Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 2 — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace : plan, projeté orthogonal et tétraèdre

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Dans le repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points :

$A (2; 1; 1), B (3; - 2; 0), C (0; - 1; 1) et D (0; 0; 2) .$

1. Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.

2.a. Montrer que le vecteur $n 1 - 1 4$ est normal au plan $(A B C)$ .

2.b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est :

$x - y + 4 z - 5 = 0.$

3. Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $Δ$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(A B C)$ est donnée par :

$⎩ ⎨ ⎧ x = t y = - t z = 2 + 4 t avec t \in R .$

4. Montrer que le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(A B C)$ est le point $H (- \frac{1}{6}; \frac{1}{6}; \frac{4}{3})$ .

5.a. Montrer que le triangle $A B C$ est isocèle en $B$ .

5.b. Montrer que l'aire du triangle $A B C$ est $32$ .

6.a. En déduire que le volume du tétraèdre $A B C D$ est égal à $1$ .

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V = \frac{1}{3} B h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

6.b. On admet que la distance du point $A$ au plan $(B C D)$ est égale à $2$ . En déduire l'aire du triangle $B C D$ .

7. Dans cette question, on note $D_{k}$ le point ayant pour coordonnées $(0; 0; k)$ où $k$ est un réel.

7.a. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$ , $B$ , $C$ et $D_{k}$ sont coplanaires. Quel est alors le projeté orthogonal du point $D_{k}$ sur le plan $(A B C)$ ?

7.b. Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que $A$ soit le projeté orthogonal de $D_{k}$ sur le plan $(A B C)$ ?

Corrigé

1. Trois points définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires. Calculons leurs coordonnées :

$A B 3 - 2 - 2 - 1 0 - 1 = 1 - 3 - 1 et A C 0 - 2 - 1 - 1 1 - 1 = - 2 - 2 0 .$

S'il existait un réel $λ$ tel que $A C = λ A B$ , la troisième coordonnée donnerait $0 = - λ$ , soit $λ = 0$ , et la première donnerait alors $- 2 = 0$ , ce qui est absurde. Les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont donc pas colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan $(A B C)$ .

2.a. Un vecteur non nul est normal au plan $(A B C)$ s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec l'expression analytique :

$n \cdot A B = 1 \times 1 + (- 1) \times (- 3) + 4 \times (- 1) = 1 + 3 - 4 = 0,$

$n \cdot A C = 1 \times (- 2) + (- 1) \times (- 2) + 4 \times 0 = - 2 + 2 + 0 = 0.$

Le vecteur $n$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $A B$ et $A C$ du plan $(A B C)$ : c'est un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

2.b. D'après le théorème sur l'équation cartésienne d'un plan, comme $n (1; - 1; 4)$ est normal à $(A B C)$ , ce plan admet une équation de la forme $x - y + 4 z + d = 0$ avec $d \in R$ . Le point $A (2; 1; 1)$ appartient au plan, donc :

$2 - 1 + 4 \times 1 + d = 0 ⟺ 5 + d = 0 ⟺ d = - 5.$

Une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est donc $x - y + 4 z - 5 = 0$ .

Vérification : pour $B (3; - 2; 0)$ , $3 - (- 2) + 0 - 5 = 0$ ; pour $C (0; - 1; 1)$ , $0 - (- 1) + 4 - 5 = 0$ . Les trois points vérifient bien l'équation.

3. La droite $Δ$ est orthogonale au plan $(A B C)$ : elle admet pour vecteur directeur tout vecteur normal à ce plan, en particulier $n (1; - 1; 4)$ . Elle passe par $D (0; 0; 2)$ . Un point $M (x; y; z)$ appartient à $Δ$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $D M = t n$ , soit :

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