Corrigé bac physique-chimie 2024 Métropole jour 1 — Exercice 3 : Accéléromètre d'un mobile multifonction

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Les mobiles multifonctions, souvent appelés smartphones, sont équipés de plusieurs capteurs leur permettant d'être utilisés comme des instruments de mesure. Par exemple, la plupart des smartphones disposent d'un accéléromètre, capteur qui permet de mesurer l'accélération à laquelle le téléphone est soumis.

L'objectif de cet exercice est d'établir un modèle de la force de frottement s'exerçant sur un smartphone chutant dans l'air, à l'aide des mesures d'accélération fournies par l'accéléromètre embarqué.

Données :

masse du smartphone utilisé : $m = 182 g$ ;
intensité de la pesanteur terrestre : $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ ;
dans tout l'exercice, on ne tient pas compte de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le smartphone.

Le mouvement du centre de masse G du smartphone est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère d'espace d'axe $(O z)$ , vertical, orienté vers le haut et de vecteur unitaire $k$ (voir figure 1). À la date $t = 0$ , le smartphone est lâché à plat, avec une vitesse initiale nulle. Son centre de masse G se trouve alors au point H de coordonnée $z = h$ . Il est réceptionné quelques instants plus tard sur un coussin posé au sol. Lorsque le smartphone est en contact avec le coussin, son centre de masse est à l'altitude $z = 0$ .

Figure 1. Modélisation de la chute du smartphone

1. Modèle de la chute libre sans frottement

On fait tout d'abord l'hypothèse que le smartphone est en mouvement de chute libre verticale. On ne tient donc pas compte des forces de frottement exercées par l'air sur le smartphone en mouvement.

Q1. Dans ce modèle, faire un bilan des forces appliquées au système \{smartphone\}. En déduire l'expression de la coordonnée $a_{z}$ de l'accélération du centre de masse G du système.

Q2. Établir l'expression de la coordonnée $v_{z} (t)$ de la vitesse du centre de masse G du système puis montrer que l'équation horaire de l'altitude $z (t)$ du centre de masse G a pour expression :

$z (t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} + h$

On choisit l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{P P} (z)$ au niveau de l'origine de l'axe $(O z)$ : $E_{P P} (z = 0) = 0$ .

Q3. Justifier que l'énergie mécanique $E_{M}$ du smartphone est constante et qu'elle a pour expression : $E_{M} = m \cdot g \cdot h$ .

2. Étude expérimentale de la chute du smartphone

Pour confronter le modèle de chute libre sans frottement à l'expérience, on lâche à la date $t = 0$ un téléphone équipé d'un accéléromètre, avec une vitesse initiale nulle depuis la hauteur $h = 1, 70 m$ . La figure 2 est obtenue à partir des valeurs de l'accélération enregistrées par le capteur entre le lâcher du téléphone et la date $t = 0, 47 s$ .

Figure 2. Accélération verticale $a_{z}$ du smartphone en fonction du temps $t$

Q4. Indiquer, en justifiant, si l'évolution temporelle de la valeur de la composante $a_{z}$ de l'accélération obtenue expérimentalement est compatible avec le modèle de chute libre sans frottement.

Le traitement des données acquises permet de tracer l'évolution temporelle de trois formes d'énergies du smartphone : énergie potentielle de pesanteur $E_{P P} (t)$ , énergie cinétique $E_{C} (t)$ et énergie mécanique $E_{M} (t)$ , comme représenté sur la figure 3.

Figure 3. Représentations graphiques de $E_{P P} (t)$ , $E_{C} (t)$ et $E_{M} (t)$ lors de la chute du smartphone

Q5. Associer, en justifiant, chaque courbe d'évolution temporelle A et B de la figure 3 à la forme d'énergie correspondante.

Q6. Montrer, à partir de la figure 3, que la vitesse du smartphone est proche de $5 m \cdot s^{- 1}$ à la date $t = 0, 45 s$ .

Les actions de frottement de l'air sur le smartphone sont représentées par une force $f$ verticale et dirigée vers le haut. Cette force est nulle lorsque la vitesse du smartphone est nulle.

Q7. En appliquant la deuxième loi de Newton au système \{smartphone\}, montrer que la coordonnée verticale de la force de frottement vérifie :

$f = m \cdot (a_{z} + g)$

Les données expérimentales permettent de représenter les variations de la composante verticale de l'accélération $a_{z}$ du smartphone en fonction du carré $v^{2}$ de sa vitesse. Les résultats sont représentés sur la figure 4. Les données expérimentales sont correctement représentées par une modélisation affine :

$a_{z} = 0, 0555 \times v^{2} - 9, 80 o u ˋ a_{z} est exprim e ˊ e en m \cdot s^{- 2} et v en m \cdot s^{- 1}$

Figure 4. Modélisation de la représentation de $a_{z}$ en fonction de $v^{2}$

Q8. Déterminer la valeur expérimentale de l'intensité de la pesanteur $g$ que l'on peut déduire de cette expérience.

Q9. Montrer que l'on peut déduire de ces résultats que la force de frottement exercée par l'air peut s'écrire $f = k \cdot v^{2}$ où $k$ est un coefficient dont on donnera la valeur et l'unité.

