Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 3 : Suite définie par u_{n+1}=ln(3u_n²+1) et étude de limite

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty [$ par :

$f (x) = ln (3 x^{2} + 1) .$

On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0; + \infty [$ .

Partie A

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :

$u_{0} = 2 et pour tout entier n ⩾ 0 : u_{n + 1} = ln (3 u_{n}^{2} + 1) .$

1. Calculer $u_{1}$ .

2. La suite $(u_{n})$ est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $(u_{n})$ .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$2 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4.$

4. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

Partie B

On note $ℓ$ la limite de la suite $(u_{n})$ .

Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $ℓ$ .

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ par :

$g (x) = ln (3 x^{2} + 1) - x .$

1. On note $g^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $g$ . Démontrer que pour tout réel $x \in [0; + \infty [$ ,

$g^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} + 6 x - 1}{3 x ^{2} + 1} .$

2. Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2; 4]$ .

3. Démontrer que l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $[2; 4]$ et en donner une valeur approchée à $1 0^{- 2}$ près.

4. Justifier que $ℓ = α$ .

Corrigé

Partie A

1. On applique la relation de récurrence au rang $n = 0$ , avec $u_{0} = 2$ :

$u_{1} = ln (3 u_{0}^{2} + 1) = ln (3 \times 2^{2} + 1) = ln (12 + 1) = ln (13) .$

La valeur exacte est $u_{1} = ln 13$ , soit $u_{1} \approx 2, 5649$ , c'est-à-dire $u_{1} \approx 2, 56$ à $1 0^{- 2}$ près.

2. Sur le graphique, les points $(n; u_{n})$ montent régulièrement de $u_{0} = 2$ jusqu'à un palier atteint vers $n = 7$ ou $8$ , au-delà duquel ils paraissent tous alignés à la même hauteur, un peu en dessous de la graduation $4$ . On lit ce palier entre $3, 7$ et $3, 8$ (environ $3, 8$ ).

On conjecture donc que :

la suite $(u_{n})$ est croissante ;
la suite $(u_{n})$ est convergente, vers une limite $ℓ$ voisine de $3, 8$ (en tout cas majorée par $4$ ).

3. Démontrons par récurrence la propriété $P (n)$ : « $2 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4$ ».

Initialisation. On a $u_{0} = 2$ et $u_{1} = ln 13$ . Comme $e^{2} \approx 7, 39 < 13$ et que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ , on a $ln 13 > ln (e^{2}) = 2$ ; par ailleurs $ln 13 \approx 2, 56 ⩽ 4$ . Donc

$2 ⩽ u_{0} ⩽ u_{1} ⩽ 4,$

et $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel quelconque. Supposons $P (n)$ vraie, c'est-à-dire $2 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4$ . Ces quatre nombres appartiennent à $[0; + \infty [$ , où la fonction $f$ est croissante (résultat admis par l'énoncé) ; en appliquant $f$ à cet encadrement, l'ordre est conservé :

$f (2) ⩽ f (u_{n}) ⩽ f (u_{n + 1}) ⩽ f (4) .$

Or, par définition de la suite, $f (u_{n}) = u_{n + 1}$ et $f (u_{n + 1}) = u_{n + 2}$ , tandis que

$f (2) = ln (3 \times 4 + 1) = ln 13 et f (4) = ln (3 \times 16 + 1) = ln 49.$

On obtient donc $ln 13 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n + 2} ⩽ ln 49$ . Il reste à comparer ces deux bornes à $2$ et $4$ :

$ln 13 ⩾ 2$ , déjà établi à l'initialisation ;
$e^{4} \approx 54, 6 > 49$ , donc $ln 49 < ln (e^{4}) = 4$ , toujours par stricte croissance de $ln$ .

Par transitivité,

$2 ⩽ ln 13 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n + 2} ⩽ ln 49 ⩽ 4,$

c'est-à-dire $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n + 2} ⩽ 4$ : la propriété $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété $P (0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ ,

$2 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4.$

Ce que le correcteur attend : l'hérédité s'obtient en appliquant la croissance de $f$ à l'encadrement supposé — c'est la seule information dont on dispose sur $f$ , et elle est admise. Il faut aussi vérifier que les bornes obtenues, $ln 13$ et $ln 49$ , referment bien l'encadrement dans $[2; 4]$ : sans cela, l'hérédité n'est pas démontrée.

4. D'après la question 3, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ : la suite $(u_{n})$ est croissante ;
$u_{n} ⩽ 4$ : la suite $(u_{n})$ est majorée par $4$ .

D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée est convergente : la suite $(u_{n})$ converge donc vers une limite réelle $ℓ$ , et par passage à la limite dans l'encadrement $2 ⩽ u_{n} ⩽ 4$ , on a $2 ⩽ ℓ ⩽ 4$ . Cela confirme la conjecture de la question 2.

