Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 1 — Exercice 4 : Fonction avec logarithme : étude, tangente et intégrale

Partie A

1. Le point $A(0;1)$ appartient à la courbe représentative de $f$, donc $f(0)=1$. Or

$$f(0)=a+\frac{b\ln (0+1)}{0+1}=a+\frac{b\ln (1)}{1}=a+0=a,$$

puisque $\ln (1)=0$. Ainsi $a=f(0)=1$.

2.a. Le nombre dérivé $f^{\prime }(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point d'abscisse $0$. Sur le graphique, la droite $T_A$ passe par $A(0;1)$ et par le point de coordonnées $(1;5)$ (un carreau vers la droite, quatre carreaux vers le haut). Son coefficient directeur vaut donc

$$f^{\prime }(0)=\frac{5-1}{1-0}=4.$$

2.b. Sur le graphique, au voisinage du point d'abscisse $1$, la courbe est « tournée vers le bas » : elle est située au-dessous de ses tangentes (on le voit déjà en $A$, où la courbe reste sous $T_A$), et la pente de ses tangentes diminue quand $x$ augmente, de $4$ en $A$ jusqu'à $0$ au sommet de la courbe (vers $x\approx 1,7$). La fonction $f$ est donc concave sur un intervalle contenant $1$, autrement dit $f^{\prime }$ y est décroissante. D'après la caractérisation de la convexité du cours, pour une fonction deux fois dérivable, la concavité sur un intervalle équivaut à $f^{\prime \prime }⩽0$ sur cet intervalle ; la courbe n'étant pas rectiligne autour de $1$ (pas de point d'inflexion en $1$), on lit $f^{\prime \prime }(1)<0$ : $f^{\prime \prime }(1)$ est négatif.

Vérification (hors programme de la question, qui demande une lecture graphique). Avec $b=4$, on trouvera $f^{\prime }(x)=\frac{4(1-\ln (x+1))}{(x+1{)}^2}$, d'où en dérivant à nouveau

$$f^{\prime \prime }(x)=4\times \frac{-\frac{1}{x+1}(x+1{)}^2-(1-\ln (x+1))\times 2(x+1)}{(x+1{)}^4}=\frac{4(2\ln (x+1)-3)}{(x+1{)}^3},$$

et $f^{\prime \prime }(1)=\frac{4(2\ln 2-3)}{8}=\frac{2\ln 2-3}{2}\approx -0,81<0$, ce qui confirme la lecture.

3.a. Sur $]-1;+\infty [$, on a $x+1>0$, donc $\ln (x+1)$ est bien défini et dérivable. Écrivons $f=a+b\frac{u}{v}$ avec $u(x)=\ln (x+1)$ et $v(x)=x+1$. Alors

$$u^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}\text{et}{v}^{\prime }(x)=1.$$

D'après la formule de dérivation d'un quotient, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ :

$${\left(\frac{\ln (x+1)}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{x+1}\times (x+1)-\ln (x+1)\times 1}{(x+1{)}^2}=\frac{1-\ln (x+1)}{(x+1{)}^2}.$$

La constante $a$ a une dérivée nulle, et le facteur $b$ est conservé. Donc, pour tout réel $x$ de $]-1;+\infty [$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{b(1-\ln (x+1))}{(x+1{)}^2}.$$

3.b. En appliquant cette formule en $x=0$ :

$$f^{\prime }(0)=\frac{b(1-\ln (1))}{1^2}=\frac{b(1-0)}{1}=b.$$

D'après la question 2.a, $f^{\prime }(0)=4$. Donc $b=4$.

Ce que le correcteur attend : la question 3.b est un « en déduire » : il faut relier la formule de 3.a à la lecture graphique de 2.a, et non chercher $b$ par une autre voie.

Partie B

1. Étudions la limite de $f$ en $+\infty$. Posons $X=x+1$ : lorsque $x\to +\infty$, $X\to +\infty$, et

$$\frac{\ln (x+1)}{x+1}=\frac{\ln X}{X}.$$

Par croissances comparées, $\underset{X\to +\infty }{\lim }\frac{\ln X}{X}=0$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4\ln (x+1)}{x+1}=0$ et, par somme,

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1+0=1.$$