Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 2 — Exercice 4 : Étude d'une fonction exponentielle, primitives et volume

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

Partie A

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $C_{f}$ dans un repère orthogonal. On note $f^{'}$ sa fonction dérivée.

On précise que :

la courbe $C_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $1$ ;
la tangente $T_{A}$ à la courbe $C_{f}$ au point $A (\frac{1}{2}; 0)$ passe par le point $B (1; e^{2})$ .

1. À l'aide du graphique ci-dessus :

1.a. Donner $f^{'} (1)$ .

1.b. Donner la solution de l'équation $f (x) = 0$ sur l'intervalle $[0; 3]$ .

2. Déterminer $f^{'} (\frac{1}{2})$ .

3. Parmi les trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$ . Indiquer lesquelles et justifier.

Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1). La dimension de $0, 3$ cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $[0, 5; α]$ . Le nombre $α$ est un réel supérieur à $1$ que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité $1$ cm.

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par :

$f (x) = (2 x - 1) e^{- 2 x + 3} .$

1.a. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ :

$f (x) = e^{2} \times \frac{2 x - 1}{e ^{2 x - 1}} .$

1.b. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ . (On pourra poser $X = 2 x - 1$ .)

2.a. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[0; + \infty [$ , $f^{'} (x) = (- 4 x + 4) e^{- 2 x + 3}$ .

Fig. 2

2.b. Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité $f (α) = 0, 15$ .

Montrer qu'il existe une unique valeur de $α$ dans l'intervalle $[1; + \infty [$ qui permette de vérifier cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Partie C

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de $0, 2$ cm.

1. On considère :

$I = \int_{0, 5}^{3, 3} f (x) d x .$

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à $3, 6$ .

2. On précise que le volume du porte-clé est égal à :

$Aire du logo \times e ˊ paisseur de la plaque .$

Déterminer le volume du porte-clé en cm $^{3}$ , arrondi au dixième.

Corrigé

Partie A

1.a. Le nombre dérivé $f^{'} (1)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_{f}$ au point $C$ d'abscisse $1$ . Cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses, donc son coefficient directeur est nul : $f^{'} (1) = 0$ . (Graphiquement, $C$ est le sommet de la courbe : $f$ atteint son maximum en $1$ .)

1.b. Les solutions de $f (x) = 0$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec l'axe des abscisses. Sur $[0; 3]$ , la courbe coupe cet axe en un seul point, le point $A (\frac{1}{2}; 0)$ : elle est en dessous de l'axe avant $A$ et au-dessus après. L'équation $f (x) = 0$ admet donc une unique solution sur $[0; 3]$ : $x = \frac{1}{2}$ .

2. Le nombre dérivé $f^{'} (\frac{1}{2})$ est le coefficient directeur de la tangente $T_{A}$ à $C_{f}$ au point $A$ . Cette droite passe par $A (\frac{1}{2}; 0)$ et $B (1; e^{2})$ , donc

$f^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{e ^{2} - 0}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{e ^{2}}{\frac{1}{2}} = 2 e^{2} \approx 14, 78.$

3. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0; + \infty [$ : par définition, $F^{'} = f$ , donc les variations de $F$ sont données par le signe de $f$ , que l'on lit sur $C_{f}$ :

sur $[0; \frac{1}{2} [$ , la courbe est sous l'axe des abscisses : $f (x) < 0$ , donc $F$ est strictement décroissante ;
$f (\frac{1}{2}) = 0$ (question 1.b) ;
sur $] \frac{1}{2}; + \infty [$ , la courbe est au-dessus de l'axe : $f (x) > 0$ , donc $F$ est strictement croissante.

Toute primitive de $f$ admet donc un minimum en $x = \frac{1}{2}$ , et en ce point sa courbe a une tangente horizontale (car $F^{'} (\frac{1}{2}) = f (\frac{1}{2}) = 0$ ).

La courbe $C_{1}$ décroît puis croît, avec un minimum au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ (elle touche l'axe des abscisses en ce point) : compatible.
La courbe $C_{2}$ décroît puis croît, avec un minimum au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ (d'ordonnée $- 2$ ) : compatible.
La courbe $C_{3}$ décroît puis croît, mais son minimum est atteint pour une abscisse voisine de $0, 9$ , différente de $\frac{1}{2}$ : sur $[\frac{1}{2}; 0, 9]$ elle décroît alors que $f > 0$ y imposerait la croissance. Elle ne représente pas une primitive de $f$ .

De plus, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : $C_{2}$ se déduit de $C_{1}$ par une translation verticale (de $- 2$ unités), ce qui est cohérent, alors que $C_{3}$ ne se déduit d'aucune des deux par une translation verticale (elle a la même asymptote horizontale que $C_{2}$ , mais son minimum est décalé vers la droite). Les courbes représentant des primitives de $f$ sont donc $C_{1}$ et $C_{2}$ .

Ce que le correcteur attend : l'argument est le lien « signe de $f$ $\Rightarrow$ variations de $F$ », avec la position exacte du minimum en $\frac{1}{2}$ ; l'observation « translatées l'une de l'autre » confirme mais ne suffit pas seule.

