Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 2 : Fonction logarithme, suite récurrente et algorithme Python

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in [4;10]$ par $f(x)=\ln \left(8x^3-1\right)$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[4;10]$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour tout $x\in [4;10]$, on a :

$$f^{\prime }(x)=\frac{24x^2}{(2x-1)\left(4x^2+2x+1\right)}.$$

2.a. En déduire que $f$ est croissante sur $[4;10]$.

2.b. Montrer que, pour tout $x\in [4;10]$, on a : $4\le f(x)\le 10$.

3. On définit la fonction $g$ définie pour tout $x\in [4;10]$ par $g(x)=f(x)-x$. On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition.

3.a. Montrer que, sur l'intervalle $[4;10]$, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.

3.b. Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$.

Partie B

On admet qu'on peut définir la suite $(u_n)$ par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

1. Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près.

2.a. Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a :

$$4\le u_n\le u_{n+1}\le 10.$$

2.b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers le nombre $\alpha$, défini dans la partie A.

Partie C

Dans cette partie, on admet que $8,4\le \alpha \le 8,5$.

On a créé, en langage Python, la fonction alpha suivante. On précise qu'en langage Python, l'instruction log correspond à $\ln$.

def f(x):
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

1. On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur $11$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Un utilisateur exécute alpha(8.6). Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.