Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 1 : Orientation des filles et garçons en sciences (probabilités, loi binomiale)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Dans cet exercice, on s'intéresse à la part des filles et des garçons s'orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans une académie donnée, la population est constituée d'élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d'orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.

Les répartitions sont les suivantes :

$40%$ sont des filles ; $60%$ sont des garçons ;
parmi les filles, $33, 75%$ envisagent des études d'ingénieur ;
parmi les garçons, $54, 25%$ envisagent des études d'ingénieur.

On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les événements suivants :

$F$ : « L'élève est une fille » ;
$I$ : « L'élève envisage des études d'ingénieur ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $E$ l'événement contraire et $P (E)$ la probabilité de $E$ .

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d'ingénieur.

3. Démontrer que la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à $0, 4605$ .

4. L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ? Donner une valeur approchée du résultat à $1 0^{- 3}$ près.

Partie B

Dans cette partie, on considère un entier naturel $n$ non nul.

On interroge uniformément au hasard dans cette académie $n$ filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure, qu'elle suive ou non la spécialité mathématiques.

On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à $0, 15$ .

1.a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale.

1.b. Exprimer en fonction de $n$ l'espérance de $X$ .

2. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu'il faut interroger pour que la probabilité de l'événement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à $0, 99$ .

3. Dans cette question, on choisit un échantillon de $n = 29$ filles. Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. Donner une valeur approchée du résultat à $1 0^{- 3}$ près.

Partie C

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de $1$ à $10$ .

On considère $X_{1}$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $1500$ lycéennes de l'académie n $^{\circ}$ $1$ , associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure. On définit de la même façon les variables aléatoires $X_{2}, \dots, X_{10}$ pour les académies $2$ à $10$ .

On admet que les variables aléatoires $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10}$ sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à $225$ et la même variance égale à $191, 25$ .

On considère la variable aléatoire $S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{10}$ .

1. Que représente la variable aléatoire $S$ pour les $15000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?

2. Calculer l'espérance et la variance de $S$ .

3. On considère l'ensemble des $15000$ lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies. Argumenter pour dire si l'affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre $2000$ et $2500$ est supérieure à $0, 95$ ».

Corrigé

Partie A

1. Les données se traduisent ainsi : $P (F) = 0, 40$ et $P (F) = 0, 60$ ; « parmi les filles, $33, 75%$ » est une probabilité conditionnelle, $P_{F} (I) = 0, 3375$ ; de même $P_{F} (I) = 0, 5425$ . On en déduit $P_{F} (I) = 1 - 0, 3375 = 0, 6625$ et $P_{F} (I) = 1 - 0, 5425 = 0, 4575$ . D'où l'arbre pondéré :

2. L'événement demandé est $F \cap I$ . La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches :

$P (F \cap I) = P (F) \times P_{F} (I) = 0, 40 \times 0, 3375 = 0, 135.$

La probabilité que l'élève choisi soit une fille envisageant des études d'ingénieur est $0, 135$ .

3. Les événements $F$ et $F$ sont de probabilités non nulles et forment une partition de l'univers : c'est un système complet d'événements. D'après la formule des probabilités totales :

$P (I) = P (F \cap I) + P (F \cap I) = P (F) P_{F} (I) + P (F) P_{F} (I) .$

Numériquement :

$P (I) = 0, 40 \times 0, 3375 + 0, 60 \times 0, 5425 = 0, 135 + 0, 3255 = 0, 4605.$

La probabilité que l'élève envisage des études d'ingénieur est bien égale à $0, 4605$ .

4. On demande la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il envisage des études d'ingénieur, c'est-à-dire $P_{I} (F)$ (et non $P_{F} (I)$ : le conditionnement est renversé). Comme $P (I) = 0, 4605 \neq = 0$ , par définition de la probabilité conditionnelle :

$P_{I} (F) = \frac{P ( F \cap I )}{P ( I )} = \frac{0 , 135}{0 , 4605} = \frac{1350}{4605} = \frac{90}{307} \approx 0, 293.$

Sachant que l'élève envisage des études d'ingénieur, la probabilité que ce soit une fille est environ $0, 293$ (valeur exacte $\frac{90}{307} = 0, 29315 \dots$ ).

Ce que le correcteur attend : $P_{I} (F) \approx 0, 293 < 0, 40 = P (F)$ : les filles sont sous-représentées parmi les candidats à l'ingénierie, ce qui est cohérent avec les taux donnés.

Partie B

1.a. On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante (le prélèvement est assimilé à des tirages avec remise), la même épreuve de Bernoulli : interroger une lycéenne, le succès étant « elle souhaite devenir ingénieure », de probabilité $p = 0, 15$ . La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès de ce schéma de Bernoulli : $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0, 15$ , notée $B (n; 0, 15)$ .

