Corrigé bac physique-chimie 2025 Métropole jour 1 — Exercice 3 : Viscosimètre à chute de bille

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Certains équipements mécaniques, comme les moteurs, nécessitent l'utilisation d'huiles de valeur de viscosité contrôlée pour pouvoir fonctionner correctement.

Le but de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'un viscosimètre à chute de bille permettant de mesurer, à température ambiante, la viscosité d'une huile appelée « huile C ».

La mesure de la viscosité de l'huile C repose sur l'exploitation de la chute verticale d'une bille en acier dans un récipient cylindrique, rempli de cette huile, représenté sur la figure 1. Le mouvement du centre de masse de la bille est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère d'origine O, d'axe vertical (Oz) orienté vers le bas et de vecteur unitaire $k$ . La situation est schématisée sur la figure 1.

Figure 1. Schéma du dispositif expérimental de mesure

Données :

Les données numériques de cet exercice proviennent de travaux réalisés à l'université de Grenoble.

masse volumique de l'huile C : $ρ_{h} = 8, 31 \times 1 0^{2} kg \cdot m^{- 3}$ ;
masse volumique de la bille : $ρ_{b} = 1, 06 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ ;
rayon de la bille : $r = 0, 993 mm$ ;
intensité de la pesanteur terrestre : $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ ;
volume d'une bille de rayon $r$ : $V_{b} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$ ;
pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{∣ x - x _{ref} ∣}{u ( x )}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u (x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$ .

Lors de sa chute verticale dans l'huile C, la bille de masse $m$ est soumise à trois forces :

son poids noté $P$ ;
la poussée d'Archimède, exercée par l'huile, d'expression vectorielle $P_{A} = - ρ_{h} \cdot V_{b} \cdot g \cdot k$ ;
la force de frottement exercée par l'huile sur la bille, d'expression vectorielle dans les conditions de l'expérience : $f = - α \cdot η_{C} \cdot v \cdot k$ avec $α$ une constante homogène à une distance, dépendant des paramètres géométriques du système, $η_{C}$ la viscosité de l'huile C et $v$ la valeur de la vitesse du centre de masse de la bille. On donne $α = 1, 92 \times 1 0^{- 2} m$ .

Q1. Montrer, à l'aide d'un raisonnement sur les unités, que la viscosité $η_{C}$ s'exprime en $N \cdot m^{- 2} \cdot s$ .

À la date $t = 0$ , la bille est lâchée avec une vitesse initiale nulle depuis le point O, situé dans l'huile, en haut du récipient cylindrique. Au bout de quelques instants, le mouvement de la bille devient rectiligne uniforme, la bille atteint alors une vitesse limite notée $v_{l i m}$ .

Q2. Préciser, en justifiant, si la valeur de la force de frottement $f$ augmente ou diminue quand la valeur de la vitesse de la bille augmente.

Q3. Représenter sur un schéma, sans calcul et en justifiant, l'ensemble des forces appliquées au système \{bille\}, lorsque la vitesse limite est atteinte.

Q4. Montrer que la vitesse limite vérifie l'équation :

$α \cdot η_{C} \cdot v_{l i m} = \frac{4 \cdot π \cdot r ^{3} \cdot g \cdot ( ρ _{b} - ρ _{h} )}{3}$

Q5. La valeur limite de la vitesse de la bille vaut $v_{l i m} = 5, 37 mm \cdot s^{- 1}$ . Calculer la valeur de la viscosité $η_{C}$ de l'huile C.

L'huile C a une viscosité de référence qui vaut $η_{r e ˊ f} = 0, 093 N \cdot m^{- 2} \cdot s$ et l'incertitude-type sur la valeur de la viscosité $η_{C}$ obtenue vaut $u (η_{C}) = 0, 003 N \cdot m^{- 2} \cdot s$ .

Q6. Déterminer si la valeur de la viscosité $η_{C}$ obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.

On souhaite déterminer la durée nécessaire pour que la bille, lâchée avec une vitesse initiale nulle, atteigne sa vitesse limite.

Q7. Le vecteur accélération $a$ du centre de masse de la bille s'écrit : $a = a \cdot k$ . À l'aide de la deuxième loi de Newton, montrer que l'accélération $a$ peut s'écrire :

$a = g \cdot (1 - \frac{ρ _{h} \cdot V _{b}}{m}) - \frac{α \cdot η _{C}}{m} \cdot v o u ˋ m est la masse de la bille$

Q8. En déduire que l'évolution de la coordonnée $v$ du vecteur vitesse $v$ de chute de la bille au cours du temps obéit à l'équation différentielle suivante :

$\frac{d v}{d t} + \frac{3 \cdot α \cdot η _{C}}{4 \cdot ρ _{b} \cdot π \cdot r ^{3}} \cdot v = g \cdot (1 - \frac{ρ _{h}}{ρ _{b}})$

Si la bille est abandonnée avec une vitesse initiale nulle, la résolution de l'équation différentielle précédente permet d'obtenir l'expression de sa vitesse $v (t)$ :

$v (t) = v_{l i m} \cdot (1 - e^{- \frac{t}{τ}}) avec τ = \frac{4 \cdot ρ _{b} \cdot π \cdot r ^{3}}{3 \cdot α \cdot η _{C}}$

Q9. Calculer la valeur de $τ$ en utilisant la valeur de la viscosité de référence de l'huile étudiée. Justifier que l'on peut considérer que la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite durant tout le mouvement sachant que le tube du viscosimètre a une hauteur d'environ 15 cm.

