Corrigé bac physique-chimie 2024 Métropole jour 1 — Exercice 2 : Observation d'un avion en vol

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Le trafic aérien est source de fascination pour beaucoup de gens. Notre observation se limite souvent à la traînée de l'avion dans le ciel ou, plus récemment, à un suivi en direct (trajectoire, vitesse, altitude) grâce à des applications en ligne.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'observation, avec une lunette astronomique afocale commerciale, de certains détails de la structure d'un avion de type A312 en vol, puis de déterminer la vitesse de cet avion en phase d'atterrissage grâce à un enregistrement du son émis par le moteur.

Données :

les valeurs du grossissement $G$ de la lunette astronomique utilisée sont comprises entre 16 et 48 ;
un observateur peut distinguer deux points différents A et B d'un objet si l'angle $α$ sous lequel ces deux points sont vus depuis le point d'observation (voir figure ci-dessous) est supérieur ou égal à $3, 0 \times 1 0^{- 4} rad$ ;

approximation dans le cas des petits angles ( $α ≪ 1 rad$ ) : $tan (α) = α$ ;
quelques données concernant un avion A312 :

longueur de l'avion : $L = 44, 5 m$ ;
altitude de vol de croisière de l'avion : $h = 10, 4 km$ ;
vitesse de vol de croisière de l'avion : $v_{c} = 863 km \cdot h^{- 1}$ ;
hublot de l'avion A312 :

1. Observation d'un avion A312 avec une lunette astronomique

Q1. Donner la définition d'une lunette afocale.

Q2. Sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, placer le foyer objet $F_{2}$ puis le foyer image $F_{2}^{'}$ de l'oculaire de la lunette astronomique.

L'avion vole à la verticale de l'observateur et se trouve donc à la distance $h$ de celui-ci.

Sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, les extrémités avant et arrière de l'avion observé sont respectivement modélisées par les points $A_{\infty}$ et $B_{\infty}$ , situés à une très grande distance de l'observateur.

Q3. Construire, sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, la marche des deux rayons lumineux issus de $B_{\infty}$ qui émergent de la lunette, en faisant apparaître l'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ .

L'angle $α$ désigne l'angle sous lequel l'avion est observé à l'œil nu. L'angle sous lequel l'avion est observé au travers de l'oculaire de la lunette astronomique est nommé $α^{'}$ .

Q4. Vérifier à l'aide d'un calcul que l'on peut distinguer, à l'œil nu, l'avant de l'avion de sa queue.

Q5. Après avoir placé les angles $α$ et $α^{'}$ sur le schéma en annexe à rendre avec la copie, rappeler l'expression du grossissement $G$ d'une lunette astronomique en fonction des angles $α$ et $α^{'}$ .

Q6. Déterminer si on peut distinguer l'un de l'autre les deux bords verticaux d'un hublot de l'avion, à l'aide de la lunette astronomique étudiée.

2. Détermination de la vitesse d'un avion A312 en phase d'atterrissage

Au voisinage de l'aéroport, un observateur enregistre le son du moteur de l'avion passant au-dessus de lui lors de sa phase d'atterrissage. L'observateur est supposé fixe lors de l'enregistrement du son.

L'analyse du signal sonore enregistré permet de déterminer les fréquences des signaux reçus par l'observateur. Lorsque l'avion s'avance en direction de l'observateur la fréquence mesurée est $f_{A} = 2, 2 kHz$ , et lorsqu'il s'éloigne la fréquence est $f_{E} = 1, 5 kHz$ .

Q7. Donner le nom du phénomène mis en jeu dans cette expérience.

On note $f_{0}$ la fréquence du signal émis par la source immobile, $c$ la vitesse du son dans l'air dans les conditions de l'expérience et $v$ la vitesse de l'avion par rapport au sol. On donne $c = 345 m \cdot s^{- 1}$ .

Q8. Parmi les propositions A, B, C et D suivantes, choisir et recopier sur la copie la proposition correcte. Expliquer pourquoi les autres propositions sont à écarter.

A	B	C	D
$f_{A} = \frac{c}{c - v}$	$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - v}$	$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v}$	$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - 2 v}$
$f_{E} = \frac{c}{c + v}$	$f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v}$	$f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - v}$	$f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v}$

Q9. Déterminer la vitesse $v$ de l'avion, exprimée en $km \cdot h^{- 1}$ , lors de cet atterrissage. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Annexe à rendre avec la copie

(le schéma du sujet, tourné d'un quart de tour pour tenir sur la page, est reproduit ici avec l'axe optique horizontal)

Corrigé

1. Observation avec une lunette astronomique

Q1. Une lunette astronomique est afocale lorsque l'image définitive d'un objet situé à l'infini est elle-même rejetée à l'infini : l'œil observe alors sans accommoder. Cette condition est réalisée lorsque le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire, $F_{1}^{'} = F_{2}$ ; la distance entre les deux lentilles vaut alors $O_{1} O_{2} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ .

Q2. La lunette étant afocale, le foyer objet de l'oculaire $F_{2}$ est confondu avec $F_{1}^{'}$ . Le foyer image $F_{2}^{'}$ est le symétrique de $F_{2}$ par rapport au centre optique $O_{2}$ de l'oculaire : il se place sur l'axe, à la distance $f_{2}^{'} = O_{2} F_{2}$ à droite de l'oculaire (schéma ci-dessous).

Q3. Construction. Les deux rayons issus de $B_{\infty}$ arrivent parallèles entre eux, inclinés de l'angle $α$ sur l'axe.

Le rayon passant par le centre optique $O_{1}$ de l'objectif n'est pas dévié : il coupe le plan focal image de l'objectif (plan perpendiculaire à l'axe en $F_{1}^{'}$ ) au point $B_{1}$ . Le second rayon, parallèle au premier, converge au même point $B_{1}$ après l'objectif (des rayons incidents parallèles convergent en un même point du plan focal image).
$A_{\infty}$ , sur l'axe, a pour image $A_{1} = F_{1}^{'}$ : l'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ est réelle, renversée, située dans le plan focal image de l'objectif, qui est aussi le plan focal objet de l'oculaire.
$A_{1} B_{1}$ sert d'objet à l'oculaire. $B_{1}$ étant dans le plan focal objet de l'oculaire, les rayons qui en sont issus émergent parallèles entre eux, dans la direction du rayon $B_{1} O_{2}$ qui passe par le centre optique sans être dévié (le rayon issu de $B_{1}$ parallèle à l'axe, lui, ressort en passant par le foyer image $F_{2}^{'}$ , ce qui confirme la direction) : l'image définitive $B^{'}$ est à l'infini, dans la direction inclinée de $α^{'}$ sur l'axe.

Q4. Vu depuis le sol, l'avion (longueur $L$ ) à l'altitude $h$ est observé sous l'angle $α$ tel que $tan α = \frac{L}{h}$ , soit, dans l'approximation des petits angles,

$α \approx \frac{L}{h} = \frac{44 , 5}{10 , 4 \times 1 0 ^{3}} = 4, 28 \times 1 0^{- 3} rad .$

(Les deux longueurs sont exprimées dans la même unité : $h = 10, 4 km = 1, 04 \times 1 0^{4} m$ .) Comme $α = 4, 3 \times 1 0^{- 3} rad > 3, 0 \times 1 0^{- 4} rad$ (environ 14 fois la limite de résolution), on distingue bien, à l'œil nu, l'avant de l'avion de sa queue. L'approximation est légitime : $α \approx 0, 2 5^{\circ} ≪ 1 rad$ .

Q5. Sur le schéma, $α$ est l'angle entre l'axe optique et les rayons incidents issus de $B_{\infty}$ (mesuré en $O_{1}$ ) : c'est l'angle sous lequel l'œil nu voit l'avion. L'angle $α^{'}$ est l'angle entre l'axe optique et les rayons émergents (mesuré en $O_{2}$ ) : c'est l'angle sous lequel l'œil voit l'image à travers la lunette. Le grossissement est le rapport de ces deux angles :

$G = \frac{α ^{'}}{α} (et, pour une lunette afocale, G = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}) .$

Sur le schéma, on lit d'ailleurs $A_{1} B_{1} = f_{1}^{'} α = f_{2}^{'} α^{'}$ (rayons non déviés par $O_{1}$ puis par $O_{2}$ ), ce qui redonne $G = f_{1}^{'} / f_{2}^{'} = 7/2 = 3, 5$ pour les distances focales du dessin.

Q6. Les deux bords verticaux d'un hublot sont distants de sa largeur $ℓ = 23 cm = 0, 23 m$ . À l'œil nu, ils sont vus sous l'angle

$α_{h} \approx \frac{ℓ}{h} = \frac{0 , 23}{1 , 04 \times 1 0 ^{4}} = 2, 2 \times 1 0^{- 5} rad < 3, 0 \times 1 0^{- 4} rad :$

impossible de les distinguer à l'œil nu (il faudrait un angle 14 fois plus grand). À travers la lunette, l'angle devient $α_{h}^{'} = G α_{h}$ . Avec le plus faible grossissement, $G = 16$ :

$α_{h}^{'} = 16 \times 2, 2 \times 1 0^{- 5} = 3, 5 \times 1 0^{- 4} rad \geq 3, 0 \times 1 0^{- 4} rad,$

et avec le plus fort, $G = 48$ : $α_{h}^{'} = 48 \times 2, 2 \times 1 0^{- 5} = 1, 1 \times 1 0^{- 3} rad$ , très supérieur à la limite. Oui, la lunette permet de distinguer les deux bords verticaux d'un hublot, quel que soit le grossissement choisi entre 16 et 48 — de justesse pour $G = 16$ , confortablement pour $G = 48$ . Ce que le correcteur attend : la largeur convertie en mètres, la comparaison de $α_{h}$ puis de $G α_{h}$ à $3, 0 \times 1 0^{- 4} rad$ , et l'examen des deux valeurs extrêmes de $G$ .