Partie B

1.a. Pour tout réel $x \geq 0$ , on écrit l'exposant sous la forme $- 2 x + 3 = 2 - (2 x - 1)$ . D'après les propriétés de l'exponentielle ( $e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$ ) :

$e^{- 2 x + 3} = e^{2 - (2 x - 1)} = \frac{e ^{2}}{e ^{2 x - 1}}, donc f (x) = (2 x - 1) \times \frac{e ^{2}}{e ^{2 x - 1}} = e^{2} \times \frac{2 x - 1}{e ^{2 x - 1}} .$

1.b. Posons $X = 2 x - 1$ . Quand $x \to + \infty$ , $X \to + \infty$ , et $f (x) = e^{2} \times \frac{X}{e ^{X}}$ . Par croissances comparées, $X \to + \infty lim \frac{e ^{X}}{X} = + \infty$ , donc, par passage à l'inverse, $X \to + \infty lim \frac{X}{e ^{X}} = 0$ . D'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, puis par produit par la constante $e^{2}$ :

$x \to + \infty lim f (x) = e^{2} \times 0 = 0.$

La droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $C_{f}$ en $+ \infty$ , ce que confirme le graphique de la partie A.

Ce que le correcteur attend : sans la transformation d'écriture, $lim (2 x - 1) = + \infty$ et $lim e^{- 2 x + 3} = 0$ donnent la forme indéterminée « $\infty \times 0$ » : il faut la lever par la croissance comparée, d'où l'intérêt de la question 1.a.

2.a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ comme produit de $u : x \mapsto 2 x - 1$ (dérivable, $u^{'} (x) = 2$ ) et de $w : x \mapsto e^{- 2 x + 3}$ (dérivable comme composée, $w^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x + 3}$ d'après $(e^{v})^{'} = v^{'} e^{v}$ ). Avec $(u w)^{'} = u^{'} w + u w^{'}$ :

$f^{'} (x) = 2 e^{- 2 x + 3} + (2 x - 1) \times (- 2) e^{- 2 x + 3} = (2 - 4 x + 2) e^{- 2 x + 3} = (- 4 x + 4) e^{- 2 x + 3} .$

2.b. Pour tout réel $x$ , $e^{- 2 x + 3} > 0$ : le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $- 4 x + 4 = 4 (1 - x)$ , qui est strictement positif sur $[0; 1 [$ , nul en $1$ et strictement négatif sur $] 1; + \infty [$ . La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0; 1]$ et strictement décroissante sur $[1; + \infty [$ . Les valeurs remarquables sont

$f (0) = (0 - 1) e^{3} = - e^{3} \approx - 20, 09, f (1) = (2 - 1) e^{- 2 + 3} = e \approx 2, 72, x \to + \infty lim f (x) = 0.$

$x$	$0$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$- e^{3}$	$↗$	$e$	$↘$	$0$

La valeur $0$ à droite est une limite, non atteinte. On retrouve $f^{'} (1) = 0$ et le maximum $e$ au point $C$ (partie A), ainsi que $f (\frac{1}{2}) = 0$ et $f^{'} (\frac{1}{2}) = 2 e^{2}$ .

3. Traduction de la contrainte. Le contour du logo est formé, au-dessus de l'axe des abscisses, de la portion de $C_{f}$ sur $[0, 5; α]$ et, en dessous, de son image par la symétrie d'axe $(O x)$ , c'est-à-dire la courbe de $- f$ . Pour $x \geq \frac{1}{2}$ , on a $2 x - 1 \geq 0$ donc $f (x) \geq 0$ : à l'abscisse $α$ , le point haut du contour a pour ordonnée $f (α)$ et le point bas $- f (α)$ . La largeur du logo à son extrémité droite, mesurée verticalement, vaut donc $f (α) - (- f (α)) = 2 f (α)$ . Le repère étant orthonormé d'unité $1$ cm, la contrainte « $0, 3$ cm » s'écrit

$2 f (α) = 0, 3 ⟺ f (α) = 0, 15.$

Existence et unicité. Sur l'intervalle $[1; + \infty [$ , la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante (question 2.b), avec $f (1) = e \approx 2, 72$ et $x \to + \infty lim f (x) = 0$ . Comme $0 < 0, 15 < e$ , le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection, étendu à un intervalle non borné en remplaçant $f (b)$ par la limite en $+ \infty$ ) assure que l'équation $f (x) = 0, 15$ admet une unique solution $α$ dans $[1; + \infty [$ .

Valeur approchée. À la calculatrice :

$f (3, 3) = 5, 6 e^{- 3, 6} \approx 0, 153 > 0, 15 et f (3, 4) = 5, 8 e^{- 3, 8} \approx 0, 130 < 0, 15,$

donc, $f$ étant strictement décroissante sur $[1; + \infty [$ , $3, 3 < α < 3, 4$ . Pour arrondir au dixième, on teste le milieu : $f (3, 35) = 5, 7 e^{- 3, 7} \approx 0, 141 < 0, 15$ , donc $3, 3 < α < 3, 35$ et $α \approx 3, 3$ (au dixième). Une valeur plus précise est $α \approx 3, 312$ .

