Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 1 : Planches de surf : arbre pondéré et urne

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d'autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent 80 % du stock de l'école.

La gérante observe qu'après chaque saison,

75 % des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables) ;
60 % des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.

Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s'intéresse aux événements suivants :

$M$ : « La planche est en mousse » ;
$B$ : « La planche est en bon état » ;
$R$ : « La planche sera recyclée » ;
$C$ : « La planche sera consolidée ».

Partie A

1. Recopier et compléter sur la copie l'arbre pondéré ci-dessous avec les données de l'énoncé.

Il sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

2. On sait que $P (M \cap R) = 0, 05$ .

2.a. Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice.

2.b. On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est $0, 15$ .

3. La gérante affirme qu'après une saison, au moins $\frac{3}{4}$ des planches sont en bon état. A-t-elle raison ?

Partie B

La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante.

Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client :

Une urne contient 5 boules noires et un nombre $n$ de boules rouges.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Le client tire simultanément deux boules dans l'urne.

Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise, sinon, il perd le jeu et n'obtient pas de remise.

1. Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est :

$\frac{( 2 5 ) + ( 2 n )}{( 2 n + 5 )} .$

2. En déduire que la probabilité $p$ peut s'écrire :

$\frac{20 + n ( n - 1 )}{( n + 5 ) ( n + 4 )} .$

3. La gérante souhaite s'assurer que la probabilité de gagner est inférieure à $\frac{1}{2}$ . Déterminer pour cela l'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut mettre dans l'urne.

Corrigé

Partie A

1. Les données de l'énoncé se traduisent ainsi :

« les planches en mousse représentent 80 % du stock » donne $P (M) = 0, 8$ , d'où $P (M) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ ;
« 75 % des planches en mousse sont en bon état » est une probabilité conditionnelle : $P_{M} (B) = 0, 75$ . Les autres planches en mousse sont recyclées, donc $P_{M} (R) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ (une planche en mousse n'est jamais consolidée : c'est pourquoi aucune branche $C$ ne part de $M$ ) ;
« 60 % des planches en résine sont en bon état » donne $P_{M} (B) = 0, 60$ .

Les deux branches $R$ et $C$ issues de $M$ ne sont pas données par l'énoncé : la question 2.b les déterminera. L'arbre complété avec les seules données de l'énoncé est donc :

2.a. L'événement $M \cap R$ est réalisé lorsque la planche choisie est à la fois en résine (donc pas en mousse) et destinée à être recyclée. L'égalité $P (M \cap R) = 0, 05$ signifie donc : la probabilité que la planche choisie au hasard soit une planche en résine qui sera recyclée vaut $0, 05$ ; autrement dit, 5 % des planches de l'école sont des planches en résine qui seront recyclées.

Ce que le correcteur attend : une intersection, pas un conditionnement. Il ne s'agit pas de « 5 % des planches en résine seront recyclées » (ce serait $P_{M} (R)$ ), mais de 5 % de l'ensemble des planches.

2.b. La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités portées par ses branches :

$P (M \cap R) = P (M) \times P_{M} (R) .$

Comme $P (M) = 0, 2 \neq = 0$ , on en déduit

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