Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 3 : Suite définie par u_{n+1}=ln(3u_n²+1) et étude de limite

Partie A

1. On applique la relation de récurrence au rang $n=0$, avec $u_0=2$ :

$$u_1=\ln (3u_0^2+1)=\ln (3\times 2^2+1)=\ln (12+1)=\ln (13).$$

La valeur exacte est $u_1=\ln 13$, soit $u_1\approx 2,5649$, c'est-à-dire $u_1\approx 2,56$ à $10^{-2}$ près.

2. Sur le graphique, les points $(n;u_n)$ montent régulièrement de $u_0=2$ jusqu'à un palier atteint vers $n=7$ ou $8$, au-delà duquel ils paraissent tous alignés à la même hauteur, un peu en dessous de la graduation $4$. On lit ce palier entre $3,7$ et $3,8$ (environ $3,8$).

On conjecture donc que :

• la suite $(u_n)$ est croissante ;
• la suite $(u_n)$ est convergente, vers une limite $\ell$ voisine de $3,8$ (en tout cas majorée par $4$).

3. Démontrons par récurrence la propriété $P(n)$ : « $2⩽u_n⩽u_{n+1}⩽4$ ».

Initialisation. On a $u_0=2$ et $u_1=\ln 13$. Comme ${\mathrm{e}}^2\approx 7,39<13$ et que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$, on a $\ln 13>\ln ({\mathrm{e}}^2)=2$ ; par ailleurs $\ln 13\approx 2,56⩽4$. Donc

$$2⩽u_0⩽u_1⩽4,$$

et $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel quelconque. Supposons $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $2⩽u_n⩽u_{n+1}⩽4$. Ces quatre nombres appartiennent à $[0;+\infty [$, où la fonction $f$ est croissante (résultat admis par l'énoncé) ; en appliquant $f$ à cet encadrement, l'ordre est conservé :

$$f(2)⩽f(u_n)⩽f(u_{n+1})⩽f(4).$$

Or, par définition de la suite, $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(u_{n+1})=u_{n+2}$, tandis que

$$f(2)=\ln (3\times 4+1)=\ln 13\text{et}f(4)=\ln (3\times 16+1)=\ln 49.$$

On obtient donc $\ln 13⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}⩽\ln 49$. Il reste à comparer ces deux bornes à $2$ et $4$ :

• $\ln 13⩾2$, déjà établi à l'initialisation ;
• ${\mathrm{e}}^4\approx 54,6>49$, donc $\ln 49<\ln ({\mathrm{e}}^4)=4$, toujours par stricte croissance de $\ln$.

Par transitivité,

$$2⩽\ln 13⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}⩽\ln 49⩽4,$$

c'est-à-dire $2⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}⩽4$ : la propriété $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

$$2⩽u_n⩽u_{n+1}⩽4.$$

Ce que le correcteur attend : l'hérédité s'obtient en appliquant la croissance de $f$ à l'encadrement supposé — c'est la seule information dont on dispose sur $f$, et elle est admise. Il faut aussi vérifier que les bornes obtenues, $\ln 13$ et $\ln 49$, referment bien l'encadrement dans $[2;4]$ : sans cela, l'hérédité n'est pas démontrée.