Corrigé bac physique-chimie 2025 Métropole jour 1 — Exercice 2 : Datation d'une roche

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Les phénomènes de radioactivité permettent, en géologie, la datation des roches. Il est par exemple possible d'utiliser le strontium 87 ( $^{87} Sr$ ), qui est notamment issu de la désintégration du rubidium 87 ( $^{87} Rb$ ), lui-même également présent dans une roche.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier le principe de la datation au strontium 87, puis d'utiliser des résultats d'analyse pour déterminer l'âge d'une roche du site de Meymac situé dans le département de la Corrèze, site âgé de plusieurs centaines de millions d'années.

Données :

temps de demi-vie du noyau de rubidium 87 exprimé en années (a) : $t_{1/2} = 49, 2 \times 1 0^{9} a$ ;
constante radioactive du noyau de rubidium 87 : $λ = 1, 41 \times 1 0^{- 11} a^{- 1}$ ;
on suppose qu'une datation d'un échantillon de 1 g de roche par le rubidium 87 radioactif est possible tant qu'il reste au moins $N_{m i n} = 2, 0 \times 1 0^{9}$ noyaux de rubidium 87 dans l'échantillon ;
extrait du diagramme (N,Z) : les cases grises indiquent les éléments stables.

1. Le rubidium 87, un isotope radioactif adapté pour dater une roche

Q1. Rappeler la définition de noyaux isotopes.

Q2. Écrire l'équation de la désintégration du rubidium 87 indiquée par la flèche sur l'extrait du diagramme (N,Z).

Q3. Préciser à quel type de désintégration correspond cette transformation nucléaire.

On estime qu'un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac contenait à sa formation $N_{Rb} (0) = 5, 8 \times 1 0^{20}$ noyaux de rubidium 87. On souhaite déterminer l'âge maximal d'une roche qu'il serait possible de déterminer par une datation au rubidium 87 d'un échantillon de 1 g.

Q4. Rappeler la définition du temps de demi-vie $t_{1/2}$ .

Q5. Déterminer, en justifiant le résultat, le nombre maximal de demi-vies après lequel il reste suffisamment de rubidium 87 dans l'échantillon pour qu'on puisse le détecter.

On remarquera que le rapport $\frac{5 , 8 \times 1 0 ^{20}}{2 , 0 \times 1 0 ^{9}}$ est compris entre $2^{38}$ et $2^{39}$ .

Q6. Justifier que le rubidium 87 est adapté pour dater un échantillon de 1 g de roche du site de Meymac.

2. Décroissance radioactive du rubidium 87 dans une roche

La désintégration spontanée des noyaux de rubidium 87 présents dans un échantillon de 1 g de roche suit la loi de décroissance radioactive. Le nombre $N_{Rb} (t)$ de noyaux de rubidium 87 présents dans un échantillon de roche à la date $t$ est solution de l'équation différentielle suivante :

$\frac{d N _{Rb} ( t )}{d t} = - λ \cdot N_{Rb} (t)$

Q7. Vérifier que $N_{Rb} (t) = N_{Rb} (0) \cdot e^{- λ \cdot t}$ est solution de l'équation différentielle ci-dessus.

On appelle $t_{f}$ la date à laquelle il reste $N_{m i n} = 2, 0 \times 1 0^{9}$ noyaux de rubidium 87 dans l'échantillon.

Q8. Déterminer l'expression de $t_{f}$ en fonction de $N_{m i n}$ , $N_{Rb} (0)$ et $λ$ .

Q9. Calculer la valeur de $t_{f}$ puis la comparer à la réponse donnée dans la question Q6. Commenter.

