Corrigé bac mathématiques 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 4 : QCM vrai/faux : convexité, dénombrement, équation différentielle, suite, aire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = x e^{(x^{2})}$ .

Affirmation 1 : $f$ est concave sur $] - \infty; 0]$ .

2. Un refuge spécialisé accueille $24$ rapaces numérotés de $1$ à $24$ . Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de $1$ à $3$ , constitués chacun de $8$ rapaces.

Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes $1$ à $3$ est :

$\frac{24 !}{( 8 ! ) ^{3}} .$

3. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $R$ , solution de l'équation différentielle : $y^{'} = - y + 1$ sur $R$ .

Affirmation 3 : La fonction $g$ définie pour tout $x \in R$ par $g (x) = f (x) - 1$ vérifie $g^{'} = - g$ .

4. La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$u_{n} = \frac{sin ( n )}{n} .$

Affirmation 4 : La suite $(u_{n})$ n'admet pas de limite.

5. On a tracé ci-dessous la parabole d'équation $y = - x^{2} + 4 x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$ .

Affirmation 5 : L'aire du domaine grisé est égale à $6, 5$ unités d'aire.

Corrigé

1. Affirmation 1 : VRAIE.

La concavité d'une fonction deux fois dérivable se lit sur le signe de sa dérivée seconde : $f$ est concave sur un intervalle $I$ si et seulement si $f^{''} (x) \leq 0$ pour tout $x \in I$ .

La fonction $f : x \mapsto x e^{(x^{2})}$ est dérivable sur $R$ comme produit de $x \mapsto x$ et de la composée $x \mapsto e^{(x^{2})}$ , dont la dérivée est $2 x e^{(x^{2})}$ d'après $(e^{v})^{'} = v^{'} e^{v}$ . Avec $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$f^{'} (x) = 1 \times e^{(x^{2})} + x \times 2 x e^{(x^{2})} = (1 + 2 x^{2}) e^{(x^{2})} .$

En dérivant une seconde fois, toujours par la formule du produit :

$f^{''} (x) = 4 x e^{(x^{2})} + (1 + 2 x^{2}) \times 2 x e^{(x^{2})} = (4 x + 2 x + 4 x^{3}) e^{(x^{2})} = 2 x (2 x^{2} + 3) e^{(x^{2})} .$

Étudions le signe de $f^{''} (x)$ sur $] - \infty; 0]$ : l'exponentielle $e^{(x^{2})}$ est strictement positive, $2 x^{2} + 3 \geq 3 > 0$ , et $2 x \leq 0$ puisque $x \leq 0$ . Le produit est donc négatif ou nul : $f^{''} (x) \leq 0$ sur $] - \infty; 0]$ . La fonction $f$ est bien concave sur cet intervalle.

2. Affirmation 2 : VRAIE.

Les rapaces sont numérotés (donc discernables) et les trois groupes sont eux aussi numérotés : répartir les oiseaux, c'est choisir successivement le contenu du groupe $1$ , puis celui du groupe $2$ , puis celui du groupe $3$ . L'ordre à l'intérieur d'un groupe n'intervient pas : il s'agit de combinaisons.

Groupe $1$ : on choisit $8$ rapaces parmi les $24$ , soit $(8 24)$ possibilités ;
groupe $2$ : on choisit $8$ rapaces parmi les $16$ restants, soit $(8 16)$ ;
groupe $3$ : les $8$ derniers rapaces, soit $(8 8) = 1$ possibilité.

D'après le principe multiplicatif, le nombre de répartitions est

$(8 24) (8 16) (8 8) = \frac{24 !}{8 ! \times 16 !} \times \frac{16 !}{8 ! \times 8 !} \times 1 = \frac{24 !}{8 ! \times 8 ! \times 8 !} = \frac{24 !}{( 8 ! ) ^{3}} .$

C'est exactement la formule proposée.

Ce que le correcteur attend : le fait que les groupes soient numérotés est essentiel. S'ils étaient indiscernables (trois paquets posés sur une table), il faudrait encore diviser par $3!$ , nombre de façons de leur attribuer les numéros, et le résultat serait $\frac{24 !}{3 ! ( 8 ! ) ^{3}}$ .

