Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 1 : Planches de surf : arbre pondéré et urne

Partie A

1. Les données de l'énoncé se traduisent ainsi :

• « les planches en mousse représentent 80 % du stock » donne $P(M)=0,8$, d'où $P(\overline{M})=1-0,8=0,2$ ;
• « 75 % des planches en mousse sont en bon état » est une probabilité conditionnelle : $P_M(B)=0,75$. Les autres planches en mousse sont recyclées, donc $P_M(R)=1-0,75=0,25$ (une planche en mousse n'est jamais consolidée : c'est pourquoi aucune branche $C$ ne part de $M$) ;
• « 60 % des planches en résine sont en bon état » donne $P_{\overline{M}}(B)=0,60$.

Les deux branches $R$ et $C$ issues de $\overline{M}$ ne sont pas données par l'énoncé : la question 2.b les déterminera. L'arbre complété avec les seules données de l'énoncé est donc :

2.a. L'événement $\overline{M}\cap R$ est réalisé lorsque la planche choisie est à la fois en résine (donc pas en mousse) et destinée à être recyclée. L'égalité $P(\overline{M}\cap R)=0,05$ signifie donc : la probabilité que la planche choisie au hasard soit une planche en résine qui sera recyclée vaut $0,05$ ; autrement dit, 5 % des planches de l'école sont des planches en résine qui seront recyclées.

Ce que le correcteur attend : une intersection, pas un conditionnement. Il ne s'agit pas de « 5 % des planches en résine seront recyclées » (ce serait $P_{\overline{M}}(R)$), mais de 5 % de l'ensemble des planches.

2.b. La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités portées par ses branches :

$$P(\overline{M}\cap R)=P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(R).$$

Comme $P(\overline{M})=0,2\ne 0$, on en déduit

$$P_{\overline{M}}(R)=\frac{P(\overline{M}\cap R)}{P(\overline{M})}=\frac{0,05}{0,2}=0,25.$$

Une planche en résine est en bon état, ou consolidée, ou recyclée : les trois branches $B$, $R$ et $C$ issues de $\overline{M}$ décrivent trois éventualités incompatibles qui recouvrent tous les cas. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$, donc

$$P_{\overline{M}}(B)+P_{\overline{M}}(R)+P_{\overline{M}}(C)=1,$$

c'est-à-dire

$$P_{\overline{M}}(C)=1-0,60-0,25=0,15.$$

Sachant que la planche choisie est en résine, la probabilité qu'elle soit consolidée pour la saison suivante est bien $0,15$. L'arbre est ainsi complété : la branche $R$ issue de $\overline{M}$ porte $0,25$ et la branche $C$ porte $0,15$.

3. Les événements $M$ et $\overline{M}$ sont de probabilités non nulles et forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$$P(B)=P(M\cap B)+P(\overline{M}\cap B)=P(M)\times P_M(B)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(B).$$

D'où

$$P(B)=0,8\times 0,75+0,2\times 0,60=0,60+0,12=0,72.$$

Or $\frac{3}{4}=0,75$ et $0,72<0,75$. La proportion de planches en bon état après une saison est donc de 72 %, ce qui est strictement inférieur aux trois quarts : la gérante a tort.

Ce que le correcteur attend : la formule des probabilités totales écrite avant le calcul, la comparaison menée avec $\frac{3}{4}$ converti en $0,75$, et une conclusion rédigée dans le contexte (et non le seul nombre $0,72$).

Partie B

1. L'urne contient $5$ boules noires et $n$ boules rouges, soit $n+5$ boules au total, indiscernables au toucher : tous les tirages de deux boules sont équiprobables. Le client tire les deux boules simultanément : l'ordre n'intervient pas et il n'y a pas de répétition possible. Un tirage est donc une combinaison de $2$ boules parmi $n+5$, et le nombre de tirages possibles est

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+5}{2}\right).$$

L'événement « gagner une remise » est « les deux boules sont de même couleur » ; il est la réunion des deux événements incompatibles « les deux boules sont noires » et « les deux boules sont rouges ». Les tirages qui leur sont favorables sont respectivement au nombre de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$ et de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$. Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles :

$$p=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+5}{2}\right)}.$$

2. D'après la formule $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{2}\right)=\frac{N(N-1)}{2}$ :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5\times 4}{2}=10,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2},\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+5}{2}\right)=\frac{(n+5)(n+4)}{2}.$$

En reportant, puis en multipliant le numérateur et le dénominateur par $2$ :

$$p=\frac{10+\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{(n+5)(n+4)}{2}}=\frac{2\times \left(10+\frac{n(n-1)}{2}\right)}{(n+5)(n+4)}=\frac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.$$

3. Le nombre $n$ est un entier naturel, donc $(n+5)(n+4)>0$ : on peut multiplier l'inéquation par ce dénominateur sans en changer le sens.

$$\begin{array}{rl}p<\frac{1}{2}& ⟺\frac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}<\frac{1}{2}\\ & ⟺2(20+n(n-1))<(n+5)(n+4)\\ & ⟺40+2n^2-2n<n^2+9n+20\\ & ⟺n^2-11n+20<0.\end{array}$$

Étudions le signe du trinôme $T(n)=n^2-11n+20$. Son discriminant vaut

$$\Delta =(-11{)}^2-4\times 1\times 20=121-80=41>0,$$

donc $T$ admet deux racines réelles :

$$n_1=\frac{11-\sqrt{41}}{2}\approx 2,30\text{et}{n}_2=\frac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8,70.$$

Le coefficient dominant est $1>0$ : le trinôme est strictement négatif entre les racines, c'est-à-dire pour $n\in \left]\frac{11-\sqrt{41}}{2};\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right[$. Comme $n$ est un entier naturel, on obtient

$$n\in \{3;4;5;6;7;8\}.$$

La gérante peut donc mettre $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ ou $8$ boules rouges dans l'urne.

Contrôle des valeurs limites : pour $n=2$, $p=\frac{20+2}{7\times 6}=\frac{22}{42}\approx 0,524>0,5$ ; pour $n=3$, $p=\frac{26}{56}\approx 0,464<0,5$ ; pour $n=8$, $p=\frac{76}{156}\approx 0,487<0,5$ ; pour $n=9$, $p=\frac{92}{182}\approx 0,505>0,5$. Les bornes $3$ et $8$ sont bien les valeurs extrêmes convenables.

Ce que le correcteur attend : ne pas « passer au produit en croix » sans justifier la positivité du dénominateur, et surtout conclure par un ensemble d'entiers — un intervalle de réels ne répond pas à la question, puisque $n$ est un nombre de boules.