Ce que le correcteur attend : le théorème de convergence monotone donne l'existence de la limite, mais pas sa valeur : $4$ est un majorant, ce n'est pas la limite. C'est tout l'objet de la partie B.

Partie B

1. Posons $u (x) = 3 x^{2} + 1$ . Pour tout $x \in [0; + \infty [$ , on a $u (x) ⩾ 1 > 0$ : la fonction $ln \circ u$ est bien définie et dérivable, de dérivée $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u^{'} (x) = 6 x$ . Donc, pour tout $x \in [0; + \infty [$ :

$g^{'} (x) = \frac{6 x}{3 x ^{2} + 1} - 1.$

En réduisant au même dénominateur $3 x^{2} + 1$ :

$g^{'} (x) = \frac{6 x}{3 x ^{2} + 1} - \frac{3 x ^{2} + 1}{3 x ^{2} + 1} = \frac{6 x - 3 x ^{2} - 1}{3 x ^{2} + 1} = \frac{- 3 x ^{2} + 6 x - 1}{3 x ^{2} + 1} .$

2. Pour tout réel $x$ , $3 x^{2} + 1 > 0$ : le signe de $g^{'} (x)$ est celui de son numérateur $N (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ . Factorisons partiellement :

$N (x) = - 3 x (x - 2) - 1.$

Soit $x \in [2; 4]$ . Alors $x ⩾ 2 > 0$ et $x - 2 ⩾ 0$ , donc $3 x (x - 2) ⩾ 0$ , d'où $- 3 x (x - 2) ⩽ 0$ et par conséquent

$N (x) = - 3 x (x - 2) - 1 ⩽ - 1 < 0.$

Ainsi $g^{'} (x) < 0$ pour tout $x$ de $[2; 4]$ : la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2; 4]$ .

3. Sur l'intervalle $[2; 4]$ :

$g$ est dérivable donc continue ;
$g$ est strictement décroissante (question 2) ;
$g (2) = ln (3 \times 4 + 1) - 2 = ln 13 - 2 \approx 0, 565 > 0$ et $g (4) = ln (3 \times 16 + 1) - 4 = ln 49 - 4 \approx - 0, 108 < 0$ , donc $0$ est compris entre $g (4)$ et $g (2)$ .

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $[2; 4]$ .

Valeur approchée. On encadre $α$ par balayage à la calculatrice, en utilisant la stricte décroissance de $g$ :

$x$	$3, 7$	$3, 78$	$3, 79$	$3, 8$
$g (x)$	$\approx 0, 0393$	$\approx 0, 0011$	$\approx - 0, 0037$	$\approx - 0, 0086$
signe	$+$	$+$	$-$	$-$

Comme $g (3, 78) > 0 > g (3, 79)$ et que $g$ est strictement décroissante, on a

$3, 78 < α < 3, 79,$

d'où

$α \approx 3, 78 (a ˋ 1 0^{- 2} pr e ˋ s) .$

(Une valeur plus précise est $α \approx 3, 7823$ .)

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses du corollaire — continuité, stricte monotonie, changement de signe — énoncées et vérifiées, et le théorème nommé. L'existence vient du théorème des valeurs intermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie.

4. D'après la partie A, la suite $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ et vérifie $2 ⩽ u_{n} ⩽ 4$ pour tout $n$ ; par passage à la limite dans cet encadrement, $ℓ \in [2; 4]$ .

La fonction $f : x \mapsto ln (3 x^{2} + 1)$ est continue sur $[0; + \infty [$ (elle y est dérivable, d'après la partie B). Comme $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ avec $ℓ \in [0; + \infty [$ , la continuité de $f$ en $ℓ$ donne

$n \to + \infty lim f (u_{n}) = f (ℓ) .$

Or $f (u_{n}) = u_{n + 1}$ , et la suite $(u_{n + 1})$ a la même limite $ℓ$ que la suite $(u_{n})$ . Par unicité de la limite d'une suite convergente :

$ℓ = f (ℓ) = ln (3 ℓ^{2} + 1),$

c'est-à-dire

$ln (3 ℓ^{2} + 1) - ℓ = 0, soit g (ℓ) = 0.$

Le réel $ℓ$ est donc une solution de l'équation $g (x) = 0$ appartenant à $[2; 4]$ . Or, d'après la question 3, cette équation admet une unique solution sur $[2; 4]$ , à savoir $α$ . Par conséquent

$ℓ = α \approx 3, 78,$

ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.

Ce que le correcteur attend : le passage à la limite dans la relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ n'est licite que parce que $f$ est continue en $ℓ$ ; et la conclusion $ℓ = α$ exige de savoir que $ℓ$ appartient à l'intervalle $[2; 4]$ où l'unicité a été démontrée.

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