Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace : plan, droite, projeté orthogonal

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O; , , k)$ , on considère les points

$A (- 1; 1; 1), B (1; - 6; - 1) et C (- 5; 2; 3) .$

1.a. Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1.b. Démontrer que le vecteur $n 6 - 2 13$ est normal au plan $(A B C)$ .

1.c. En déduire que le plan $(A B C)$ admet pour équation cartésienne :

$6 x - 2 y + 13 z - 5 = 0.$

2. On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8 x - 2 y - 4 z + 18 = 0$ .

On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

Démontrer que les plans $(A B C)$ et $(P)$ sont perpendiculaires.

3. Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 4 + t y = - 11 + 6 t z = 2 - t; t \in R .$

Démontrer que la droite $(d)$ intersecte le plan $(A B C)$ en un unique point qu'on nommera $E$ , et qui a pour coordonnées $E (- 3; - 5; 1)$ .

4. Soit $H (- 2; 1; 0)$ .

4.a. Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ .

4.b. En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$ .

4.c. Montrer que le triangle $A H E$ est rectangle et que son aire est égale à $19$ unités d'aire.

Corrigé

1.a. Trois points sont alignés si et seulement si deux des vecteurs qu'ils définissent sont colinéaires. Calculons les coordonnées de $A B$ et $A C$ :

$A B 1 - (- 1) - 6 - 1 - 1 - 1 = 2 - 7 - 2 et A C - 5 - (- 1) 2 - 1 3 - 1 = - 4 12 .$

S'il existait un réel $λ$ tel que $A C = λ A B$ , la première coordonnée donnerait $- 4 = 2 λ$ , soit $λ = - 2$ ; mais la deuxième coordonnée donnerait alors $1 = - 2 \times (- 7) = 14$ , ce qui est faux. Les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont donc pas colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés (et définissent bien un plan $(A B C)$ ).

1.b. Un vecteur non nul est normal à un plan lorsqu'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Le vecteur $n (6; - 2; 13)$ est non nul, et $A B$ , $A C$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(A B C)$ d'après la question précédente. Le repère étant orthonormal, on calcule les produits scalaires avec l'expression analytique :

$n \cdot A B = 6 \times 2 + (- 2) \times (- 7) + 13 \times (- 2) = 12 + 14 - 26 = 0,$

$n \cdot A C = 6 \times (- 4) + (- 2) \times 1 + 13 \times 2 = - 24 - 2 + 26 = 0.$

Le vecteur $n$ est orthogonal à $A B$ et à $A C$ : c'est un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

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