3. Datation d'une roche du site de Meymac au strontium 87

On considère que la quantité de strontium 87 formé au cours du temps dans la roche est uniquement issue de la désintégration du rubidium 87. La quantité de strontium 87 présent dans la roche à une date $t$ s'écrit :

$N_{Sr} (t) = N_{Sr} (0) + N_{Sr form e ˊ} (t) E ˊ quation 1$

avec :

$N_{Sr} (t)$ : nombre de noyaux de strontium 87 présents à la date $t$ ;
$N_{Sr} (0)$ : nombre de noyaux de strontium 87 présents à la date $t = 0$ ;
$N_{Sr form e ˊ} (t)$ : nombre de noyaux de strontium 87 formés par la désintégration du rubidium 87 à la date $t$ .

Q10. Donner la relation entre $N_{Sr form e ˊ} (t)$ , $N_{Rb} (0)$ et $N_{Rb} (t)$ , sachant que pour un noyau de rubidium 87 qui se désintègre, un noyau de strontium 87 se forme.

Q11. En déduire l'égalité :

$N_{Sr form e ˊ} (t) = N_{Rb} (t) \cdot (e^{λ \cdot t} - 1) E ˊ quation 2$

Les équations 1 et 2 permettent enfin d'obtenir l'équation 3 :

$\frac{N _{Sr} ( t )}{N _{r e ˊ f}} = \frac{N _{Sr} ( 0 )}{N _{r e ˊ f}} + (e^{λ \cdot t} - 1) \cdot \frac{N _{Rb} ( t )}{N _{r e ˊ f}} E ˊ quation 3$

où $N_{r e ˊ f}$ représente le nombre de noyaux stables de strontium 86, supposé constant au cours du temps.

On écrit l'équation 3 sous la forme $y = b + (e^{λ \cdot t} - 1) \cdot x$ avec $y = \frac{N _{Sr} ( t )}{N _{r e ˊ f}}$ , $b = \frac{N _{Sr} ( 0 )}{N _{r e ˊ f}}$ et $x = \frac{N _{Rb} ( t )}{N _{r e ˊ f}}$ , dans laquelle :

$y$ et $x$ sont des grandeurs mesurables par les géologues pour un ensemble d'échantillons prélevés dans une roche donnée ;
$b$ est une grandeur indépendante de l'échantillon.

Plusieurs échantillons de roche du site de Meymac sont prélevés à la date $t_{roche}$ correspondant à l'âge de la roche. Pour chaque échantillon, on mesure les grandeurs $x$ et $y$ . Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 1 ci-après :

Figure 1. Mesures pour différents échantillons de roche du site de Meymac

Q12. Déterminer l'âge $t_{roche}$ de la roche du site de Meymac.

Corrigé

1. Le rubidium 87, un isotope adapté

Q1. Des noyaux isotopes sont des noyaux qui possèdent le même nombre de protons $Z$ (ils appartiennent au même élément chimique) mais des nombres de neutrons $N$ différents, donc des nombres de masse $A = Z + N$ différents. Sur l'extrait du diagramme, les trois noyaux d'une même colonne (par exemple $^{86} Rb$ , $^{87} Rb$ , $^{88} Rb$ , $Z = 37$ ) sont isotopes.

Q2. La flèche part de la case du rubidium 87 ( $Z = 37$ , $N = 50$ ) et arrive sur celle du strontium 87 ( $Z = 38$ , $N = 49$ ) : le nombre de masse $A = 87$ est conservé, $Z$ augmente d'une unité et $N$ diminue d'une unité. D'après les lois de conservation de Soddy (conservation du nombre de masse et de la charge électrique), la particule émise a pour nombre de masse $87 - 87 = 0$ et pour numéro atomique $37 - 38 = - 1$ : c'est un électron $_{- 1}^{0} e$ . L'équation s'écrit

$_{37}^{87} Rb ⟶_{38}^{87} Sr +_{- 1}^{0} e$

(un antineutrino, hors programme, accompagne l'électron).