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses du corollaire (continuité, stricte monotonie, valeur cible comprise entre les images ou limites aux bornes) doivent être citées ; l'unicité sur $[1; + \infty [$ est due à la stricte décroissance. (Sur $[0; 1]$ , l'équation $f (x) = 0, 15$ a aussi une solution, voisine de $0, 51$ , mais $α > 1$ par hypothèse.)

Partie C

1. On a $I = \int_{0, 5}^{3, 3} (2 x - 1) e^{- 2 x + 3} d x$ . Posons, pour appliquer la formule $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$ :

$⎩ ⎨ ⎧ u^{'} (x) = e^{- 2 x + 3} v (x) = 2 x - 1 ⟹ u (x) = - \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}, ⟹ v^{'} (x) = 2.$

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0, 5; 3, 3]$ et leurs dérivées y sont continues. Par intégration par parties :

$I = [- \frac{1}{2} (2 x - 1) e^{- 2 x + 3}]_{0, 5}^{3, 3} - \int_{0, 5}^{3, 3} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}) \times 2 d x,$

soit

$I = [- \frac{1}{2} (2 x - 1) e^{- 2 x + 3}]_{0, 5}^{3, 3} + \int_{0, 5}^{3, 3} e^{- 2 x + 3} d x .$

Une primitive de $x \mapsto e^{- 2 x + 3}$ est $x \mapsto - \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}$ . Calculons les deux termes :

$[- \frac{1}{2} (2 x - 1) e^{- 2 x + 3}]_{0, 5}^{3, 3} = - \frac{1}{2} \times 5, 6 e^{- 3, 6} - (- \frac{1}{2} \times 0 \times e^{2}) = - 2, 8 e^{- 3, 6},$

$\int_{0, 5}^{3, 3} e^{- 2 x + 3} d x = [- \frac{1}{2} e^{- 2 x + 3}]_{0, 5}^{3, 3} = - \frac{1}{2} e^{- 3, 6} + \frac{1}{2} e^{2} .$

D'où la valeur exacte

$I = - 2, 8 e^{- 3, 6} - 0, 5 e^{- 3, 6} + \frac{e ^{2}}{2} = \frac{e ^{2}}{2} - 3, 3 e^{- 3, 6} .$

Numériquement, $\frac{e ^{2}}{2} \approx 3, 6945$ et $3, 3 e^{- 3, 6} \approx 0, 0902$ , donc $I \approx 3, 6044$ , soit $I \approx 3, 6$ arrondi au dixième.

Remarque. Le calcul montre que $F (x) = - x e^{- 2 x + 3}$ est une primitive de $f$ (on vérifie : $F^{'} (x) = - e^{- 2 x + 3} + 2 x e^{- 2 x + 3} = (2 x - 1) e^{- 2 x + 3}$ ), et $I = F (3, 3) - F (0, 5)$ . Les primitives $F + C$ ont un minimum en $\frac{1}{2}$ et tendent vers $C$ en $+ \infty$ : c'est bien l'allure de $C_{1}$ (avec $C = \frac{e ^{2}}{2}$ ) et de $C_{2}$ (avec $C = \frac{e ^{2}}{2} - 2$ ) de la partie A.

2. La surface grisée est délimitée, sur $[0, 5; α]$ avec $α \approx 3, 3$ , par la courbe de $f$ (au-dessus) et celle de $- f$ (en dessous). Comme $f \geq 0$ sur cet intervalle, son aire est

$A = \int_{0, 5}^{3, 3} (f (x) - (- f (x))) d x = 2 \int_{0, 5}^{3, 3} f (x) d x = 2 I \approx 7, 209 cm^{2},$

l'unité d'aire valant $1$ cm $^{2}$ puisque le repère est orthonormé d'unité $1$ cm. (Par symétrie, l'aire de la moitié inférieure est égale à celle de la moitié supérieure, qui vaut $I$ . Remplacer $α \approx 3, 312$ par la borne $3, 3$ de l'intégrale $I$ néglige une bande de largeur $0, 012$ et de hauteur $0, 3$ au plus, d'aire inférieure à $0, 004$ cm $^{2}$ : sans effet sur l'arrondi demandé.) Le volume du porte-clé est alors

$V = A \times 0, 2 = 2 I \times 0, 2 = 0, 4 I \approx 0, 4 \times 3, 6044 \approx 1, 4418 cm^{3} .$

Le volume du porte-clé est d'environ $1, 4$ cm $^{3}$ (arrondi au dixième).

Ce que le correcteur attend : l'aire du logo est $2 I$ et non $I$ (la partie symétrique compte), et l'on utilise la valeur non arrondie de $I$ pour arrondir le résultat final ; ici $0, 4 \times 3, 6 = 1, 44$ conduit au même arrondi $1, 4$ .

Poser une question au tuteur sur ce sujet