Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 2 — Exercice 2 : Bassin à truites : modèle discret (suite) et modèle continu (équation différentielle)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un bassin destiné à l'élevage des truites contient $30000$ litres d'eau, régulièrement renouvelée. Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.

On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l'eau par une substance polluante à l'aide de deux modèles différents. Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : modèle discret

On note $V_{n}$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, $n$ heures après le début du phénomène de pollution. On a ainsi $V_{0} = 0$ .

On admet que pour tout entier naturel $n$ , $V_{n + 1} = 0, 995 V_{n} + 6$ .

1. Calculer $V_{1}$ et $V_{2}$ .

2. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures.


def volume(n):
    v = ...
    for k in range(n):
        v = ...
    return v

3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $V_{n} \leq V_{n + 1} \leq 1200$ .

4. Justifier que la suite $(V_{n})$ converge, et calculer sa limite.

Partie B : modèle continu

On note $v (t)$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l'instant $t$ , en heure.

On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ , et on note $v^{'}$ sa fonction dérivée.

On considère que le phénomène de pollution débute au temps $t = 0$ ; ainsi $v (0) = 0$ . On admet que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :

$(E) : y^{'} = - 0, 005 y + 6,$

où $y$ est une fonction inconnue et où $y^{'}$ est la fonction dérivée de $y$ .

1.a. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0; + \infty [$ .

1.b. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ :

$v (t) = 1200 (1 - e^{- 0, 005 t}) .$

1.c. Calculer la limite de $v$ en $+ \infty$ .

1.d. Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

2. Un taux de substance polluante supérieur à $5%$ du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?

3. Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l'élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas $50$ litres.

Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse $50$ litres dans le bassin. En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute.

Corrigé

Partie A : modèle discret

1. On applique la relation de récurrence à partir de $V_{0} = 0$ :

$V_{1} = 0, 995 \times V_{0} + 6 = 0, 995 \times 0 + 6 = 6,$

$V_{2} = 0, 995 \times V_{1} + 6 = 0, 995 \times 6 + 6 = 5, 97 + 6 = 11, 97.$

Une heure après le début de la pollution, le bassin contient $6$ litres de substance polluante ; après deux heures, $11, 97$ litres.

2. La variable v doit contenir $V_{0} = 0$ avant la boucle, puis la boucle for applique $n$ fois la relation $V_{k + 1} = 0, 995 V_{k} + 6$ (une fois pour chaque valeur de k de $0$ à $n - 1$ ) : après le $k$ ^e passage, v contient $V_{k}$ , et à la sortie de la boucle, $V_{n}$ .


def volume(n):
    v = 0                    # V_0 = 0
    for k in range(n):       # n passages : de V_0 a V_n
        v = 0.995 * v + 6    # V_{k+1} = 0,995 V_k + 6
    return v

Ainsi volume(2) renvoie $11, 97$ , conformément à la question 1.

3. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , la propriété $P (n)$ : « $V_{n} \leq V_{n + 1} \leq 1200$ » est vraie.

Initialisation. Pour $n = 0$ : $V_{0} = 0$ et $V_{1} = 6$ , donc $V_{0} \leq V_{1} \leq 1200$ . La propriété $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons que, pour un certain entier naturel $k$ , $P (k)$ soit vraie : $V_{k} \leq V_{k + 1} \leq 1200$ . Montrons que $P (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire $V_{k + 1} \leq V_{k + 2} \leq 1200$ .

On multiplie les trois membres de l'hypothèse de récurrence par $0, 995 > 0$ , ce qui conserve l'ordre, puis on ajoute $6$ :

$V_{k} \leq V_{k + 1} \leq 1200 ⟹ 0, 995 V_{k} \leq 0, 995 V_{k + 1} \leq 0, 995 \times 1200 = 1194$

$⟹ 0, 995 V_{k} + 6 \leq 0, 995 V_{k + 1} + 6 \leq 1194 + 6 = 1200.$

Or $0, 995 V_{k} + 6 = V_{k + 1}$ et $0, 995 V_{k + 1} + 6 = V_{k + 2}$ , d'où $V_{k + 1} \leq V_{k + 2} \leq 1200$ : $P (k + 1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété est initialisée au rang $0$ et héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n} \leq V_{n + 1} \leq 1200$ .

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