Corrigé bac physique-chimie 2026 Asie jour 2 — Exercice 2 : Datation

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

En décembre 1972, le module lunaire de la mission Apollo 17 alunit dans la vallée Taurus-Littrow. L'une des missions des astronautes est de recueillir des échantillons de la croûte lunaire et de dépôts volcaniques. En effet, si les missions précédentes ont fait progresser les connaissances sur la Lune dans différents domaines, il subsiste néanmoins des interrogations sur sa structure interne, l'histoire de son évolution ou l'existence d'une activité volcanique récente.

L'objectif de cet exercice est d'exploiter les données obtenues lors de l'analyse d'un échantillon de roche lunaire rapporté lors de la mission Apollo 17 pour en déterminer l'âge.

Données :

écriture conventionnelle de noyaux atomiques :

Noyau	Rubidium 86	Rubidium 87	Strontium 86	Strontium 87
Écriture conventionnelle	$X_{37}^{86} X_{237}^{286} Rb$	$X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb$	$X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr$	$X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr$

demi-vie du rubidium 87 : $t_{1/2} = 4, 88 \times 1 0^{10} ans$ .

Une analyse des minéraux présents dans l'échantillon de roche lunaire a décelé la présence de noyaux de rubidium 87, de strontium 86 et de strontium 87.

Q1. Choisir, en justifiant, la paire de noyaux atomiques isotopes parmi celles données ci-après : $(X_{37}^{86} X_{237}^{286} Rb; X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr)$ ou $(X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr; X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr)$ .

Le rubidium 87 se désintègre spontanément en strontium 87 qui est un noyau stable.

Q2. Écrire l'équation de la réaction de désintégration du rubidium 87 en strontium 87.

Q3. En déduire le nom de la particule émise et le type de radioactivité mis en jeu.

Le nombre $N (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb)$ de noyaux de rubidium 87 contenu dans un minéral de roche suit la loi de décroissance radioactive :

$N (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb) = N_{0} (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb) \times exp (- λ \cdot t) (relation 1)$

où $λ$ est la constante radioactive du rubidium 87 et $N_{0} (X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb)$ est le nombre de noyaux de rubidium 87 initialement présent dans le minéral.

Q4. Donner une définition du temps de demi-vie $t_{1/2}$ d'un isotope radioactif.

Q5. Montrer, à partir de la relation 1, que le temps de demi-vie $t_{1/2}$ et la constante radioactive $λ$ sont liés par la relation : $λ = \frac{ln ( 2 )}{t _{1/2}}$ .

Dans le minéral isolé étudié, la teneur en rubidium 87 diminue au cours du temps et celle en strontium 87 augmente. Le strontium 86, qui n'est pas radioactif, reste stable et est utilisé comme isotope de référence. L'analyse de huit échantillons de la roche lunaire rapportée de la mission Apollo 17 a permis d'obtenir huit valeurs de rapports isotopiques. La figure 1 ci-après représente l'évolution du rapport $y = \frac{N ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ en fonction du rapport $x = \frac{N ( X _{37}^{87} X _{237}^{287} Rb )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ pour ces huit échantillons.

Figure 1 : évolution du rapport $y = \frac{N ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ en fonction du rapport $x = \frac{N ( X _{37}^{87} X _{237}^{287} Rb )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ \ (d'après ntrs.nasa.gov)

La datation par la méthode rubidium – strontium repose sur l'exploitation de deux relations :

l'équation de modélisation de l'évolution présentée sur la figure 1 :

$y = 0, 0650 \times x + 0, 6990$

la relation théorique entre les rapports isotopiques :

$\frac{N ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )} = (exp (λ \cdot t_{R}) - 1) \times \frac{N ( X _{37}^{87} X _{237}^{287} Rb )}{N ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )} + \frac{N _{0} ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N _{0} ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$

où $t_{R}$ est l'âge de la roche contenant les minéraux étudiés et $λ$ est la constante radioactive du rubidium 87.

Q6. Déterminer l'âge $t_{R}$ de la roche prélevée sur la Lune en exploitant l'ensemble des données ci-dessus. Commenter.

Pour répondre à cette question, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Corrigé

Q1. Deux noyaux sont isotopes lorsqu'ils possèdent le même numéro atomique $Z$ (même nombre de protons, donc même élément chimique) mais des nombres de masse $A$ différents (nombres de neutrons différents). On compare donc les deux nombres inscrits devant le symbole.

$(X_{37}^{86} X_{237}^{286} Rb; X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr)$ : $Z = 37$ pour le rubidium et $Z = 38$ pour le strontium. Les numéros atomiques sont différents : ce ne sont pas des isotopes (ce sont deux noyaux isobares, de même nombre de masse $A = 86$ , mais de deux éléments distincts).
$(X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr; X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr)$ : les deux noyaux ont le même numéro atomique $Z = 38$ (38 protons, l'élément strontium) et des nombres de masse différents, $A = 86$ et $A = 87$ , donc respectivement $86 - 38 = 48$ et $87 - 38 = 49$ neutrons.

La paire de noyaux isotopes est donc $(X_{38}^{86} X_{238}^{286} Sr; X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr)$ .

Q2. On écrit l'équation avec la particule émise inconnue $X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$ et on applique les lois de conservation de Soddy (conservation du nombre de masse et du nombre de charge) :

$X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr + X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$

conservation du nombre de masse : $87 = 87 + A$ , donc $A = 0$ ;
conservation du nombre de charge : $37 = 38 + Z$ , donc $Z = - 1$ .