Q10. Calculer la valeur $f$ de la force de frottement en fin de chute. Comparer cette valeur à celle du poids du smartphone et commenter.

Corrigé

1. Modèle de la chute libre sans frottement

Q1. Système : le smartphone, de masse $m$ , assimilé à son centre de masse G. Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Bilan des forces : dans le modèle de la chute libre, sans frottement et en négligeant la poussée d'Archimède, la seule force appliquée est le poids $P = m g = - m g k$ (vertical, vers le bas, de valeur $m g$ ).

Deuxième loi de Newton : $\sum F = m a$ , soit $m g = m a$ , d'où $a = g$ . En projection sur l'axe $(O z)$ orienté vers le haut :

$a_{z} = - g .$

L'accélération est constante, indépendante de la masse, dirigée vers le bas.

Q2. Par définition, $a_{z} = \frac{d v _{z}}{d t} = - g$ . En intégrant par rapport au temps : $v_{z} (t) = - g t + v_{z} (0)$ . Le smartphone est lâché sans vitesse initiale, $v_{z} (0) = 0$ , donc

$v_{z} (t) = - g t .$

(La vitesse est négative : le mouvement se fait vers les $z$ décroissants, et sa valeur $∣ v_{z} ∣ = g t$ croît linéairement.) De même $v_{z} = \frac{d z}{d t} = - g t$ s'intègre en $z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + z (0)$ , et la condition initiale $z (0) = h$ (G est en H à $t = 0$ ) donne

$z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + h .$

Q3. Le poids est une force conservative : c'est la seule force qui travaille (il n'y a ni frottement ni autre force non conservative dans ce modèle). D'après le théorème de conservation de l'énergie mécanique, $E_{M} = E_{C} + E_{P P}$ est constante au cours de la chute. Il suffit donc de la calculer à la date $t = 0$ : la vitesse initiale est nulle, $E_{C} (0) = \frac{1}{2} m \times 0^{2} = 0$ , et G est à l'altitude $h$ , $E_{P P} (0) = m g h$ (avec l'origine choisie $E_{P P} (0) = 0$ en $z = 0$ ). Ainsi

$E_{M} = 0 + m g h = m g h .$

Vérification directe à une date $t$ quelconque : $E_{C} = \frac{1}{2} m v_{z}^{2} = \frac{1}{2} m g^{2} t^{2}$ et $E_{P P} = m g z = m g h - \frac{1}{2} m g^{2} t^{2}$ , dont la somme vaut bien $m g h$ , indépendante de $t$ . Numériquement, avec $h = 1, 70 m$ : $E_{M} = 0, 182 \times 9, 81 \times 1, 70 = 3, 04 J$ .

2. Étude expérimentale

Q4. Dans le modèle de chute libre, $a_{z} = - g = - 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ est constante : la courbe $a_{z} (t)$ devrait être une droite horizontale. Sur la figure 2, on lit $a_{z} \approx - 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ à $t = 0$ (en accord avec $- g$ au moment du lâcher, quand la vitesse est nulle), mais $a_{z}$ augmente ensuite régulièrement en valeur algébrique, jusqu'à $a_{z} \approx - 8, 4 m \cdot s^{- 2}$ à $t = 0, 47 s$ : la valeur absolue de l'accélération diminue de 14 % au cours de la chute. L'évolution expérimentale n'est donc pas compatible avec le modèle de chute libre sans frottement, sauf dans les tout premiers instants : une force opposée au poids, croissante avec la vitesse — le frottement de l'air —, freine de plus en plus le smartphone.

Q5. Au cours de la chute, l'altitude $z$ diminue, donc $E_{P P} = m g z$ diminue, tandis que la vitesse augmente, donc $E_{C} = \frac{1}{2} m v^{2}$ augmente.

La courbe A décroît de $3, 0 J$ environ à $t = 0$ jusqu'à $0, 55 J$ à $t = 0, 47 s$ : c'est l'énergie potentielle de pesanteur $E_{P P} (t)$ . Sa valeur initiale est cohérente avec $m g h = 0, 182 \times 9, 81 \times 1, 70 = 3, 0 J$ .
La courbe B croît à partir d'une valeur quasi nulle (vitesse initiale nulle) jusqu'à $2, 25 J$ : c'est l'énergie cinétique $E_{C} (t)$ .

On vérifie qu'à chaque date la somme des deux courbes redonne $E_{M} (t)$ , qui décroît légèrement (de $3, 0$ à $2, 85 J$ ) : cette perte d'énergie mécanique d'environ 5 % est le travail résistant des frottements de l'air.