Corrigé

Q1. La valeur de la force de frottement est $f = α η_{C} v$ , d'où $η_{C} = \frac{f}{α v}$ . Une force s'exprime en newtons (N), $α$ en mètres (m) et $v$ en $m \cdot s^{- 1}$ :

$[η_{C}] = \frac{N}{m \times m \cdot s ^{- 1}} = \frac{N}{m ^{2} \cdot s ^{- 1}} = N \cdot m^{- 2} \cdot s .$

On remarque que $N \cdot m^{- 2} = Pa$ : la viscosité s'exprime aussi en pascal-seconde ( $Pa \cdot s$ ).

Q2. La valeur de la force de frottement, $f = α η_{C} v$ , est proportionnelle à la vitesse, $α$ et $η_{C}$ étant des constantes positives : quand la vitesse de la bille augmente, la valeur de la force de frottement augmente (elle double si la vitesse double). C'est ce qui permet à la bille d'atteindre une vitesse limite : le frottement croît jusqu'à compenser, avec la poussée d'Archimède, le poids.

Q3. Système : la bille, de centre de masse G. Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Bilan des forces : le poids $P = m g$ , vertical vers le bas (même sens que $k$ ) ; la poussée d'Archimède $P_{A} = - ρ_{h} V_{b} g k$ , verticale vers le haut ; la force de frottement $f = - α η_{C} v k$ , verticale vers le haut (opposée au mouvement). Lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement est rectiligne uniforme : d'après la première loi de Newton (principe d'inertie), les forces se compensent, $P + P_{A} + f = 0$ . Le vecteur $P$ a donc la même longueur que la somme des deux vecteurs $P_{A}$ et $f$ (sans calcul, on ne connaît pas la part respective de $P_{A}$ et de $f$ ; les données montreront que $P_{A} \approx 3, 6 f$ ).

Q4. On projette la relation $P + P_{A} + f = 0$ sur l'axe (Oz) orienté vers le bas, à la vitesse limite $v = v_{l i m}$ :

$m g - ρ_{h} V_{b} g - α η_{C} v_{l i m} = 0.$

La bille est homogène, donc $m = ρ_{b} V_{b}$ , et l'on obtient $α η_{C} v_{l i m} = ρ_{b} V_{b} g - ρ_{h} V_{b} g = V_{b} g (ρ_{b} - ρ_{h})$ . Avec $V_{b} = \frac{4}{3} π r^{3}$ :

$α \cdot η_{C} \cdot v_{l i m} = \frac{4 \cdot π \cdot r ^{3} \cdot g \cdot ( ρ _{b} - ρ _{h} )}{3} .$

Q5. On isole la viscosité puis on convertit toutes les données en unités du système international ( $r = 0, 993 \times 1 0^{- 3} m$ , $v_{l i m} = 5, 37 \times 1 0^{- 3} m \cdot s^{- 1}$ ) :

$η_{C} = \frac{4 π r ^{3} g ( ρ _{b} - ρ _{h} )}{3 α v _{l i m}} = \frac{4 \times π \times ( 0 , 993 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{3} \times 9 , 81 \times ( 1 , 06 \times 1 0 ^{3} - 8 , 31 \times 1 0 ^{2} )}{3 \times 1 , 92 \times 1 0 ^{- 2} \times 5 , 37 \times 1 0 ^{- 3}}$

Le numérateur vaut $4 π \times 9, 79 \times 1 0^{- 10} \times 9, 81 \times 229 = 2, 76 \times 1 0^{- 5} N \cdot m$ (produit $m^{3} \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot kg \cdot m^{- 3} = kg \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot m$ ) et le dénominateur $3, 09 \times 1 0^{- 4} m^{2} \cdot s^{- 1}$ , d'où

$η_{C} = 8, 9 \times 1 0^{- 2} N \cdot m^{- 2} \cdot s = 0, 089 N \cdot m^{- 2} \cdot s .$

Ce que le correcteur attend : le rayon en mètres (au cube !) et la vitesse en $m \cdot s^{- 1}$ ; la différence $ρ_{b} - ρ_{h} = 229 kg \cdot m^{- 3}$ ne conserve que deux chiffres significatifs (le dernier chiffre de $ρ_{b} = 1, 06 \times 1 0^{3}$ pèse $10 kg \cdot m^{- 3}$ sur une différence de $229$ ), ce qui limite le résultat à deux chiffres significatifs.

