Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 2 : Fonction logarithme, suite récurrente et algorithme Python

def f(x):
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

Partie A

1. Posons $u(x)=8x^3-1$. Pour $x\in [4;10]$, la fonction $x\mapsto 8x^3$ est croissante donc $u(x)\ge 8\times 4^3-1=511>0$ : la composée $f=\ln \circ u$ est bien définie. D'après la formule de dérivation ${\left(\ln (u)\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, avec $u^{\prime }(x)=24x^2$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{24x^2}{8x^3-1}.$$

Il reste à factoriser le dénominateur. En reconnaissant la différence de cubes $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ avec $a=2x$ et $b=1$ :

$$(2x-1)\left(4x^2+2x+1\right)=8x^3+4x^2+2x-4x^2-2x-1=8x^3-1.$$

Par conséquent, pour tout $x\in [4;10]$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{24x^2}{(2x-1)\left(4x^2+2x+1\right)}.$$

2.a. Étudions le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $[4;10]$ : le numérateur $24x^2$ est strictement positif (car $x\ge 4>0$) ; $2x-1\ge 2\times 4-1=7>0$ ; enfin $4x^2+2x+1>0$ comme somme de trois termes strictement positifs pour $x>0$. Le quotient de deux quantités strictement positives est strictement positif : $f^{\prime }(x)>0$ sur $[4;10]$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[4;10]$.

2.b. Puisque $f$ est croissante sur $[4;10]$, pour tout $x$ de cet intervalle :

$$f(4)\le f(x)\le f(10),\text{avec}f(4)=\ln (511)\approx 6,236\text{et}f(10)=\ln (7999)\approx 8,987.$$

Il suffit alors d'encadrer ces deux valeurs sans calculatrice. La fonction $\ln$ étant strictement croissante : $511>{\mathrm{e}}^4\approx 54,6$ donc $\ln (511)>4$ ; et $7999<{\mathrm{e}}^{10}\approx 22026$ donc $\ln (7999)<10$. On en déduit

$$4<\ln (511)\le f(x)\le \ln (7999)<10,$$

et donc $4\le f(x)\le 10$ pour tout $x\in [4;10]$.

Ce que le correcteur attend : cette question dit que l'intervalle $[4;10]$ est stable par $f$, autrement dit $f([4;10])\subset [4;10]$ : c'est exactement ce qui permettra, en partie B, de définir la suite $(u_n)$ et de mener la récurrence.

3.a. La fonction $g=f-\mathrm{Id}$ est dérivable sur $[4;10]$ comme différence de fonctions dérivables, donc continue sur $[4;10]$ ; l'énoncé admet qu'elle y est strictement décroissante. Ses valeurs aux bornes sont

$$g(4)=\ln (511)-4\approx 2,236>0\text{et}g(10)=\ln (7999)-10\approx -1,013<0.$$

Le réel $0$ est donc compris entre $g(10)$ et $g(4)$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), appliqué à la fonction $g$ continue et strictement décroissante sur $[4;10]$, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[4;10]$.

3.b. La fonction $g$ étant strictement décroissante, $g(x)>0$ pour $x<\alpha$ et $g(x)<0$ pour $x>\alpha$. À la calculatrice :

$$f(8,499)\approx 8,49908>8,499\text{ donc }g(8,499)\approx 8,3\times 10^{-5}>0,$$

$$f(8,5)\approx 8,49944<8,5\text{ donc }g(8,5)\approx -5,6\times 10^{-4}<0.$$

Le changement de signe de $g$ se produit donc entre $8,499$ et $8,5$ :

$$8,499<\alpha <8,500,$$

encadrement d'amplitude $10^{-3}$ (on a en fait $\alpha \approx 8,4991$).

Partie B

1. Par définition, $u_1=f(u_0)=f(5)=\ln \left(8\times 5^3-1\right)=\ln (999)\approx 6,9068$. Ainsi $u_1\approx 6,9$ à $10^{-1}$ près.

2.a. Pour tout entier naturel $n$, notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété « $4\le u_n\le u_{n+1}\le 10$ ». Démontrons-la par récurrence.

