Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 2 : Vrai ou faux : limites, convexité, intégration, équation différentielle

def mystere(n):
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f * k
    return f

1. L'affirmation 1 est fausse.

Développons : pour tout réel $x$,

$$f(x)=(x+1){\mathrm{e}}^{-x}=x{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{-x}=\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}.$$

D'une part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$, donc par quotient $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}=0$. D'autre part, d'après le théorème des croissances comparées,

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}=+\infty ,\text{donc}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}=0.$$

Par somme,

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0+0=0.$$

La limite de $f$ en $+\infty$ vaut $0$ (la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$), et non $+\infty$ : l'affirmation est fausse.

Ce que le correcteur attend : le produit $(x+1){\mathrm{e}}^{-x}$ est une forme indéterminée « $+\infty \times 0$ » ; on ne peut pas conclure sans lever l'indétermination, et c'est le théorème des croissances comparées qui le permet — il doit être nommé.

2. L'affirmation 2 est vraie.

La fonction $g:x\mapsto x{\mathrm{e}}^x$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions qui le sont. En dérivant le produit $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)={\mathrm{e}}^x$ (donc $u^{\prime }(x)=1$ et $v^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$) :

$$g^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^x+x\times {\mathrm{e}}^x=(x+1){\mathrm{e}}^x.$$

En dérivant une seconde fois, de la même manière :

$$g^{\prime \prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^x+(x+1){\mathrm{e}}^x=(x+2){\mathrm{e}}^x.$$

Pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$ : le signe de $g^{\prime \prime }(x)$ est donc celui de $x+2$. Or, pour $x\in [-2;+\infty [$, on a $x⩾-2$, c'est-à-dire $x+2⩾0$, donc

$$g^{\prime \prime }(x)⩾0\text{pour tout }x\in [-2;+\infty [.$$

D'après la caractérisation de la convexité par la dérivée seconde, la fonction $g$ est convexe sur $[-2;+\infty [$ : l'affirmation est vraie.

Remarque. Le point d'abscisse $-2$ est un point d'inflexion de la courbe de $g$ : $g^{\prime \prime }$ s'y annule en changeant de signe. La fonction $g$ est concave sur $]-\infty ;-2]$.

3. L'affirmation 3 est fausse.

Écrivons la fonction à intégrer sous la forme d'un produit $u^{\prime }v$ en posant

$$u^{\prime }(x)=\sin x⟹u(x)=-\cos x,v(x)=x⟹v^{\prime }(x)=1.$$

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0;\pi ]$ et leurs dérivées $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ y sont continues. D'après la formule d'intégration par parties ${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ :

$${\int }_0^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x=[-x\cos x{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }(-\cos x)\times 1\mathrm{d}x=[-x\cos x{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x.$$

Or $[-x\cos x{]}_0^{\pi }=-\pi \cos (\pi )-(-0\times \cos 0)=-\pi \times (-1)-0=\pi$, et ${\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x=[\sin x{]}_0^{\pi }=\sin (\pi )-\sin (0)=0-0=0$. Finalement

$${\int }_0^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x=\pi +0=\pi \ne -\pi .$$

L'intégration par parties conduit donc à $\pi$, et non à $-\pi$ : l'affirmation est fausse.

Ce que le correcteur attend : un contrôle de signe immédiat suffisait à rejeter $-\pi$. Sur $[0;\pi ]$, on a $x⩾0$ et $\sin x⩾0$, donc la fonction intégrée est positive : par positivité de l'intégrale (les bornes étant dans le bon ordre), ${\int }_0^{\pi }x\sin x\mathrm{d}x⩾0$, ce qui interdit la valeur $-\pi <0$.

4. L'affirmation 4 est vraie.

L'équation $(E):y^{\prime }=2y-5$ est de la forme $y^{\prime }=ay+b$ avec $a=2\ne 0$ et $b=-5$. D'après le cours, ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions

$$x⟼C{\mathrm{e}}^{ax}-\frac{b}{a}=C{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{5}{2},C\in \mathbb{R},$$

et il existe une unique solution vérifiant une condition initiale donnée. Cherchons celle qui vaut $1$ en $0$ :

$$C{\mathrm{e}}^0+\frac{5}{2}=1⟺C+\frac{5}{2}=1⟺C=1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}.$$

L'unique solution de $(E)$ valant $1$ en $0$ est donc $x\mapsto -\frac{3}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{5}{2}$, c'est-à-dire exactement la fonction $h$ : l'affirmation est vraie.

Vérification directe. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$$h^{\prime }(x)=-\frac{3}{2}\times 2{\mathrm{e}}^{2x}=-3{\mathrm{e}}^{2x},$$

tandis que

$$2h(x)-5=2\left(-\frac{3}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{5}{2}\right)-5=-3{\mathrm{e}}^{2x}+5-5=-3{\mathrm{e}}^{2x}.$$

On a bien $h^{\prime }(x)=2h(x)-5$ pour tout réel $x$, donc $h$ est solution de $(E)$ ; et $h(0)=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=\frac{2}{2}=1$.

Ce que le correcteur attend : l'affirmation dit « la solution », avec un article défini. Vérifier que $h$ est une solution valant $1$ en $0$ ne suffit pas tout à fait : il faut invoquer l'unicité de la solution vérifiant une condition initiale donnée, ce que fait la résolution générale ci-dessus.

5. L'affirmation 5 est vraie.

La fonction mystere initialise f à $1$ (ligne 2), puis multiplie successivement f par $k$ pour $k$ allant de $1$ à $n$ — la commande range(1, n+1) parcourt les entiers $1,2,\dots ,n$, la borne supérieure étant exclue — avant de renvoyer f (ligne 5). Elle calcule donc le produit $1\times 2\times \cdots \times n$, c'est-à-dire la factorielle $n!$.

Déroulons l'exécution de mystere(5) :

puis, au dernier passage, $k=5$ donne $\text{f}=24\times 5=120$. La boucle s'arrête et la fonction renvoie

$$\text{mystere(5)}=5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120.$$

L'affirmation est vraie.

Ce que le correcteur attend : le piège classique est de croire que range(1, n+1) s'arrête à $n-1$. La borne inférieure est incluse, la borne supérieure est exclue : range(1, 6) parcourt bien $1$, $2$, $3$, $4$, $5$.