La particule émise est donc $X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ et l'équation de désintégration s'écrit :

$X_{37}^{87} X_{237}^{287} Rb X_{38}^{87} X_{238}^{287} Sr + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$

Q3. La particule émise, de nombre de masse nul et de charge $- e$ , est un électron. Il s'agit donc d'une radioactivité $β^{-}$ . Elle est cohérente avec la position du noyau père : le rubidium 87 possède $87 - 37 = 50$ neutrons pour 37 protons, un excès de neutrons ; au sein du noyau, un neutron se transforme en proton selon $X_{0}^{1} X_{20}^{21} n X_{1}^{1} X_{21}^{21} p + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ , ce qui augmente $Z$ d'une unité à $A$ constant et rapproche le noyau fils de la vallée de stabilité.

Q4. Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ d'un isotope radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon se sont désintégrés. Autrement dit, c'est la durée $t_{1/2}$ telle que

$N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2} .$

C'est une grandeur caractéristique du noyau considéré : elle ne dépend ni de la quantité de matière de l'échantillon, ni de son âge, ni des conditions physico-chimiques (température, pression, liaisons chimiques).

Q5. On applique la relation 1 à la date $t = t_{1/2}$ , pour laquelle, par définition, $N = \frac{N _{0}}{2}$ :

$N_{0} exp (- λ t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2} ⟺ exp (- λ t_{1/2}) = \frac{1}{2}$

(on a simplifié par $N_{0} \neq = 0$ ). La fonction logarithme népérien étant la réciproque de la fonction exponentielle, on prend le logarithme des deux membres :

$- λ t_{1/2} = ln (\frac{1}{2}) = - ln (2),$

d'où, en divisant par $t_{1/2} \neq = 0$ :

$λ = \frac{ln ( 2 )}{t _{1/2}}$

Q6. Démarche. La relation théorique est de la forme $y = a x + b$ avec $x$ et $y$ les deux rapports isotopiques portés sur la figure 1. On identifie donc le coefficient directeur de la droite de modélisation avec le facteur $exp (λ t_{R}) - 1$ , puis on en tire $t_{R}$ à l'aide de la constante radioactive calculée en Q5.

Identification. La modélisation de la figure 1 donne $y = 0, 0650 x + 0, 6990$ , donc

$exp (λ t_{R}) - 1 = 0, 0650 ⟺ exp (λ t_{R}) = 1, 0650.$

En prenant le logarithme népérien : $λ t_{R} = ln (1, 0650)$ , soit

$t_{R} = \frac{ln ( 1 , 0650 )}{λ} = \frac{ln ( 1 , 0650 ) \times t _{1/2}}{ln ( 2 )} .$

Constante radioactive. $λ = \frac{ln ( 2 )}{t _{1/2}} = \frac{0 , 6931}{4 , 88 \times 1 0 ^{10}} = 1, 420 \times 1 0^{- 11} a n^{- 1}$ .

Application numérique.

$t_{R} = \frac{ln ( 1 , 0650 )}{1 , 420 \times 1 0 ^{- 11}} = \frac{6 , 297 \times 1 0 ^{- 2}}{1 , 420 \times 1 0 ^{- 11}} = 4, 43 \times 1 0^{9} ans .$

$t_{R} \approx 4, 43 \times 1 0^{9} ans \approx 4, 4 milliards d’ann e ˊ es$

Commentaire. L'âge obtenu est considérable : la roche s'est formée il y a environ 4,4 milliards d'années, alors que la Lune et le système solaire sont âgés d'environ $4, 5 \times 1 0^{9}$ ans. L'échantillon rapporté par Apollo 17 date donc des tout premiers temps de l'histoire lunaire — moins de 200 millions d'années après la formation de la Lune —, c'est-à-dire de la solidification de la croûte primitive : il n'a rien d'un dépôt volcanique récent. L'ordre de grandeur est cohérent avec l'âge des plus vieilles roches terrestres connues ( $4, 0$ à $4, 4$ milliards d'années), la Terre ayant, elle, recyclé sa croûte par la tectonique des plaques et l'érosion, contrairement à la Lune.

Deux remarques valident la méthode. D'abord, la demi-vie du rubidium 87 ( $4, 88 \times 1 0^{10}$ ans) est très supérieure à la durée mesurée : seule une petite fraction du rubidium s'est désintégrée ( $λ t_{R} = 0, 063 ≪ 1$ ), ce que traduit la faible pente de la droite ; un chronomètre à demi-vie aussi longue convient précisément aux échelles géologiques. Ensuite, l'ordonnée à l'origine $0, 6990$ s'interprète directement : c'est le rapport isotopique initial $\frac{N _{0} ( X _{38}^{87} X _{238}^{287} Sr )}{N _{0} ( X _{38}^{86} X _{238}^{286} Sr )}$ , commun aux huit échantillons au moment de la formation de la roche. C'est d'ailleurs tout l'intérêt de la méthode : elle donne l'âge sans connaître la composition initiale, celle-ci se lisant sur le graphique.

Ce que le correcteur attend : le coefficient directeur vaut $exp (λ t_{R}) - 1$ et non $exp (λ t_{R})$ : on doit écrire $t_{R} = \frac{ln ( 1 , 0650 )}{λ}$ . Confondre la pente avec $λ t_{R}$ (approximation $exp (u) - 1 \approx u$ ) donnerait $t_{R} = \frac{0 , 0650}{λ} = 4, 58 \times 1 0^{9}$ ans, soit une erreur de 3 %. Enfin, $t_{1/2}$ étant donné en années, $λ$ est en $a n^{- 1}$ et $t_{R}$ s'obtient directement en années : aucune conversion en secondes n'est nécessaire.

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