Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Vrai/Faux : probabilité conditionnelle, loi binomiale, Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On désigne par « musiciens professionnels » l'ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).

Cette étude indique que :

$52%$ des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, $32%$ sont des femmes ;
$20%$ des musiciens professionnels sont des femmes.

On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels. On note :

$O$ l'évènement : « la personne joue de la Pop » ;
$F$ l'évènement : « la personne est une femme ».

Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de $0, 832$ .

2. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à $6, 2%$ .

On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de $5000$ personnes au sein de cette population. La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.

Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a $P (X \leq 340) \approx 0, 4$ .

Affirmation 3 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de $95%$ de chance que, sur cet échantillon de $5000$ actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre $230$ et $390$ .

3. Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à $10$ personnes dont $4$ sont des musiciens professionnels. Deux équipes de $5$ joueurs s'affrontent. Elles sont chacune constituées de $2$ musiciens professionnels et de $3$ personnes qui ne le sont pas.

Affirmation 4 : On peut former ainsi $120$ équipes différentes.

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

Traduisons les données de l'énoncé avec les évènements $O$ et $F$ :

« $52%$ des musiciens jouent de la Pop » : $P (O) = 0, 52$ ;
« parmi ceux qui jouent de la Pop, $32%$ sont des femmes » : c'est une probabilité conditionnelle, $P_{O} (F) = 0, 32$ ;
« $20%$ des musiciens sont des femmes » : $P (F) = 0, 20$ .

On peut résumer la situation par l'arbre pondéré suivant (première branche : le genre musical, seconde : le sexe) :

L'affirmation porte sur la probabilité que la personne joue de la Pop sachant que c'est une femme, c'est-à-dire $P_{F} (O)$ (et non $P_{O} (F)$ : le conditionnement est renversé). Par définition de la probabilité conditionnelle, comme $P (F) = 0, 20 \neq = 0$ :

$P_{F} (O) = \frac{P ( O \cap F )}{P ( F )} .$

Or, d'après la règle du produit le long d'un chemin de l'arbre, $P (O \cap F) = P (O) \times P_{O} (F) = 0, 52 \times 0, 32 = 0, 1664$ . Donc

$P_{F} (O) = \frac{0 , 1664}{0 , 20} = 0, 832.$

Si la personne choisie est une femme, la probabilité qu'elle joue de la Pop est bien $0, 832$ : l'affirmation 1 est vraie.

Ce que le correcteur attend : la distinction entre $P_{O} (F) = 0, 32$ (donnée) et $P_{F} (O)$ (demandée), et le passage par $P (O \cap F)$ . Le résultat $0, 832 > 0, 52 = P (O)$ est cohérent : les femmes sont sur-représentées dans la Pop ( $32%$ contre $20%$ dans l'ensemble).

2. Affirmation 2 : FAUSSE.

Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise : on répète $5000$ fois, de manière identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli « la personne prélevée est un musicien professionnel », de succès de probabilité $p = 0, 062$ . La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres $n = 5000$ et $p = 0, 062$ , notée $B (5000; 0, 062)$ . Ses indicateurs sont

$E (X) = n p = 5000 \times 0, 062 = 310, V (X) = n p (1 - p) = 5000 \times 0, 062 \times 0, 938 = 290, 78,$

$σ (X) = V (X) = 290, 78 \approx 17, 05.$

À la calculatrice (fonction de répartition binomiale, binomFRép(5000, 0.062, 340) ou équivalent) :

$P (X \leq 340) = k = 0 \sum 340 (k 5 000) 0, 06 2^{k} 0, 93 8^{5000 - k} \approx 0, 962.$

En arrondissant au dixième, $P (X \leq 340) \approx 1, 0$ et non $0, 4$ : l'affirmation 2 est fausse.

Sans calculatrice, on peut déjà voir qu'elle est fausse : $340$ est supérieur à l'espérance $310$ (de presque deux écarts-types, car $310 + 2 \times 17, 05 \approx 344$ ), donc $P (X \leq 340)$ est nettement supérieure à $\frac{1}{2}$ , ce qui exclut la valeur $0, 4$ .

Ce que le correcteur attend : la loi de $X$ nommée avec ses paramètres et la justification du modèle (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, tirage assimilé à un tirage avec remise).

Affirmation 3 : VRAIE.

L'évènement « le nombre de musiciens professionnels est strictement compris entre $230$ et $390$ » s'écrit $230 < X < 390$ . Comme $E (X) = 310$ et que $230 = 310 - 80$ et $390 = 310 + 80$ , cet intervalle est centré sur l'espérance :

$230 < X < 390 ⟺ - 80 < X - 310 < 80 ⟺ ∣ X - 310∣ < 80 ⟺ ∣ X - E (X) ∣ < 80.$

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $X$ (qui admet une espérance et une variance) avec $ϵ = 80 > 0$ donne

$P (∣ X - E (X) ∣ \geq 80) \leq \frac{V ( X )}{8 0 ^{2}} = \frac{290 , 78}{6 400} \approx 0, 0454.$

En passant à l'évènement contraire :

$P (230 < X < 390) = P (∣ X - E (X) ∣ < 80) = 1 - P (∣ X - E (X) ∣ \geq 80) \geq 1 - \frac{290 , 78}{6 400} \approx 0, 9546.$

Comme $0, 9546 > 0, 95$ , l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer qu'il y a plus de $95%$ de chance que le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre $230$ et $390$ : l'affirmation 3 est vraie.

Ce que le correcteur attend : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de l'évènement $∣ X - E (X) ∣ \geq ϵ$ (l'écart « grand ») ; c'est le passage au contraire qui minore la probabilité de l'intervalle. Il faut aussi vérifier que l'intervalle est bien centré en $E (X)$ , sans quoi l'inégalité ne s'applique pas directement. (La probabilité réelle, calculée avec la loi binomiale, dépasse $0, 999$ : Bienaymé-Tchebychev ne donne qu'une minoration, mais elle suffit ici.)

3. Affirmation 4 : VRAIE.

Une équipe est un ensemble de $5$ personnes : l'ordre dans lequel on choisit ses membres n'a pas d'importance et une personne ne peut pas figurer deux fois. Former une équipe revient à effectuer successivement deux choix indépendants l'un de l'autre :

choisir les $2$ musiciens professionnels parmi les $4$ : il y a $(2 4)$ combinaisons possibles ;
choisir les $3$ personnes non musiciennes parmi les $10 - 4 = 6$ autres : il y a $(3 6)$ combinaisons possibles.

D'après le principe multiplicatif, le nombre d'équipes différentes est

$(2 4) \times (3 6) = \frac{4 !}{2 ! 2 !} \times \frac{6 !}{3 ! 3 !} = \frac{4 \times 3}{2} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 20 = 120.$

On peut donc former $120$ équipes différentes : l'affirmation 4 est vraie.

Ce que le correcteur attend : l'affirmation compte les équipes (les ensembles de $5$ joueurs vérifiant la contrainte), pas les façons de répartir les $10$ personnes en deux équipes ; comme chaque équipe détermine l'équipe adverse (les $5$ personnes restantes, qui contiennent bien $2$ musiciens et $3$ non-musiciens), il y a $\frac{120}{2} = 60$ répartitions possibles en deux équipes, mais ce n'est pas ce qui est demandé.

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