Corrigé bac physique-chimie 2026 Asie jour 2 — Exercice 2 : Datation

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

En décembre 1972, le module lunaire de la mission Apollo 17 alunit dans la vallée Taurus-Littrow. L'une des missions des astronautes est de recueillir des échantillons de la croûte lunaire et de dépôts volcaniques. En effet, si les missions précédentes ont fait progresser les connaissances sur la Lune dans différents domaines, il subsiste néanmoins des interrogations sur sa structure interne, l'histoire de son évolution ou l'existence d'une activité volcanique récente.

L'objectif de cet exercice est d'exploiter les données obtenues lors de l'analyse d'un échantillon de roche lunaire rapporté lors de la mission Apollo 17 pour en déterminer l'âge.

Données :

écriture conventionnelle de noyaux atomiques :

Noyau	Rubidium 86	Rubidium 87	Strontium 86	Strontium 87
Écriture conventionnelle	$X_{37}^{86} X_{237}^{286} Rb$	$X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb$	$X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr$	$X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr$

demi-vie du rubidium 87 : $t_{1/2} = 4, 88 \times 1 0^{10} ans$ .

Une analyse des minéraux présents dans l'échantillon de roche lunaire a décelé la présence de noyaux de rubidium 87, de strontium 86 et de strontium 87.

Q1. Choisir, en justifiant, la paire de noyaux atomiques isotopes parmi celles données ci-après : $(X_{37}^{86} X_{237}^{286} Rb; X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr)$ ou $(X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr; X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr)$ .

Le rubidium 87 se désintègre spontanément en strontium 87 qui est un noyau stable.

Q2. Écrire l'équation de la réaction de désintégration du rubidium 87 en strontium 87.

Q3. En déduire le nom de la particule émise et le type de radioactivité mis en jeu.

Le nombre $N (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb)$ de noyaux de rubidium 87 contenu dans un minéral de roche suit la loi de décroissance radioactive :

$N (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb) = N_{0} (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb) \times exp (- λ \cdot t) (relation 1)$

où $λ$ est la constante radioactive du rubidium 87 et $N_{0} (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb)$ est le nombre de noyaux de rubidium 87 initialement présent dans le minéral.

Q4. Donner une définition du temps de demi-vie $t_{1/2}$ d'un isotope radioactif.

Q5. Montrer, à partir de la relation 1, que le temps de demi-vie $t_{1/2}$ et la constante radioactive $λ$ sont liés par la relation : $λ = \frac{ln ( 2 )}{t _{1/2}}$ .

Dans le minéral isolé étudié, la teneur en rubidium 87 diminue au cours du temps et celle en strontium 87 augmente. Le strontium 86, qui n'est pas radioactif, reste stable et est utilisé comme isotope de référence. L'analyse de huit échantillons de la roche lunaire rapportée de la mission Apollo 17 a permis d'obtenir huit valeurs de rapports isotopiques. La figure 1 ci-après représente l'évolution du rapport $y = \frac{N ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ en fonction du rapport $x = \frac{N ( X _{37}^{87} X _{237}^{287} Rb )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ pour ces huit échantillons.

Figure 1 : évolution du rapport $y = \frac{N ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ en fonction du rapport $x = \frac{N ( X _{37}^{87} X _{237}^{287} Rb )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ (d'après ntrs.nasa.gov)

La datation par la méthode rubidium – strontium repose sur l'exploitation de deux relations :

l'équation de modélisation de l'évolution présentée sur la figure 1 :

$y = 0, 0650 \times x + 0, 6990$

la relation théorique entre les rapports isotopiques :

$\frac{N ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )} = (exp (λ \cdot t_{R}) - 1) \times \frac{N ( X _{37}^{87} X _{237}^{287} Rb )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )} + \frac{N _{0} ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N _{0} ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$

où $t_{R}$ est l'âge de la roche contenant les minéraux étudiés et $λ$ est la constante radioactive du rubidium 87.

Q6. Déterminer l'âge $t_{R}$ de la roche prélevée sur la Lune en exploitant l'ensemble des données ci-dessus. Commenter.

Pour répondre à cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Corrigé

Q1. Deux noyaux sont isotopes lorsqu'ils possèdent le même numéro atomique $Z$ (même nombre de protons, donc même élément chimique) mais des nombres de masse $A$ différents (nombres de neutrons différents). On compare donc les deux nombres inscrits devant le symbole.

$(X_{37}^{86} X_{237}^{286} Rb; X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr)$ : $Z = 37$ pour le rubidium et $Z = 38$ pour le strontium. Les numéros atomiques sont différents : ce ne sont pas des isotopes (ce sont deux noyaux isobares, de même nombre de masse $A = 86$ , mais de deux éléments distincts).
$(X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr; X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr)$ : les deux noyaux ont le même numéro atomique $Z = 38$ (38 protons, l'élément strontium) et des nombres de masse différents, $A = 86$ et $A = 87$ , donc respectivement $86 - 38 = 48$ et $87 - 38 = 49$ neutrons.

La paire de noyaux isotopes est donc $(X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr; X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr)$ .

Q2. On écrit l'équation avec la particule émise inconnue $X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$ et on applique les lois de conservation de Soddy (conservation du nombre de masse et du nombre de charge) :

$X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr + X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$

conservation du nombre de masse : $87 = 87 + A$ , donc $A = 0$ ;
conservation du nombre de charge : $37 = 38 + Z$ , donc $Z = - 1$ .

La particule émise est donc $X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ et l'équation de désintégration s'écrit :

$X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$

Q3. La particule émise, de nombre de masse nul et de charge $- e$ , est un électron. Il s'agit donc d'une radioactivité $β^{-}$ . Elle est cohérente avec la position du noyau père : le rubidium 87 possède $87 - 37 = 50$ neutrons pour 37 protons, un excès de neutrons ; au sein du noyau, un neutron se transforme en proton selon $X_{0}^{1} X_{20}^{21} n X_{1}^{1} X_{21}^{21} p + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ , ce qui augmente $Z$ d'une unité à $A$ constant et rapproche le noyau fils de la vallée de stabilité.

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