Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Vrai/Faux : probabilité conditionnelle, loi binomiale, Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On désigne par « musiciens professionnels » l'ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).

Cette étude indique que :

$52%$ des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, $32%$ sont des femmes ;
$20%$ des musiciens professionnels sont des femmes.

On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels. On note :

$O$ l'évènement : « la personne joue de la Pop » ;
$F$ l'évènement : « la personne est une femme ».

Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de $0, 832$ .

2. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à $6, 2%$ .

On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de $5000$ personnes au sein de cette population. La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.

Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a $P (X \leq 340) \approx 0, 4$ .

Affirmation 3 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de $95%$ de chance que, sur cet échantillon de $5000$ actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre $230$ et $390$ .

3. Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à $10$ personnes dont $4$ sont des musiciens professionnels. Deux équipes de $5$ joueurs s'affrontent. Elles sont chacune constituées de $2$ musiciens professionnels et de $3$ personnes qui ne le sont pas.

Affirmation 4 : On peut former ainsi $120$ équipes différentes.

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

Traduisons les données de l'énoncé avec les évènements $O$ et $F$ :

« $52%$ des musiciens jouent de la Pop » : $P (O) = 0, 52$ ;
« parmi ceux qui jouent de la Pop, $32%$ sont des femmes » : c'est une probabilité conditionnelle, $P_{O} (F) = 0, 32$ ;
« $20%$ des musiciens sont des femmes » : $P (F) = 0, 20$ .

On peut résumer la situation par l'arbre pondéré suivant (première branche : le genre musical, seconde : le sexe) :

L'affirmation porte sur la probabilité que la personne joue de la Pop sachant que c'est une femme, c'est-à-dire $P_{F} (O)$ (et non $P_{O} (F)$ : le conditionnement est renversé). Par définition de la probabilité conditionnelle, comme $P (F) = 0, 20 \neq = 0$ :

$P_{F} (O) = \frac{P ( O \cap F )}{P ( F )} .$

Or, d'après la règle du produit le long d'un chemin de l'arbre, $P (O \cap F) = P (O) \times P_{O} (F) = 0, 52 \times 0, 32 = 0, 1664$ . Donc

$P_{F} (O) = \frac{0 , 1664}{0 , 20} = 0, 832.$

Si la personne choisie est une femme, la probabilité qu'elle joue de la Pop est bien $0, 832$ : l'affirmation 1 est vraie.

Ce que le correcteur attend : la distinction entre $P_{O} (F) = 0, 32$ (donnée) et $P_{F} (O)$ (demandée), et le passage par $P (O \cap F)$ . Le résultat $0, 832 > 0, 52 = P (O)$ est cohérent : les femmes sont sur-représentées dans la Pop ( $32%$ contre $20%$ dans l'ensemble).

2. Affirmation 2 : FAUSSE.

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