Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 1 — Exercice 3 : Système de chauffage : équation différentielle et suite

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à $18^{\circ}$ C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint $20^{\circ}$ C.

Partie A : Phase de chauffage

Pour une température de la pièce variant de $18^{\circ}$ C à $20^{\circ}$ C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant $t$ , exprimé en dizaines de minutes, par une fonction $T$ définie sur $[0; + \infty [$ .

On admet que la fonction $T$ est :

dérivable sur $[0; + \infty [$ ;
solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y^{'} = - 0, 035 y + 0, 91$ où $y$ est une fonction de la variable $t$ , définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ .

On note $T^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $T$ .

On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de $18^{\circ}$ C. Ainsi $T (0) = 18$ .

1. Donner les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0; + \infty [$ .

2. En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ , on a :

$T (t) = 26 - 8 e^{- 0, 035 t} .$

3. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de $20^{\circ}$ C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

4. Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint $20^{\circ}$ C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser $28^{\circ}$ C selon ce modèle ? Justifier.

Partie B : Phase de refroidissement

Lorsque la pièce atteint la température de $20^{\circ}$ C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

On modélise la température de la pièce par la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 20$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = 0, 965 u_{n} + 0, 35 + 0, 07 e^{- 0, 1 n}$

où $n$ est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

1. Montrer que $u_{1} = 19, 72$ .

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n} > 10$ .

On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

4. On note $ℓ$ la limite de la suite $(u_{n})$ .

4.a. Justifier que cette limite est solution de l'équation $x = 0, 965 x + 0, 35$ .

4.b. Déterminer $ℓ$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à $18^{\circ}$ C.

5.a. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.


def marche() :
    n = 0
    u = 20
    while ... :
        u = ...
        n = ...
    return n

5.b. Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

Corrigé

Partie A : Phase de chauffage

1. L'équation $(E)$ : $y^{'} = - 0, 035 y + 0, 91$ est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 0, 035 \neq = 0$ et $b = 0, 91$ . D'après le théorème du cours sur les solutions de $y^{'} = a y + b$ (cas $a \neq = 0$ ), ses solutions sont les fonctions de la forme $t \mapsto C e^{a t} - \frac{b}{a}$ , où $C$ est un réel quelconque. Ici

$- \frac{b}{a} = \frac{0 , 91}{0 , 035} = \frac{910}{35} = 26,$

et $26$ est la solution constante de $(E)$ (on vérifie que $- 0, 035 \times 26 + 0, 91 = - 0, 91 + 0, 91 = 0$ ). Les solutions de $(E)$ sur $[0; + \infty [$ sont donc les fonctions

$y (t) = C e^{- 0, 035 t} + 26, C \in R .$

2. La fonction $T$ est solution de $(E)$ : il existe donc un réel $C$ tel que, pour tout $t ⩾ 0$ , $T (t) = C e^{- 0, 035 t} + 26$ . La condition initiale $T (0) = 18$ détermine $C$ :

$T (0) = C e^{0} + 26 = C + 26 = 18 ⟺ C = 18 - 26 = - 8.$

Ainsi, pour tout réel $t$ de $[0; + \infty [$ :

$T (t) = 26 - 8 e^{- 0, 035 t} .$

3. On cherche l'instant $t ⩾ 0$ tel que $T (t) = 20$ :

$26 - 8 e^{- 0, 035 t} = 20 ⟺ 8 e^{- 0, 035 t} = 6 ⟺ e^{- 0, 035 t} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .$

La fonction $ln$ étant strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ et $ln (e^{x}) = x$ :

$e^{- 0, 035 t} = \frac{3}{4} ⟺ - 0, 035 t = ln (\frac{3}{4}) ⟺ t = - \frac{ln ( \frac{3}{4} )}{0 , 035} = \frac{ln ( \frac{4}{3} )}{0 , 035} \approx 8, 2195.$

Cette solution est unique : $T^{'} (t) = 0, 28 e^{- 0, 035 t} > 0$ , donc $T$ est strictement croissante et ne prend qu'une fois la valeur $20$ . Le temps $t$ est exprimé en dizaines de minutes : $8, 2195 \times 10 \approx 82, 2$ minutes, soit, arrondi à la minute, $82$ minutes. Comme $82 = 60 + 22$ , la pièce atteint $20^{\circ}$ C au bout d'environ 1 h 22 min.

Ce que le correcteur attend : la conversion des dizaines de minutes en minutes avant l'arrondi (arrondir $8, 2$ à $8$ dizaines donnerait $1$ h $20$ min, ce qui est faux), et une valeur exacte $t = \frac{ln ( 4/3 )}{0 , 035}$ écrite avant l'approximation.

4. Pour tout réel $t ⩾ 0$ , $e^{- 0, 035 t} > 0$ (une exponentielle est strictement positive), donc $8 e^{- 0, 035 t} > 0$ et

$T (t) = 26 - 8 e^{- 0, 035 t} < 26.$

Selon ce modèle, la température de la pièce reste strictement inférieure à $26^{\circ}$ C à tout instant : elle ne pourra donc jamais dépasser $28^{\circ}$ C, même si le système ne s'éteint pas. Plus précisément, $T$ est strictement croissante et $lim_{t \to + \infty} e^{- 0, 035 t} = 0$ donne $lim_{t \to + \infty} T (t) = 26$ : la température se rapproche de $26^{\circ}$ C, l'état d'équilibre du modèle (la solution constante de $(E)$ ), sans jamais l'atteindre.

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