du paramètre sur les deux droites. Un point commun aux deux droites correspond à un couple $(t; s)$ solution du système

$⎩ ⎨ ⎧ t = 3 - s - 1, 5 - t = s 2 - 2 t = 2 - 5 s .$

En reportant $t = 3 - s$ (première équation) dans la deuxième : $- 1, 5 - (3 - s) = s$ , soit $- 4, 5 + s = s$ , soit $- 4, 5 = 0$ , ce qui est impossible. Le système n'a pas de solution : les droites $(d)$ et $(A B)$ n'ont aucun point commun.

Deux droites ni parallèles ni sécantes sont non coplanaires. Les droites $(d)$ et $(A B)$ ne sont donc pas sécantes : l'affirmation 2 est fausse.

Autre argument. Pour tout point de $(d)$ , $x + y = t + (- 1, 5 - t) = - 1, 5$ ; pour tout point de $(A B)$ , $x + y = (3 - s) + s = 3$ . Un point commun devrait vérifier à la fois $x + y = - 1, 5$ et $x + y = 3$ : impossible.

Ce que le correcteur attend : montrer que les droites ne sont pas parallèles ne suffit pas ; dans l'espace, deux droites non parallèles peuvent ne pas se couper. Il faut résoudre le système avec deux paramètres différents.

1.c. Affirmation 3 : VRAIE.

L'angle $A C B$ a pour sommet $C$ : on calcule les vecteurs $C A$ et $C B$ :

$C A = 3 - 1, 5 0 - (- 3) 2 - (- 1) = 1, 5 33, C B = 2 - 1, 5 1 - (- 3) - 3 - (- 1) = 0, 5 4 - 2 .$

Le repère étant orthonormé, on utilise l'expression analytique du produit scalaire et de la norme :

$C A \cdot C B = 1, 5 \times 0, 5 + 3 \times 4 + 3 \times (- 2) = 0, 75 + 12 - 6 = 6, 75,$

$∥ C A ∥ = 1, 5^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 2, 25 + 9 + 9 = 20, 25 = 4, 5,$

$∥ C B ∥ = 0, 5^{2} + 4^{2} + (- 2)^{2} = 0, 25 + 16 + 4 = 20, 25 = 4, 5.$

Par définition du produit scalaire, $C A \cdot C B = ∥ C A ∥ \times ∥ C B ∥ \times cos (A C B)$ , d'où

$cos (A C B) = \frac{C A \cdot C B}{∥ C A ∥ \times ∥ C B ∥} = \frac{6 , 75}{4 , 5 \times 4 , 5} = \frac{6 , 75}{20 , 25} = \frac{1}{3} .$

À la calculatrice (en degrés), $A C B = arccos (\frac{1}{3}) \approx 70, 5 3^{\circ}$ , soit $70, 5^{\circ}$ à $1 0^{- 1}$ près. L'affirmation 3 est vraie.

Remarque. Le triangle $A B C$ est isocèle en $C$ puisque $C A = C B = 4, 5$ : cela ne sert pas ici, mais confirme la cohérence des calculs.

2. Affirmation 4 : VRAIE.

Porte A (Clotilde). Un code est une suite de 3 symboles différents, saisis dans l'ordre, choisis parmi 8 : l'ordre compte et il n'y a pas de répétition, c'est un arrangement de 3 éléments parmi 8. Par le principe multiplicatif (8 choix pour le premier symbole, 7 pour le deuxième, 6 pour le troisième) :

$A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 codes possibles .$

Les choix étant équiprobables et un seul code ouvrant la porte, la probabilité que Clotilde ouvre sa porte est

$p_{A} = \frac{1}{336} \approx 0, 0030.$

Porte B (Titouan). Un code est un ensemble de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre : l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison de 4 éléments parmi 8. Le nombre de codes possibles est

$(4 8) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70.$

Les choix étant équiprobables, la probabilité que Titouan ouvre sa porte est

$p_{B} = \frac{1}{70} \approx 0, 0143.$

Comparaison. Comme $70 < 336$ , on a $\frac{1}{70} > \frac{1}{336}$ , c'est-à-dire $p_{B} > p_{A}$ : Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde (près de cinq fois plus, puisque $\frac{336}{70} = 4, 8$ ). L'affirmation 4 est vraie.

Remarque. Si l'on préfère compter les saisies ordonnées de Titouan, il y a $A_{8}^{4} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ suites de 4 symboles différents, dont $4! = 24$ (toutes les façons d'ordonner les 4 bons symboles) ouvrent la porte : $\frac{24}{1680} = \frac{1}{70}$ , la même valeur.

Ce que le correcteur attend : la question « l'ordre compte-t-il ? » posée avant de choisir la formule : arrangement $A_{n}^{p}$ quand l'ordre compte sans répétition, combinaison $(p n)$ quand il ne compte pas. Le piège classique est d'utiliser $8^{3}$ ou $8^{4}$ , qui autoriseraient des répétitions exclues par l'énoncé (« symboles différents »).

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