Corrigé bac mathématiques 2026 Métropole jour 2 — Exercice 4 : Étude d'une fonction exponentielle, primitives et volume

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie A

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $C_{f}$ dans un repère orthogonal. On note $f^{'}$ sa fonction dérivée.

On précise que :

la courbe $C_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $1$ ;
la tangente $T_{A}$ à la courbe $C_{f}$ au point $A (\frac{1}{2}; 0)$ passe par le point $B (1; e^{2})$ .

1. À l'aide du graphique ci-dessus :

1.a. Donner $f^{'} (1)$ .

1.b. Donner la solution de l'équation $f (x) = 0$ sur l'intervalle $[0; 3]$ .

2. Déterminer $f^{'} (\frac{1}{2})$ .

3. Parmi les trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$ . Indiquer lesquelles et justifier.

Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1). La dimension de $0, 3$ cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $[0, 5; α]$ . Le nombre $α$ est un réel supérieur à $1$ que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité $1$ cm.

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par :

$f (x) = (2 x - 1) e^{- 2 x + 3} .$

1.a. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ :

$f (x) = e^{2} \times \frac{2 x - 1}{e ^{2 x - 1}} .$

1.b. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ . (On pourra poser $X = 2 x - 1$ .)

2.a. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[0; + \infty [$ , $f^{'} (x) = (- 4 x + 4) e^{- 2 x + 3}$ .

Fig. 2

2.b. Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité $f (α) = 0, 15$ .

Montrer qu'il existe une unique valeur de $α$ dans l'intervalle $[1; + \infty [$ qui permette de vérifier cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Partie C

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de $0, 2$ cm.

1. On considère :

$I = \int_{0, 5}^{3, 3} f (x) d x .$

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à $3, 6$ .

2. On précise que le volume du porte-clé est égal à :

$Aire du logo \times e ˊ paisseur de la plaque .$

Déterminer le volume du porte-clé en cm $^{3}$ , arrondi au dixième.

Corrigé

Partie A

1.a. Le nombre dérivé $f^{'} (1)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_{f}$ au point $C$ d'abscisse $1$ . Cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses, donc son coefficient directeur est nul : $f^{'} (1) = 0$ . (Graphiquement, $C$ est le sommet de la courbe : $f$ atteint son maximum en $1$ .)

1.b. Les solutions de $f (x) = 0$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec l'axe des abscisses. Sur $[0; 3]$ , la courbe coupe cet axe en un seul point, le point $A (\frac{1}{2}; 0)$ : elle est en dessous de l'axe avant $A$ et au-dessus après. L'équation $f (x) = 0$ admet donc une unique solution sur $[0; 3]$ : $x = \frac{1}{2}$ .

2. Le nombre dérivé $f^{'} (\frac{1}{2})$ est le coefficient directeur de la tangente $T_{A}$ à $C_{f}$ au point $A$ . Cette droite passe par $A (\frac{1}{2}; 0)$ et $B (1; e^{2})$ , donc

$f^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{e ^{2} - 0}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{e ^{2}}{\frac{1}{2}} = 2 e^{2} \approx 14, 78.$

3. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0; + \infty [$ : par définition, $F^{'} = f$ , donc les variations de $F$ sont données par le signe de $f$ , que l'on lit sur $C_{f}$ :

sur $[0; \frac{1}{2} [$ , la courbe est sous l'axe des abscisses : $f (x) < 0$ , donc $F$ est strictement décroissante ;
$f (\frac{1}{2}) = 0$ (question 1.b) ;
sur $] \frac{1}{2}; + \infty [$ , la courbe est au-dessus de l'axe : $f (x) > 0$ , donc $F$ est strictement croissante.

Toute primitive de $f$ admet donc un minimum en $x = \frac{1}{2}$ , et en ce point sa courbe a une tangente horizontale (car $F^{'} (\frac{1}{2}) = f (\frac{1}{2}) = 0$ ).

La courbe $C_{1}$ décroît puis croît, avec un minimum au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ (elle touche l'axe des abscisses en ce point) : compatible.
La courbe $C_{2}$ décroît puis croît, avec un minimum au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ (d'ordonnée $- 2$ ) : compatible.
La courbe $C_{3}$ décroît puis croît, mais son minimum est atteint pour une abscisse voisine de $0, 9$ , différente de $\frac{1}{2}$ : sur $[\frac{1}{2}; 0, 9]$ elle décroît alors que $f > 0$ y imposerait la croissance. Elle ne représente pas une primitive de $f$ .

De plus, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : $C_{2}$ se déduit de $C_{1}$ par une translation verticale (de $- 2$ unités), ce qui est cohérent, alors que $C_{3}$ ne se déduit d'aucune des deux par une translation verticale (elle a la même asymptote horizontale que $C_{2}$ , mais son minimum est décalé vers la droite). Les courbes représentant des primitives de $f$ sont donc $C_{1}$ et $C_{2}$ .

Ce que le correcteur attend : l'argument est le lien « signe de $f$ $\Rightarrow$ variations de $F$ », avec la position exacte du minimum en $\frac{1}{2}$ ; l'observation « translatées l'une de l'autre » confirme mais ne suffit pas seule.

Partie B

1.a. Pour tout réel $x \geq 0$ , on écrit l'exposant sous la forme $- 2 x + 3 = 2 - (2 x - 1)$ . D'après les propriétés de l'exponentielle ( $e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$ ) :

$e^{- 2 x + 3} = e^{2 - (2 x - 1)} = \frac{e ^{2}}{e ^{2 x - 1}}, donc f (x) = (2 x - 1) \times \frac{e ^{2}}{e ^{2 x - 1}} = e^{2} \times \frac{2 x - 1}{e ^{2 x - 1}} .$

1.b. Posons $X = 2 x - 1$ . Quand $x \to + \infty$ , $X \to + \infty$ , et $f (x) = e^{2} \times \frac{X}{e ^{X}}$ . Par croissances comparées, $X \to + \infty lim \frac{e ^{X}}{X} = + \infty$ , donc, par passage à l'inverse, $X \to + \infty lim \frac{X}{e ^{X}} = 0$ . D'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, puis par produit par la constante $e^{2}$ :

$x \to + \infty lim f (x) = e^{2} \times 0 = 0.$

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