Corrigé bac physique-chimie 2024 Métropole jour 1 — Exercice 2 : Observation d'un avion en vol

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le trafic aérien est source de fascination pour beaucoup de gens. Notre observation se limite souvent à la traînée de l'avion dans le ciel ou, plus récemment, à un suivi en direct (trajectoire, vitesse, altitude) grâce à des applications en ligne.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'observation, avec une lunette astronomique afocale commerciale, de certains détails de la structure d'un avion de type A312 en vol, puis de déterminer la vitesse de cet avion en phase d'atterrissage grâce à un enregistrement du son émis par le moteur.

Données :

les valeurs du grossissement $G$ de la lunette astronomique utilisée sont comprises entre 16 et 48 ;
un observateur peut distinguer deux points différents A et B d'un objet si l'angle $α$ sous lequel ces deux points sont vus depuis le point d'observation (voir figure ci-dessous) est supérieur ou égal à $3, 0 \times 1 0^{- 4} rad$ ;

approximation dans le cas des petits angles ( $α ≪ 1 rad$ ) : $tan (α) = α$ ;
quelques données concernant un avion A312 :

longueur de l'avion : $L = 44, 5 m$ ;
altitude de vol de croisière de l'avion : $h = 10, 4 km$ ;
vitesse de vol de croisière de l'avion : $v_{c} = 863 km \cdot h^{- 1}$ ;
hublot de l'avion A312 :

1. Observation d'un avion A312 avec une lunette astronomique

Q1. Donner la définition d'une lunette afocale.

Q2. Sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, placer le foyer objet $F_{2}$ puis le foyer image $F_{2}^{'}$ de l'oculaire de la lunette astronomique.

L'avion vole à la verticale de l'observateur et se trouve donc à la distance $h$ de celui-ci.

Sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, les extrémités avant et arrière de l'avion observé sont respectivement modélisées par les points $A_{\infty}$ et $B_{\infty}$ , situés à une très grande distance de l'observateur.

Q3. Construire, sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, la marche des deux rayons lumineux issus de $B_{\infty}$ qui émergent de la lunette, en faisant apparaître l'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ .

L'angle $α$ désigne l'angle sous lequel l'avion est observé à l'œil nu. L'angle sous lequel l'avion est observé au travers de l'oculaire de la lunette astronomique est nommé $α^{'}$ .

Q4. Vérifier à l'aide d'un calcul que l'on peut distinguer, à l'œil nu, l'avant de l'avion de sa queue.

Q5. Après avoir placé les angles $α$ et $α^{'}$ sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, rappeler l'expression du grossissement $G$ d'une lunette astronomique en fonction des angles $α$ et $α^{'}$ .

Q6. Déterminer si on peut distinguer l'un de l'autre les deux bords verticaux d'un hublot de l'avion, à l'aide de la lunette astronomique étudiée.

2. Détermination de la vitesse d'un avion A312 en phase d'atterrissage

Au voisinage de l'aéroport, un observateur enregistre le son du moteur de l'avion passant au-dessus de lui lors de sa phase d'atterrissage. L'observateur est supposé fixe lors de l'enregistrement du son.

L'analyse du signal sonore enregistré permet de déterminer les fréquences des signaux reçus par l'observateur. Lorsque l'avion s'avance en direction de l'observateur la fréquence mesurée est $f_{A} = 2, 2 kHz$ , et lorsqu'il s'éloigne la fréquence est $f_{E} = 1, 5 kHz$ .

Q7. Donner le nom du phénomène mis en jeu dans cette expérience.

On note $f_{0}$ la fréquence du signal émis par la source immobile, $c$ la vitesse du son dans l'air dans les conditions de l'expérience et $v$ la vitesse de l'avion par rapport au sol. On donne $c = 345 m \cdot s^{- 1}$ .

Q8. Parmi les propositions A, B, C et D suivantes, choisir et recopier sur la copie la proposition correcte. Expliquer pourquoi les autres propositions sont à écarter.

A	B	C	D
$f_{A} = \frac{c}{c - v}$	$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - v}$	$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v}$	$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - 2 v}$
$f_{E} = \frac{c}{c + v}$	$f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v}$	$f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - v}$	$f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v}$

Q9. Déterminer la vitesse $v$ de l'avion, exprimée en $km \cdot h^{- 1}$ , lors de cet atterrissage. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Annexe à rendre avec la copie

(le schéma du sujet, tourné d'un quart de tour pour tenir sur la page, est reproduit ici avec l'axe optique horizontal)

Corrigé

1. Observation avec une lunette astronomique

Q1. Une lunette astronomique est afocale lorsque l'image définitive d'un objet situé à l'infini est elle-même rejetée à l'infini : l'œil observe alors sans accommoder. Cette condition est réalisée lorsque le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire, $F_{1}^{'} = F_{2}$ ; la distance entre les deux lentilles vaut alors $O_{1} O_{2} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ .

Q2. La lunette étant afocale, le foyer objet de l'oculaire $F_{2}$ est confondu avec $F_{1}^{'}$ . Le foyer image $F_{2}^{'}$ est le symétrique de $F_{2}$ par rapport au centre optique $O_{2}$ de l'oculaire : il se place sur l'axe, à la distance $f_{2}^{'} = O_{2} F_{2}$ à droite de l'oculaire (schéma ci-dessous).

Q3. Construction. Les deux rayons issus de $B_{\infty}$ arrivent parallèles entre eux, inclinés de l'angle $α$ sur l'axe.

Le rayon passant par le centre optique $O_{1}$ de l'objectif n'est pas dévié : il coupe le plan focal image de l'objectif (plan perpendiculaire à l'axe en $F_{1}^{'}$ ) au point $B_{1}$ . Le second rayon, parallèle au premier, converge au même point $B_{1}$ après l'objectif (des rayons incidents parallèles convergent en un même point du plan focal image).
$A_{\infty}$ , sur l'axe, a pour image $A_{1} = F_{1}^{'}$ : l'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ est réelle, renversée, située dans le plan focal image de l'objectif, qui est aussi le plan focal objet de l'oculaire.
$A_{1} B_{1}$ sert d'objet à l'oculaire. $B_{1}$ étant dans le plan focal objet de l'oculaire, les rayons qui en sont issus émergent parallèles entre eux, dans la direction du rayon $B_{1} O_{2}$ qui passe par le centre optique sans être dévié (le rayon issu de $B_{1}$ parallèle à l'axe, lui, ressort en passant par le foyer image $F_{2}^{'}$ , ce qui confirme la direction) : l'image définitive $B^{'}$ est à l'infini, dans la direction inclinée de $α^{'}$ sur l'axe.

Q4. Vu depuis le sol, l'avion (longueur $L$ ) à l'altitude $h$ est observé sous l'angle $α$ tel que $tan α = \frac{L}{h}$ , soit, dans l'approximation des petits angles,

$α \approx \frac{L}{h} = \frac{44 , 5}{10 , 4 \times 1 0 ^{3}} = 4, 28 \times 1 0^{- 3} rad .$

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