3. Affirmation 3 : VRAIE.

Dire que $f$ est solution sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = - y + 1$ signifie que, pour tout réel $x$ , $f^{'} (x) = - f (x) + 1$ .

La fonction $g : x \mapsto f (x) - 1$ est dérivable sur $R$ comme différence de $f$ et d'une fonction constante, et $g^{'} (x) = f^{'} (x)$ (la dérivée d'une constante est nulle). Donc, pour tout réel $x$ :

$g^{'} (x) = f^{'} (x) = - f (x) + 1 = - (f (x) - 1) = - g (x) .$

La fonction $g$ vérifie donc bien $g^{'} = - g$ sur $R$ .

Ce que le correcteur attend : c'est la méthode générale de résolution de $y^{'} = a y + b$ : on retranche la solution constante ( $y = 1$ ici, car $- 1 + 1 = 0$ ) pour se ramener à l'équation homogène $g^{'} = - g$ , dont les solutions sont $g (x) = C e^{- x}$ . On en déduit $f (x) = C e^{- x} + 1$ avec $C \in R$ .

4. Affirmation 4 : FAUSSE.

Pour tout entier $n \geq 1$ , la fonction sinus est bornée : $- 1 \leq sin (n) \leq 1$ . En divisant par $n > 0$ , qui ne change pas le sens des inégalités :

$- \frac{1}{n} \leq \frac{sin ( n )}{n} \leq \frac{1}{n}, c’est- a ˋ -dire - \frac{1}{n} \leq u_{n} \leq \frac{1}{n} .$

Or $n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0$ et $n \to + \infty lim (- \frac{1}{n}) = 0$ . La suite $(u_{n})$ est encadrée par deux suites convergeant vers la même limite $0$ : d'après le théorème des gendarmes (théorème d'encadrement),

$n \to + \infty lim u_{n} = 0.$

La suite $(u_{n})$ admet donc une limite, à savoir $0$ : l'affirmation est fausse.

Ce que le correcteur attend : $sin (n)$ n'a effectivement pas de limite quand $n \to + \infty$ , mais le facteur $\frac{1}{n}$ écrase ces oscillations ; il ne faut pas conclure trop vite du comportement du numérateur à celui du quotient.

5. Affirmation 5 : FAUSSE.

Abscisses des points d'intersection. On résout

$- x^{2} + 4 x + 1 = x + 1 ⟺ - x^{2} + 3 x = 0 ⟺ x (3 - x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 3,$

ce qui correspond bien aux deux points $(0; 1)$ et $(3; 4)$ lus sur la figure, extrémités du domaine grisé.

Position relative. Pour tout $x \in [0; 3]$ , $(- x^{2} + 4 x + 1) - (x + 1) = x (3 - x) \geq 0$ : sur cet intervalle la parabole est au-dessus de la droite, ce que confirme le graphique.

Calcul de l'aire. L'aire du domaine compris entre deux courbes est l'intégrale de la différence « courbe du haut moins courbe du bas » :

$A = \int_{0}^{3} ((- x^{2} + 4 x + 1) - (x + 1)) d x = \int_{0}^{3} (3 x - x^{2}) d x .$

Une primitive de $x \mapsto 3 x - x^{2}$ est $x \mapsto \frac{3 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}$ , donc

$A = [\frac{3 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = (\frac{27}{2} - \frac{27}{3}) - 0 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2} = 4, 5.$

L'aire du domaine grisé vaut $4, 5$ unités d'aire, et non $6, 5$ : l'affirmation est fausse.

Ce que le correcteur attend : on intègre la différence des deux fonctions sur $[0; 3]$ , et non la seule parabole (qui donnerait $\int_{0}^{3} (- x^{2} + 4 x + 1) d x = 12$ ) ; la lecture graphique confirme l'ordre de grandeur, le domaine grisé tenant dans un rectangle de $3$ sur $4$ sans en remplir la moitié.

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