1.b. Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , l'espérance vaut $n p$ , donc

$E (X) = 0, 15 n .$

2. Notons $A$ l'événement « au moins une fille interrogée souhaite devenir ingénieure », soit $A = (X \geq 1)$ . Son contraire est $(X = 0)$ et

$P (X = 0) = (0 n) 0, 1 5^{0} (1 - 0, 15)^{n} = 0, 8 5^{n}, donc P (X \geq 1) = 1 - 0, 8 5^{n} .$

Résolvons l'inéquation :

$1 - 0, 8 5^{n} \geq 0, 99 ⟺ 0, 8 5^{n} \leq 0, 01 ⟺ ln (0, 8 5^{n}) \leq ln (0, 01) ⟺ n ln (0, 85) \leq ln (0, 01),$

la fonction $ln$ étant strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . Comme $0 < 0, 85 < 1$ , on a $ln (0, 85) < 0$ : en divisant par $ln (0, 85)$ , le sens de l'inégalité change :

$n \geq \frac{ln ( 0 , 01 )}{ln ( 0 , 85 )} \approx 28, 34.$

Le plus petit entier convenable est $n = 29$ . On le vérifie : $0, 8 5^{28} \approx 0, 0106 > 0, 01$ et $0, 8 5^{29} \approx 0, 0090 < 0, 01$ . Il faut donc interroger au moins $29$ lycéennes.

Ce que le correcteur attend : le passage par l'événement contraire, et surtout le changement de sens de l'inégalité lors de la division par $ln (0, 85) < 0$ .

3. Ici $X$ suit la loi $B (29; 0, 15)$ . Le quart de l'effectif vaut $\frac{29}{4} = 7, 25$ , qui n'est pas entier : « au moins le quart des filles », c'est $X \geq 7, 25$ , donc, $X$ ne prenant que des valeurs entières, $X \geq 8$ . Par passage au contraire :

$P (X \geq 8) = 1 - P (X \leq 7) \approx 1 - 0, 9414 = 0, 0586,$

la valeur $P (X \leq 7) \approx 0, 941417$ étant obtenue à la calculatrice. Arrondie à $1 0^{- 3}$ près, la probabilité cherchée vaut $0, 059$ .

Ce que le correcteur attend : ne pas écrire $P (X \geq 7)$ ( $\approx 0, 133$ ) : $7, 25$ n'étant pas entier, le premier entier supérieur ou égal à $7, 25$ est $8$ .

Partie C

1. Chaque $X_{i}$ compte, dans l'échantillon de $1500$ lycéennes de l'académie n $^{\circ}$ $i$ , celles qui envisagent de devenir ingénieure. Leur somme $S = X_{1} + \dots + X_{10}$ représente donc le nombre total de lycéennes envisageant de devenir ingénieure parmi les $10 \times 1500 = 15000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies.

2. Par linéarité de l'espérance (valable sans hypothèse d'indépendance) :

$E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{10}) = 10 \times 225 = 2 250.$

Les variables $X_{1}, \dots, X_{10}$ étant indépendantes, la variance est additive :

$V (S) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{10}) = 10 \times 191, 25 = 1912, 5,$

d'où un écart type $σ (S) = 1912, 5 \approx 43, 7$ .

Ce que le correcteur attend : l'indépendance ne sert pas pour l'espérance, mais elle est indispensable pour additionner les variances ; il faut le dire.

3. L'affirmation est vraie. En effet, l'encadrement strict $2000 < S < 2500$ est centré sur $E (S) = 2250$ :

$2000 < S < 2500 ⟺ - 250 < S - 2250 < 250 ⟺ ∣ S - E (S) ∣ < 250.$

Appliquons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $S$ , qui admet une espérance et une variance, avec $ε = 250 > 0$ :

$P (∣ S - E (S) ∣ \geq 250) \leq \frac{V ( S )}{25 0 ^{2}} = \frac{1 912 , 5}{62 500} = 0, 0306.$

En passant à l'événement contraire :

$P (2000 < S < 2500) = 1 - P (∣ S - E (S) ∣ \geq 250) \geq 1 - 0, 0306 = 0, 9694.$

Or $0, 9694 > 0, 95$ : la probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre $2000$ et $2500$ est effectivement supérieure à $0, 95$ . L'affirmation est vraie.

Ce que le correcteur attend : Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité des queues ; c'est en passant au contraire qu'on obtient une minoration de la probabilité centrale, seule capable de prouver « supérieure à $0, 95$ ». La loi de $S$ n'est pas connue, mais l'inégalité n'en a pas besoin : on peut donc conclure, et non répondre « on ne peut pas savoir ».

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