Q6. Sur la figure 3, à $t = 0, 45 s$ , on lit sur la courbe B : $E_{C} \approx 2, 1 J$ (le point est situé un peu au-dessus de la graduation $2 J$ ). Comme $E_{C} = \frac{1}{2} m v^{2}$ ,

$v = \frac{2 E _{C}}{m} = \frac{2 \times 2 , 1}{0 , 182} = 23 = 4, 8 m \cdot s^{- 1} \approx 5 m \cdot s^{- 1} .$

Autre lecture possible : $E_{C} = E_{M} - E_{P P}$ avec $E_{M} \approx 2, 85 J$ et $E_{P P} \approx 0, 7 J$ (courbe A à $0, 45 s$ ), soit $E_{C} \approx 2, 1$ à $2, 2 J$ et $v = 4, 8$ à $4, 9 m \cdot s^{- 1}$ , même résultat. La vitesse en fin de chute est bien proche de $5 m \cdot s^{- 1}$ (soit $18 km \cdot h^{- 1}$ ). Ce que le correcteur attend : la masse en kilogrammes ( $0, 182 kg$ ) et la racine carrée.

Q7. Système : le smartphone ; référentiel : terrestre galiléen ; bilan des forces : le poids $P = - m g k$ et la force de frottement $f = f k$ , verticale vers le haut ( $f \geq 0$ est sa coordonnée sur $k$ ). Deuxième loi de Newton :

$P + f = m a ⟹ en projection sur (O z) : - m g + f = m a_{z},$

d'où

$f = m a_{z} + m g = m (a_{z} + g) .$

On retrouve $f = 0$ lorsque $a_{z} = - g$ (chute libre, vitesse nulle) et $f > 0$ dès que $a_{z} > - g$ , ce qui est le cas sur la figure 2.

Q8. La force de frottement est nulle quand la vitesse est nulle : pour $v = 0$ , $f = 0$ et donc $a_{z} = - g$ d'après Q7. L'ordonnée à l'origine de la modélisation affine, $a_{z} (v^{2} = 0) = - 9, 80 m \cdot s^{- 2}$ , fournit ainsi la valeur expérimentale

$g_{exp} = 9, 80 m \cdot s^{- 2},$

en excellent accord avec la valeur de référence $9, 81 m \cdot s^{- 2}$ (écart relatif de 0,1 %). L'accéléromètre du smartphone est donc bien étalonné.

Q9. En reportant la modélisation $a_{z} = 0, 0555 v^{2} - 9, 80$ dans l'expression de Q7, et en utilisant la valeur expérimentale $g_{exp} = 9, 80 m \cdot s^{- 2}$ issue de la même série de mesures :

$f = m (a_{z} + g) = m (0, 0555 v^{2} - 9, 80 + 9, 80) = 0, 0555 m v^{2} .$

La force de frottement est donc proportionnelle au carré de la vitesse, $f = k v^{2}$ , avec

$k = 0, 0555 \times m = 0, 0555 \times 0, 182 = 1, 01 \times 1 0^{- 2} kg \cdot m^{- 1} .$

Unité : le coefficient $0, 0555$ est en $m^{- 1}$ (rapport d'une accélération, $m \cdot s^{- 2}$ , à un carré de vitesse, $m^{2} \cdot s^{- 2}$ ), donc $k$ est en $kg \cdot m^{- 1}$ ; on peut aussi l'écrire $N \cdot s^{2} \cdot m^{- 2}$ , puisque $f$ (en N) $= k v^{2}$ (en $m^{2} \cdot s^{- 2}$ ). Ce que le correcteur attend : la simplification $- 9, 80 + 9, 80 = 0$ justifiée par la valeur expérimentale de $g$ (avec $9, 81$ il resterait un terme constant de $2 \times 1 0^{- 3} N$ , négligeable) et $m$ en kg.

Q10. En fin de chute ( $t \approx 0, 45$ à $0, 47 s$ ), $v \approx 5 m \cdot s^{- 1}$ (Q6), donc

$f = k v^{2} = 1, 01 \times 1 0^{- 2} \times 5^{2} = 0, 25 N$

(avec la valeur $v = 4, 8 m \cdot s^{- 1}$ de Q6, $f = 0, 23 N$ : même ordre de grandeur). On peut vérifier avec la figure 2 : $f = m (a_{z} + g) = 0, 182 \times (- 8, 4 + 9, 81) = 0, 26 N$ , valeur cohérente. Le poids du smartphone vaut

$P = m g = 0, 182 \times 9, 81 = 1, 79 N .$

Le rapport $\frac{f}{P} = \frac{0 , 25}{1 , 79} \approx 0, 14$ : en fin de chute, le frottement de l'air représente environ 14 % du poids. Il reste nettement inférieur au poids — le smartphone continue d'accélérer, on est loin de la vitesse limite $v_{l i m} = g /0, 0555 \approx 13 m \cdot s^{- 1}$ pour laquelle $f$ compenserait $P$ —, mais il n'est pas négligeable : c'est lui qui explique la diminution de $∣ a_{z} ∣$ (figure 2) et la baisse de 5 % de l'énergie mécanique (figure 3). Le modèle de la chute libre sans frottement n'est donc acceptable qu'au tout début de la chute, tant que la vitesse reste faible ; au-delà, le modèle $f = k v^{2}$ rend correctement compte des mesures de l'accéléromètre. Ce que le correcteur attend : le calcul du poids en newtons avec $m$ en kg, un rapport chiffré et une phrase de conclusion sur la validité du modèle.

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