Q3. La particule émise est un électron : il s'agit d'une désintégration $β^{-}$ (bêta moins), au cours de laquelle un neutron du noyau se transforme en proton. Elle est cohérente avec la position du rubidium 87 dans le diagramme, au-dessus des cases grises : un excès de neutrons est corrigé par une émission $β^{-}$ , qui ramène le noyau vers la vallée de stabilité (le strontium 87 est stable).

Q4. Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se sont désintégrés : $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ . C'est une caractéristique du noyau, indépendante de la taille de l'échantillon.

Q5. Après chaque demi-vie, le nombre de noyaux est divisé par 2 : après $n$ demi-vies, il reste

$N_{Rb} (n t_{1/2}) = \frac{N _{Rb} ( 0 )}{2 ^{n}} .$

La datation reste possible tant que $N_{Rb} \geq N_{m i n}$ , c'est-à-dire tant que

$\frac{N _{Rb} ( 0 )}{2 ^{n}} \geq N_{m i n} ⟺ 2^{n} \leq \frac{N _{Rb} ( 0 )}{N _{m i n}} = \frac{5 , 8 \times 1 0 ^{20}}{2 , 0 \times 1 0 ^{9}} = 2, 9 \times 1 0^{11} .$

D'après l'indication de l'énoncé, ce rapport est compris entre $2^{38}$ et $2^{39}$ ( $2^{38} = 2, 7 \times 1 0^{11}$ et $2^{39} = 5, 5 \times 1 0^{11}$ ) : la condition est satisfaite pour $n = 38$ et ne l'est plus pour $n = 39$ . Le nombre maximal de demi-vies est donc $n_{m a x} = 38$ . Vérification : après 38 demi-vies, il reste $\frac{5 , 8 \times 1 0 ^{20}}{2 ^{38}} = 2, 1 \times 1 0^{9}$ noyaux ( $\geq N_{m i n}$ ), et après 39 seulement $1, 1 \times 1 0^{9}$ ( $< N_{m i n}$ ).

Q6. L'âge maximal que l'on peut mesurer avec 1 g de roche est donc

$t_{m a x} = 38 t_{1/2} = 38 \times 49, 2 \times 1 0^{9} = 1, 9 \times 1 0^{12} a,$

soit près de deux mille milliards d'années, très supérieur à l'âge de la roche de Meymac (quelques centaines de millions d'années, ordre de grandeur $1 0^{8} a$ ) et même à l'âge de l'Univers ( $1, 4 \times 1 0^{10} a$ ). Il reste donc, dans 1 g de roche, bien plus de $N_{m i n}$ noyaux de rubidium 87 détectables : le rubidium 87 est adapté à la datation de cette roche.

2. Décroissance radioactive

Q7. On dérive la fonction proposée par rapport au temps (dérivée de $e^{- λ t}$ : $- λ e^{- λ t}$ ) :

$\frac{d N _{Rb} ( t )}{d t} = N_{Rb} (0) \times (- λ) e^{- λ t} = - λ [N_{Rb} (0) e^{- λ t}] = - λ N_{Rb} (t) .$

L'équation différentielle est vérifiée ; de plus, à $t = 0$ , $e^{0} = 1$ et la fonction vaut bien $N_{Rb} (0)$ : c'est la loi de décroissance radioactive.

Q8. À la date $t_{f}$ , $N_{Rb} (t_{f}) = N_{m i n}$ , soit $N_{m i n} = N_{Rb} (0) e^{- λ t_{f}}$ . On isole l'exponentielle puis on prend le logarithme népérien :

$e^{- λ t_{f}} = \frac{N _{m i n}}{N _{Rb} ( 0 )} ⟹ - λ t_{f} = ln \frac{N _{m i n}}{N _{Rb} ( 0 )} ⟹ t_{f} = \frac{1}{λ} ln \frac{N _{Rb} ( 0 )}{N _{m i n}}$

(on a utilisé $- ln \frac{a}{b} = ln \frac{b}{a}$ ; $t_{f}$ est bien positif car $N_{Rb} (0) > N_{m i n}$ ).