Q6. On calcule le quotient proposé dans les données :

$\frac{∣ η _{C} - η _{r e ˊ f} ∣}{u ( η _{C} )} = \frac{∣0 , 089 - 0 , 093∣}{0 , 003} = \frac{0 , 004}{0 , 003} = 1, 3.$

Ce quotient est inférieur à 2 : l'écart entre la valeur mesurée et la valeur de référence est de l'ordre d'une fois l'incertitude-type, la mesure est en accord avec la valeur de référence. Le viscosimètre à chute de bille fournit donc une valeur fiable de la viscosité.

Q7. Système : la bille, de masse $m$ . Référentiel : terrestre supposé galiléen. Forces : $P$ , $P_{A}$ et $f$ (question Q3). Deuxième loi de Newton : la masse étant constante, $\sum F = m a$ , soit

$m g k - ρ_{h} V_{b} g k - α η_{C} v k = m a k .$

En projetant sur l'axe (Oz) (c'est-à-dire en identifiant les coordonnées selon $k$ ) et en divisant par $m$ :

$a = g - \frac{ρ _{h} V _{b} g}{m} - \frac{α η _{C}}{m} v = g (1 - \frac{ρ _{h} V _{b}}{m}) - \frac{α η _{C}}{m} v .$

Le premier terme est l'accélération « effective » de la pesanteur, diminuée par la poussée d'Archimède ; le second, proportionnel à $v$ , freine la bille.

Q8. Par définition de l'accélération, $a = \frac{d v}{d t}$ (le mouvement est rectiligne selon (Oz)). On remplace $m = ρ_{b} V_{b}$ dans l'expression de Q7 : $\frac{ρ _{h} V _{b}}{m} = \frac{ρ _{h}}{ρ _{b}}$ et $\frac{α η _{C}}{m} = \frac{α η _{C}}{ρ _{b} V _{b}} = \frac{3 α η _{C}}{4 ρ _{b} π r ^{3}}$ puisque $V_{b} = \frac{4}{3} π r^{3}$ . D'où

$\frac{d v}{d t} = g (1 - \frac{ρ _{h}}{ρ _{b}}) - \frac{3 α η _{C}}{4 ρ _{b} π r ^{3}} v ⟺ \frac{d v}{d t} + \frac{3 \cdot α \cdot η _{C}}{4 \cdot ρ _{b} \cdot π \cdot r ^{3}} \cdot v = g \cdot (1 - \frac{ρ _{h}}{ρ _{b}}) .$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, de la forme $\frac{d v}{d t} + \frac{v}{τ} = \frac{v _{l i m}}{τ}$ , dont la solution est bien celle donnée par l'énoncé ; on vérifie que $v_{l i m} = τ g (1 - \frac{ρ _{h}}{ρ _{b}}) = \frac{4 π r ^{3} g ( ρ _{b} - ρ _{h} )}{3 α η _{C}}$ , en accord avec Q4.

Q9. Avec la viscosité de référence :

$τ = \frac{4 ρ _{b} π r ^{3}}{3 α η _{r e ˊ f}} = \frac{4 \times 1 , 06 \times 1 0 ^{3} \times π \times ( 0 , 993 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{3}}{3 \times 1 , 92 \times 1 0 ^{- 2} \times 0 , 093} = \frac{1 , 30 \times 1 0 ^{- 5}}{5 , 36 \times 1 0 ^{- 3}} = 2, 4 \times 1 0^{- 3} s .$

(Homogénéité : $kg \cdot m^{- 3} \cdot m^{3} / (m \times N \cdot m^{- 2} \cdot s) = kg / (kg \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot m^{- 1} \cdot s) = s$ .)

$τ$ est la constante de temps du régime transitoire : d'après $v (t) = v_{l i m} (1 - e^{- t / τ})$ , la vitesse atteint 63 % de $v_{l i m}$ à $t = τ$ et 99 % à $t = 5 τ = 1, 2 \times 1 0^{- 2} s$ . Pendant ce régime transitoire, la vitesse reste inférieure à $v_{l i m}$ : la distance parcourue est donc inférieure à

$d < v_{l i m} \times 5 τ = 5, 37 \times 1 0^{- 3} \times 1, 2 \times 1 0^{- 2} = 6, 5 \times 1 0^{- 5} m \approx 0, 07 mm,$

distance négligeable devant la hauteur du tube, $15 cm = 150 mm$ (rapport de l'ordre de $2000$ ). On peut le dire autrement : à la vitesse limite, la bille met $\frac{0 , 15}{5 , 37 \times 1 0 ^{- 3}} = 28 s$ pour descendre le tube, durée plus de deux mille fois supérieure à $5 τ$ . La vitesse de la bille est donc pratiquement égale à $v_{l i m}$ durant tout le mouvement : mesurer la durée de chute sur une hauteur connue donne directement $v_{l i m}$ , donc la viscosité, ce qui est le principe du viscosimètre.

Ce que le correcteur attend : la valeur de $τ$ en secondes avec les données en unités SI, le critère « $5 τ$ » (ou « quelques $τ$ ») pour la fin du régime transitoire, et une comparaison chiffrée avec la hauteur du tube (distance) ou avec la durée de la chute.

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