2. Vitesse de l'avion à l'atterrissage

Q7. Il s'agit de l'effet Doppler : la fréquence du son reçu par un observateur fixe diffère de la fréquence émise lorsque la source (le moteur de l'avion) est en mouvement — plus élevée quand la source se rapproche, plus basse quand elle s'éloigne.

Q8. La proposition correcte est la proposition B :

$f_{A} = f_{0} \cdot \frac{c}{c - v} et f_{E} = f_{0} \cdot \frac{c}{c + v} .$

Justification. Lorsque la source se rapproche à la vitesse $v$ , elle rattrape les fronts d'onde émis vers l'avant : la longueur d'onde perçue est raccourcie, $λ_{A} = (c - v) T_{0}$ , d'où $f_{A} = \frac{c}{λ _{A}} = f_{0} \frac{c}{c - v} > f_{0}$ . Lorsqu'elle s'éloigne, $λ_{E} = (c + v) T_{0}$ et $f_{E} = f_{0} \frac{c}{c + v} < f_{0}$ . On vérifie que les deux expressions redonnent $f_{0}$ pour $v = 0$ .

A est à écarter par analyse dimensionnelle : $\frac{c}{c - v}$ est un rapport de deux vitesses, sans dimension, alors que $f_{A}$ est une fréquence (en Hz) ; il manque le facteur $f_{0}$ .
C est à écarter car les rôles sont inversés : elle donne $f_{A} = f_{0} \frac{c}{c + v} < f_{0}$ pour un rapprochement, alors que la fréquence perçue doit augmenter quand la source se rapproche (son plus aigu), et $f_{E} > f_{0}$ pour un éloignement.
D est à écarter car le facteur $2 v$ n'a pas de raison d'être ici (il apparaît pour une onde réfléchie par un obstacle mobile, comme dans un radar, où l'effet Doppler joue deux fois) ; de plus la proposition n'est pas symétrique entre le rapprochement ( $c - 2 v$ ) et l'éloignement ( $c + v$ ).

Q9. Démarche. La fréquence émise $f_{0}$ est inconnue : on l'élimine en faisant le rapport des deux relations de la proposition B, puis on isole $v$ .

$\frac{f _{A}}{f _{E}} = \frac{c + v}{c - v} ⟹ f_{A} (c - v) = f_{E} (c + v) ⟹ v (f_{A} + f_{E}) = c (f_{A} - f_{E}),$

$v = c \frac{f _{A} - f _{E}}{f _{A} + f _{E}} .$

Application numérique (les fréquences peuvent rester en kHz, leur rapport étant sans dimension) :

$v = 345 \times \frac{2 , 2 - 1 , 5}{2 , 2 + 1 , 5} = 345 \times \frac{0 , 7}{3 , 7} = 65, 3 m \cdot s^{- 1} .$

Conversion : $1 m \cdot s^{- 1} = 3, 6 km \cdot h^{- 1}$ , donc

$v = 65, 27 \times 3, 6 = 235 km \cdot h^{- 1} \approx 2, 3 \times 1 0^{2} km \cdot h^{- 1}$

(deux chiffres significatifs, comme les fréquences ; $234, 97$ s'arrondit à $2, 3 \times 1 0^{2}$ , et un correcteur accepterait aussi $2, 4 \times 1 0^{2}$ selon les arrondis intermédiaires). On peut vérifier la cohérence en calculant la fréquence émise : $f_{0} = f_{A} \frac{c - v}{c} = 2, 2 \times \frac{345 - 65 , 3}{345} = 1, 8 kHz$ , bien comprise entre $f_{E}$ et $f_{A}$ (la relation de $f_{E}$ redonne la même valeur).

Commentaire. Une vitesse d'environ $235 km \cdot h^{- 1}$ est très inférieure à la vitesse de croisière $v_{c} = 863 km \cdot h^{- 1}$ (près de quatre fois moins) : c'est cohérent avec une phase d'atterrissage, où un avion de ligne se présente à environ $250 km \cdot h^{- 1}$ . La précision est limitée : $f_{A}$ et $f_{E}$ ne sont données qu'avec deux chiffres significatifs (soit à $\pm 0, 05 kHz$ ), ce qui entraîne une incertitude de l'ordre de 15 % sur $v$ (entre $2, 0 \times 1 0^{2}$ et $2, 7 \times 1 0^{2} km \cdot h^{- 1}$ selon les valeurs extrêmes des fréquences). Enfin, les relations utilisées supposent que l'avion se déplace le long de la direction observateur--source : elles s'appliquent quand l'avion est encore loin (à l'approche puis à l'éloignement), la fréquence passant continûment de $f_{A}$ à $f_{E}$ lorsqu'il survole l'observateur. Ce que le correcteur attend : l'élimination de $f_{0}$ par le rapport (et non une valeur de $f_{0}$ inventée), la formule littérale avant le calcul, la conversion en $km \cdot h^{- 1}$ et une comparaison chiffrée avec $v_{c}$ .

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