Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 2 : Vrai ou faux : limites, convexité, intégration, équation différentielle

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ .

Affirmation 1 : La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ .

2. On considère la fonction $g$ définie sur $R$ par $g (x) = x e^{x}$ .

Affirmation 2 : La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle sur $[- 2; + \infty [$ .

3. Affirmation 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir :

$\int_{0}^{π} x sin x d x = - π .$

4. On considère l'équation différentielle $(E) : y^{'} = 2 y - 5$ et la fonction $h$ définie sur $R$ par $h (x) = - \frac{3}{2} e^{2 x} + \frac{5}{2}$ .

Affirmation 4 : La fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vaut 1 en 0.

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python :


def mystere(n):
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f * k
    return f

Affirmation 5 : Le nombre renvoyé lors de l'exécution de mystere(5) est 120.

Corrigé

1. L'affirmation 1 est fausse.

Développons : pour tout réel $x$ ,

$f (x) = (x + 1) e^{- x} = x e^{- x} + e^{- x} = \frac{x}{e ^{x}} + \frac{1}{e ^{x}} .$

D'une part, $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ , donc par quotient $x \to + \infty lim \frac{1}{e ^{x}} = 0$ . D'autre part, d'après le théorème des croissances comparées,

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty, donc x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0.$

Par somme,

$x \to + \infty lim f (x) = 0 + 0 = 0.$

La limite de $f$ en $+ \infty$ vaut $0$ (la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+ \infty$ ), et non $+ \infty$ : l'affirmation est fausse.

Ce que le correcteur attend : le produit $(x + 1) e^{- x}$ est une forme indéterminée « $+ \infty \times 0$ » ; on ne peut pas conclure sans lever l'indétermination, et c'est le théorème des croissances comparées qui le permet — il doit être nommé.

2. L'affirmation 2 est vraie.

La fonction $g : x \mapsto x e^{x}$ est deux fois dérivable sur $R$ comme produit de fonctions qui le sont. En dérivant le produit $uv$ avec $u (x) = x$ et $v (x) = e^{x}$ (donc $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = e^{x}$ ) :

$g^{'} (x) = 1 \times e^{x} + x \times e^{x} = (x + 1) e^{x} .$

En dérivant une seconde fois, de la même manière :

$g^{''} (x) = 1 \times e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x} .$

Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ : le signe de $g^{''} (x)$ est donc celui de $x + 2$ . Or, pour $x \in [- 2; + \infty [$ , on a $x ⩾ - 2$ , c'est-à-dire $x + 2 ⩾ 0$ , donc

$g^{''} (x) ⩾ 0 pour tout x \in [- 2; + \infty [.$

D'après la caractérisation de la convexité par la dérivée seconde, la fonction $g$ est convexe sur $[- 2; + \infty [$ : l'affirmation est vraie.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, partie par partie, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Corrigé complet gratuit →