Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 4 : QCM vrai/faux : convexité, dénombrement, équation différentielle, suite, aire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = x e^{(x^{2})}$ .

Affirmation 1 : $f$ est concave sur $] - \infty; 0]$ .

2. Un refuge spécialisé accueille $24$ rapaces numérotés de $1$ à $24$ . Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de $1$ à $3$ , constitués chacun de $8$ rapaces.

Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes $1$ à $3$ est :

$\frac{24 !}{( 8 ! ) ^{3}} .$

3. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $R$ , solution de l'équation différentielle : $y^{'} = - y + 1$ sur $R$ .

Affirmation 3 : La fonction $g$ définie pour tout $x \in R$ par $g (x) = f (x) - 1$ vérifie $g^{'} = - g$ .

4. La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$u_{n} = \frac{sin ( n )}{n} .$

Affirmation 4 : La suite $(u_{n})$ n'admet pas de limite.

5. On a tracé ci-dessous la parabole d'équation $y = - x^{2} + 4 x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$ .

Affirmation 5 : L'aire du domaine grisé est égale à $6, 5$ unités d'aire.

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

La concavité d'une fonction deux fois dérivable se lit sur le signe de sa dérivée seconde : $f$ est concave sur un intervalle $I$ si et seulement si $f^{''} (x) \leq 0$ pour tout $x \in I$ .

La fonction $f : x \mapsto x e^{(x^{2})}$ est dérivable sur $R$ comme produit de $x \mapsto x$ et de la composée $x \mapsto e^{(x^{2})}$ , dont la dérivée est $2 x e^{(x^{2})}$ d'après $(e^{v})^{'} = v^{'} e^{v}$ . Avec $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$f^{'} (x) = 1 \times e^{(x^{2})} + x \times 2 x e^{(x^{2})} = (1 + 2 x^{2}) e^{(x^{2})} .$

En dérivant une seconde fois, toujours par la formule du produit :

$f^{''} (x) = 4 x e^{(x^{2})} + (1 + 2 x^{2}) \times 2 x e^{(x^{2})} = (4 x + 2 x + 4 x^{3}) e^{(x^{2})} = 2 x (2 x^{2} + 3) e^{(x^{2})} .$

Étudions le signe de $f^{''} (x)$ sur $] - \infty; 0]$ : l'exponentielle $e^{(x^{2})}$ est strictement positive, $2 x^{2} + 3 \geq 3 > 0$ , et $2 x \leq 0$ puisque $x \leq 0$ . Le produit est donc négatif ou nul : $f^{''} (x) \leq 0$ sur $] - \infty; 0]$ . La fonction $f$ est bien concave sur cet intervalle.

2. Affirmation 2 : VRAIE.

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