Initialisation. On a $u_0=5$ et $u_1=\ln (999)\approx 6,91$, donc $4\le 5\le 6,91\le 10$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier naturel $n$ fixé, c'est-à-dire $4\le u_n\le u_{n+1}\le 10$. Les réels $u_n$ et $u_{n+1}$ appartiennent alors à $[4;10]$, où $f$ est croissante (question 2.a de la partie A) ; en appliquant $f$ à l'encadrement $u_n\le u_{n+1}$, on obtient

$$f(u_n)\le f(u_{n+1}),\text{c’est-aˋ-dire}{u}_{n+1}\le u_{n+2}.$$

Par ailleurs, $u_n\in [4;10]$ donne $4\le f(u_n)=u_{n+1}$ et $u_{n+1}\in [4;10]$ donne $f(u_{n+1})=u_{n+2}\le 10$, d'après la question 2.b de la partie A. En rassemblant :

$$4\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 10,$$

c'est-à-dire $\mathcal{P}(n+1)$.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $4\le u_n\le u_{n+1}\le 10$.

2.b. L'encadrement précédent donne, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\le u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Il donne aussi $u_n\le 10$ : elle est majorée par $10$. D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée est convergente : la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

3. Notons $\ell$ la limite de $(u_n)$. Pour tout $n$, $4\le u_n\le 10$ ; par passage à la limite dans cette inégalité large, $4\le \ell \le 10$, donc $\ell \in [4;10]$.

La fonction $f$ est dérivable, donc continue, sur $[4;10]$, en particulier en $\ell$. D'après le théorème sur l'image d'une suite convergente, la suite $\left(f(u_n)\right)$ converge vers $f(\ell )$. Or $f(u_n)=u_{n+1}$ pour tout $n$, et la suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang : elle converge donc aussi vers $\ell$. Par unicité de la limite :

$$\ell =f(\ell ),\text{c’est-aˋ-dire}g(\ell )=f(\ell )-\ell =0.$$

Ainsi $\ell$ est une solution de l'équation $g(x)=0$ dans $[4;10]$. Or cette équation y admet une unique solution, à savoir $\alpha$ (partie A, question 3.a) : donc $\ell =\alpha$. La suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

Ce que le correcteur attend : l'argument du point fixe n'est valable qu'après avoir prouvé que la limite existe (question 2.b) et qu'elle appartient à l'intervalle où $f$ est continue ; c'est l'unicité de la solution de $g(x)=0$ qui identifie enfin $\ell =\alpha$.

Partie C

1. Dans la fonction alpha, la variable u contient successivement $u_0=5$, puis $u_1$, $u_2$, …, la variable n comptant le nombre de fois où la relation $u\mapsto f(u)$ a été appliquée : après $n$ passages dans la boucle, u contient $u_n$. La boucle « tant que $\text{u}<\text{a}$ » s'arrête dès que le terme courant atteint ou dépasse $a$, et la fonction renvoie alors le rang correspondant.

Ainsi alpha(8.499)$=11$ signifie que $11$ est le plus petit entier $n$ tel que $u_n\ge 8,499$ : la suite $(u_n)$, croissante, franchit le seuil $8,499$ pour la première fois au rang $11$ (on a $u_{10}\approx 8,49897<8,499$ et $u_{11}\approx 8,49907\ge 8,499$). Autrement dit, il faut $11$ itérations, en partant de $u_0=5$, pour que la suite atteigne le seuil $8,499$.

2. La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\alpha$ : elle est donc majorée par sa limite, c'est-à-dire que $u_n\le \alpha$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En effet, s'il existait un rang $N$ avec $u_N>\alpha$, la croissance donnerait $u_n\ge u_N$ pour tout $n\ge N$, donc $\alpha =\lim u_n\ge u_N>\alpha$, ce qui est absurde.

Or l'énoncé admet $\alpha \le 8,5$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_n\le \alpha \le 8,5<8,6.$$

La condition u < a de la ligne 7, avec $a=8,6$, est donc vraie à chaque passage : la boucle while ne s'arrête jamais, l'instruction return n de la ligne 10 n'est jamais atteinte et le programme ne renvoie aucune valeur (il tourne indéfiniment).

Ce que le correcteur attend : il ne suffit pas de dire « la suite converge » ; il faut constater que sa limite $\alpha$ est strictement inférieure au seuil $8,6$ et que tous les termes restent en dessous de $\alpha$, ce qui rend la condition d'arrêt inaccessible.