Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 1 — Exercice 3 : Système de chauffage : équation différentielle et suite

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à $18^{\circ}$ C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint $20^{\circ}$ C.

Partie A : Phase de chauffage

Pour une température de la pièce variant de $18^{\circ}$ C à $20^{\circ}$ C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant $t$ , exprimé en dizaines de minutes, par une fonction $T$ définie sur $[0; + \infty [$ .

On admet que la fonction $T$ est :

dérivable sur $[0; + \infty [$ ;
solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y^{'} = - 0, 035 y + 0, 91$ où $y$ est une fonction de la variable $t$ , définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ .

On note $T^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $T$ .

On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de $18^{\circ}$ C. Ainsi $T (0) = 18$ .

1. Donner les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0; + \infty [$ .

2. En déduire que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ , on a :

$T (t) = 26 - 8 e^{- 0, 035 t} .$

3. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de $20^{\circ}$ C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

4. Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint $20^{\circ}$ C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser $28^{\circ}$ C selon ce modèle ? Justifier.

Partie B : Phase de refroidissement

Lorsque la pièce atteint la température de $20^{\circ}$ C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

On modélise la température de la pièce par la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 20$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n + 1} = 0, 965 u_{n} + 0, 35 + 0, 07 e^{- 0, 1 n}$

où $n$ est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

1. Montrer que $u_{1} = 19, 72$ .

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n} > 10$ .

On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

4. On note $ℓ$ la limite de la suite $(u_{n})$ .

4.a. Justifier que cette limite est solution de l'équation $x = 0, 965 x + 0, 35$ .

4.b. Déterminer $ℓ$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à $18^{\circ}$ C.

5.a. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.


def marche() :
    n = 0
    u = 20
    while ... :
        u = ...
        n = ...
    return n

5.b. Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

Corrigé

Partie A : Phase de chauffage

1. L'équation $(E)$ : $y^{'} = - 0, 035 y + 0, 91$ est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 0, 035 \neq = 0$ et $b = 0, 91$ . D'après le théorème du cours sur les solutions de $y^{'} = a y + b$ (cas $a \neq = 0$ ), ses solutions sont les fonctions de la forme $t \mapsto C e^{a t} - \frac{b}{a}$ , où $C$ est un réel quelconque. Ici

$- \frac{b}{a} = \frac{0 , 91}{0 , 035} = \frac{910}{35} = 26,$

et $26$ est la solution constante de $(E)$ (on vérifie que $- 0, 035 \times 26 + 0, 91 = - 0, 91 + 0, 91 = 0$ ). Les solutions de $(E)$ sur $[0; + \infty [$ sont donc les fonctions

$y (t) = C e^{- 0, 035 t} + 26, C \in R .$

2. La fonction $T$ est solution de $(E)$ : il existe donc un réel $C$ tel que, pour tout $t ⩾ 0$ , $T (t) = C e^{- 0, 035 t} + 26$ . La condition initiale $T (0) = 18$ détermine $C$ :

$T (0) = C e^{0} + 26 = C + 26 = 18 ⟺ C = 18 - 26 = - 8.$

Ainsi, pour tout réel $t$ de $[0; + \infty [$ :

$T (t) = 26 - 8 e^{- 0, 035 t} .$

3. On cherche l'instant $t ⩾ 0$ tel que $T (t) = 20$ :

$26 - 8 e^{- 0, 035 t} = 20 ⟺ 8 e^{- 0, 035 t} = 6 ⟺ e^{- 0, 035 t} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .$

La fonction $ln$ étant strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ et $ln (e^{x}) = x$ :

$e^{- 0, 035 t} = \frac{3}{4} ⟺ - 0, 035 t = ln (\frac{3}{4}) ⟺ t = - \frac{ln ( \frac{3}{4} )}{0 , 035} = \frac{ln ( \frac{4}{3} )}{0 , 035} \approx 8, 2195.$

Cette solution est unique : $T^{'} (t) = 0, 28 e^{- 0, 035 t} > 0$ , donc $T$ est strictement croissante et ne prend qu'une fois la valeur $20$ . Le temps $t$ est exprimé en dizaines de minutes : $8, 2195 \times 10 \approx 82, 2$ minutes, soit, arrondi à la minute, $82$ minutes. Comme $82 = 60 + 22$ , la pièce atteint $20^{\circ}$ C au bout d'environ 1 h 22 min.

Ce que le correcteur attend : la conversion des dizaines de minutes en minutes avant l'arrondi (arrondir $8, 2$ à $8$ dizaines donnerait $1$ h $20$ min, ce qui est faux), et une valeur exacte $t = \frac{ln ( 4/3 )}{0 , 035}$ écrite avant l'approximation.

4. Pour tout réel $t ⩾ 0$ , $e^{- 0, 035 t} > 0$ (une exponentielle est strictement positive), donc $8 e^{- 0, 035 t} > 0$ et

$T (t) = 26 - 8 e^{- 0, 035 t} < 26.$

Selon ce modèle, la température de la pièce reste strictement inférieure à $26^{\circ}$ C à tout instant : elle ne pourra donc jamais dépasser $28^{\circ}$ C, même si le système ne s'éteint pas. Plus précisément, $T$ est strictement croissante et $lim_{t \to + \infty} e^{- 0, 035 t} = 0$ donne $lim_{t \to + \infty} T (t) = 26$ : la température se rapproche de $26^{\circ}$ C, l'état d'équilibre du modèle (la solution constante de $(E)$ ), sans jamais l'atteindre.

Partie B : Phase de refroidissement

1. D'après la relation de récurrence avec $n = 0$ et $u_{0} = 20$ :

$u_{1} = 0, 965 \times 20 + 0, 35 + 0, 07 e^{- 0, 1 \times 0} = 19, 3 + 0, 35 + 0, 07 \times 1 = 19, 72,$

car $e^{0} = 1$ . On a bien $u_{1} = 19, 72$ .

2. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , la propriété $P (n)$ : « $u_{n} > 10$ » est vraie.

Initialisation. $u_{0} = 20 > 10$ : $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons que, pour un certain entier naturel $k$ , $P (k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_{k} > 10$ . Montrons que $u_{k + 1} > 10$ .

En multipliant l'hypothèse de récurrence par $0, 965 > 0$ : $0, 965 u_{k} > 0, 965 \times 10 = 9, 65$ .
Par ailleurs, $e^{- 0, 1 k} > 0$ (exponentielle), donc $0, 07 e^{- 0, 1 k} > 0$ .

En additionnant membre à membre :

$u_{k + 1} = 0, 965 u_{k} + 0, 35 + 0, 07 e^{- 0, 1 k} > 9, 65 + 0, 35 + 0 = 10.$

Ainsi $P (k + 1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} > 10$ .

3. La suite $(u_{n})$ est décroissante (admis) et minorée par $10$ (question 2). D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée est convergente : la suite $(u_{n})$ converge donc vers un réel $ℓ$ , et $ℓ ⩾ 10$ .

Ce que le correcteur attend : le théorème nommé et ses deux hypothèses citées (décroissante et minorée) ; la minoration par $10$ vient de la question précédente, c'est le « en déduire » de l'énoncé.

4.a. La suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ , donc la suite $(u_{n + 1})$ converge aussi vers $ℓ$ (c'est la même suite décalée d'un rang). D'autre part, $lim_{n \to + \infty} (- 0, 1 n) = - \infty$ et $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ , donc par composition $lim_{n \to + \infty} e^{- 0, 1 n} = 0$ . Par opérations sur les limites (produit par une constante, somme) :

$n \to + \infty lim (0, 965 u_{n} + 0, 35 + 0, 07 e^{- 0, 1 n}) = 0, 965 ℓ + 0, 35 + 0 = 0, 965 ℓ + 0, 35.$

Or cette expression est $u_{n + 1}$ , dont la limite est $ℓ$ . Par unicité de la limite,

$ℓ = 0, 965 ℓ + 0, 35.$

La limite $ℓ$ est donc solution de l'équation $x = 0, 965 x + 0, 35$ .

4.b. Résolvons cette équation :

$x = 0, 965 x + 0, 35 ⟺ x - 0, 965 x = 0, 35 ⟺ 0, 035 x = 0, 35 ⟺ x = \frac{0 , 35}{0 , 035} = 10.$

L'équation a pour unique solution $10$ , donc $ℓ = 10$ .

Interprétation : si le système de chauffage ne se remettait jamais en marche, la température de la pièce diminuerait en se rapprochant de $10^{\circ}$ C sans jamais descendre en dessous (on a montré $u_{n} > 10$ pour tout $n$ ) : $10^{\circ}$ C est la température d'équilibre de la pièce non chauffée. En réalité, le chauffage se rallume dès $18^{\circ}$ C, et cette limite n'est jamais approchée.

5.a. La fonction doit parcourir les termes de la suite tant que la température est strictement supérieure à $18^{\circ}$ C, et s'arrêter au premier indice $n$ pour lequel $u_{n} ⩽ 18$ , condition de remise en marche du chauffage. À l'entrée dans la boucle, la variable u contient $u_{n}$ et la variable n contient $n$ ; on calcule $u_{n + 1}$ à partir de $u_{n}$ et de $n$ , puis on incrémente $n$ :


def marche() :
    n = 0
    u = 20
    while u > 18 :
        u = 0.965 * u + 0.35 + 0.07 * exp(-0.1 * n)
        n = n + 1
    return n

La ligne 4 traduit « tant que le chauffage n'a pas à se rallumer » (u > 18, le contraire de $u_{n} ⩽ 18$ ) ; la ligne 5 est la relation de récurrence, dans laquelle l'exposant utilise la valeur courante de n, celle de $u_{n}$ ; la ligne 6 passe au rang suivant. L'ordre des lignes 5 et 6 est essentiel : si l'on incrémentait n avant de calculer u, l'exposant serait $- 0, 1 (n + 1)$ au lieu de $- 0, 1 n$ . À la sortie de la boucle, u contient le premier terme $u_{n} ⩽ 18$ et n son indice, que la fonction renvoie. (La fonction exp suppose l'instruction from math import exp en tête du programme.)

5.b. On calcule les termes successifs de la suite avec la relation de récurrence (valeurs arrondies à $1 0^{- 3}$ ) :

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$u_{n}$	$19, 72$	$19, 443$	$19, 170$	$18, 901$	$18, 636$	$18, 376$	$18, 122$	$17, 872$

Par exemple $u_{2} = 0, 965 \times 19, 72 + 0, 35 + 0, 07 e^{- 0, 1} \approx 19, 0298 + 0, 35 + 0, 0633 \approx 19, 443$ . On lit $u_{7} \approx 18, 12 > 18$ et $u_{8} \approx 17, 87 ⩽ 18$ : le premier indice $n$ pour lequel $u_{n} ⩽ 18$ est $n = 8$ , et c'est la valeur que renvoie marche(). La suite étant décroissante, on a d'ailleurs $u_{n} ⩽ 18$ pour tout $n ⩾ 8$ .

Le système de chauffage se remettra donc en marche au bout de $8$ dizaines de minutes, c'est-à-dire $80$ minutes (1 h 20 min) après son extinction.

Ce que le correcteur attend : l'encadrement $u_{7} > 18 ⩾ u_{8}$ écrit explicitement (le programme s'arrête au premier franchissement du seuil), avec les valeurs numériques qui le justifient.

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