Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 4 : Géométrie dans l'espace : plan, droite et volume de tétraèdre

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; ; ; k)$ .

On considère les points $A (1; 2; - 1)$ , $B (0; 3; 2)$ , $C (- 2; 4; 0)$ et $D (8; 2; - 11)$ .

1.a. Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.

1.b. Démontrer que le vecteur $n 58 - 1$ est un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

1.c. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est $5 x + 8 y - z - 22 = 0$ .

1.d. Vérifier que le point $D$ n'appartient pas au plan $(A B C)$ .

2.a. On considère la droite $Δ$ , orthogonale au plan $(A B C)$ et passant par $D$ . Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $Δ$ est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 8 + 5 t y = 2 + 8 t z = - 11 - t, avec t \in R .$

2.b. On appelle $E$ le point d'intersection de la droite $Δ$ et du plan $(A B C)$ . Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(\frac{11}{2}; - 2; - \frac{21}{2})$ .

2.c. En déduire la valeur exacte de la longueur $D E$ , distance du point $D$ au plan $(A B C)$ .

3. On note $H$ le point de coordonnées $(- \frac{2}{3}; \frac{10}{3}; \frac{4}{3})$ .

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(B C)$ est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 k y = 3 + k z = 2 - 2 k, avec k \in R .$

Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants :

`Entrée 1:`	`(-2/3-1)(-2)+(10/3-2)1+(4/3-(-1))*(-2)`
`Sortie 1:`	$\to$ `0`
`Entrée 2:`	`RésoudreSystème(-2k=-2/3, 3+k=10/3, 2-2k=4/3)`
`Sortie 2:`	$\to$ `k=-1/3`
`Entrée 3:`	`RacineCarrée((-2/3)-1)\textasciicircum{`2+(10/3-2)^2+(4/3+1)^2))}
`Sortie 3:`	$\to$ `RacineCarrée(10)`
`Entrée 4:`	`RacineCarrée((-2-0))\textasciicircum{`2+(4-3)^2+(0-2)^2)}
`Sortie 4:`	$\to$ `3`

3.a. En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(B C)$ .

3.b. En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre $A B C D$ .

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ , où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base.

Corrigé

1.a. Calculons les coordonnées de deux vecteurs, obtenues en soustrayant celles de l'origine du vecteur à celles de son extrémité :

$A B 0 - 1 3 - 2 2 - (- 1) = - 1 13, A C - 2 - 1 4 - 2 0 - (- 1) = - 3 21 .$

Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ? S'il existait un réel $λ$ tel que $A C = λ A B$ , la première coordonnée imposerait $- 3 = - λ$ , donc $λ = 3$ ; or la deuxième coordonnée donnerait alors $1 \times 3 = 3 \neq = 2$ . C'est impossible : les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires.

Les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés : ils définissent un unique plan, le plan $(A B C)$ , dont $A B$ et $A C$ sont deux vecteurs directeurs.

1.b. Un vecteur non nul est normal à un plan lorsqu'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Le vecteur $n$ est non nul, et le produit scalaire se calcule en repère orthonormé par la somme des produits des coordonnées :

$n \cdot A B = 5 \times (- 1) + 8 \times 1 + (- 1) \times 3 = - 5 + 8 - 3 = 0,$

$n \cdot A C = 5 \times (- 3) + 8 \times 2 + (- 1) \times 1 = - 15 + 16 - 1 = 0.$

Le vecteur $n$ est donc orthogonal à $A B$ et à $A C$ , deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan $(A B C)$ (question 1.a) : $n$ est un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

1.c. Un plan de vecteur normal $n (a; b; c)$ admet une équation cartésienne de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ . Avec $n (5; 8; - 1)$ , le plan $(A B C)$ a donc une équation de la forme

$5 x + 8 y - z + d = 0.$

Le point $A (1; 2; - 1)$ appartient à ce plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

$5 \times 1 + 8 \times 2 - (- 1) + d = 0 ⟺ 5 + 16 + 1 + d = 0 ⟺ d = - 22.$

Une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est donc

$5 x + 8 y - z - 22 = 0.$

Contrôle avec les deux autres points : pour $B (0; 3; 2)$ , $0 + 24 - 2 - 22 = 0$ ; pour $C (- 2; 4; 0)$ , $- 10 + 32 - 0 - 22 = 0$ . Les trois points conviennent.

1.d. Remplaçons $x$ , $y$ et $z$ par les coordonnées de $D (8; 2; - 11)$ dans le membre de gauche de l'équation :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, partie par partie, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Corrigé complet gratuit →