Q9. Application numérique :

$t_{f} = \frac{1}{1 , 41 \times 1 0 ^{- 11}} \times ln \frac{5 , 8 \times 1 0 ^{20}}{2 , 0 \times 1 0 ^{9}} = \frac{ln ( 2 , 9 \times 1 0 ^{11} )}{1 , 41 \times 1 0 ^{- 11}} = \frac{26 , 4}{1 , 41 \times 1 0 ^{- 11}} = 1, 9 \times 1 0^{12} a .$

On retrouve la valeur $38 t_{1/2} \approx 1, 9 \times 1 0^{12} a$ de la question Q6. C'est normal : comme $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ , on a $t_{f} = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln \frac{N _{Rb} ( 0 )}{N _{m i n}} = t_{1/2} \times lo g_{2} (2, 9 \times 1 0^{11}) = 38, 1 t_{1/2}$ : le calcul exact avec la loi exponentielle confirme le raisonnement par demi-vies successives, qui n'en donne que la partie entière. Ce que le correcteur attend : $λ$ en $a^{- 1}$ donne $t_{f}$ en années, sans conversion.

3. Datation au strontium 87

Q10. Chaque noyau de rubidium 87 disparu a donné un noyau de strontium 87. Le nombre de noyaux de strontium 87 formés à la date $t$ est donc égal au nombre de noyaux de rubidium 87 qui se sont désintégrés depuis la formation de la roche :

$N_{Sr form e ˊ} (t) = N_{Rb} (0) - N_{Rb} (t) .$

Q11. D'après la loi de décroissance, $N_{Rb} (t) = N_{Rb} (0) e^{- λ t}$ , d'où $N_{Rb} (0) = N_{Rb} (t) e^{λ t}$ . En remplaçant dans la relation de Q10 :

$N_{Sr form e ˊ} (t) = N_{Rb} (t) e^{λ t} - N_{Rb} (t) = N_{Rb} (t) (e^{λ t} - 1) .$

(En reportant dans l'équation 1 et en divisant par $N_{r e ˊ f}$ , on obtient l'équation 3.)

Q12. Démarche. Tous les échantillons ont le même âge $t_{roche}$ et la même valeur de $b$ (grandeur indépendante de l'échantillon) : d'après l'équation 3, les points $(x; y)$ sont alignés sur une droite d'ordonnée à l'origine $b$ et de coefficient directeur $e^{λ t_{roche}} - 1$ . C'est bien ce que montre la figure 1, et la modélisation fournit $y = 0, 7105 + 0, 0042 x$ . Par identification :

$b = 0, 7105 et e^{λ t_{roche}} - 1 = 0, 0042.$

On en tire $e^{λ t_{roche}} = 1, 0042$ , puis $λ t_{roche} = ln (1, 0042)$ , soit

$t_{roche} = \frac{ln ( 1 , 0042 )}{λ} = \frac{4 , 19 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 41 \times 1 0 ^{- 11}} = 2, 97 \times 1 0^{8} a \approx 3, 0 \times 1 0^{8} a .$

La roche du site de Meymac est âgée d'environ 300 millions d'années, ce qui est cohérent avec l'indication de l'énoncé (« plusieurs centaines de millions d'années » : ce granite s'est mis en place à la fin de l'orogenèse hercynienne). On remarque que $λ t ≪ 1$ , donc $e^{λ t} - 1 \approx λ t$ et $t_{roche} \approx \frac{0 , 0042}{λ}$ : seuls $0, 4%$ des noyaux de rubidium 87 se sont désintégrés depuis la formation de la roche, ce qui confirme la conclusion de Q6.

Ce que le correcteur attend : identifier le coefficient directeur (et non l'ordonnée à l'origine) à $e^{λ t} - 1$ , prendre le logarithme népérien de $1, 0042$ (et non de $0, 0042$ ), et un résultat en années avec deux chiffres significatifs.

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