Corrigé bac physique-chimie 2026 Métropole jour 2 — Exercice 2 : La yaourtière

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La préparation de yaourt « maison » à partir de lait est une pratique de plus en plus courante. Cette préparation repose sur une prise en masse progressive du lait sous l'action de ferments lactiques pendant environ 8 heures, à la température de 43 °C, qui est maintenue automatiquement dans la yaourtière. Il faut encore attendre 2 heures pour que les yaourts ainsi préparés refroidissent, à l'air libre puis au réfrigérateur.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier quelques aspects de la fabrication d'un yaourt maison, d'estimer son coût puis de modéliser l'étape finale de refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur.

1. Fabrication des yaourts dans la yaourtière

Certains ferments lactiques utilisés pour la fabrication des yaourts maison contiennent des bactéries alimentaires qui présentent un optimum de croissance à la température de 43 °C.

La yaourtière utilisée permet la préparation de 7 yaourts. On utilise la recette suivante :

verser 700 mL de lait à la température ambiante dans un récipient ;
ajouter un sachet de 2 g de ferments lactiques puis mélanger ;
répartir la préparation dans les 7 pots en verre de la yaourtière et les fermer à l'aide d'un couvercle ;
phase de chauffage : mettre les 7 pots dans la yaourtière, fermer la yaourtière, la démarrer et la faire fonctionner pendant 8 heures ;
phase de refroidissement : laisser refroidir les pots puis les mettre au réfrigérateur pendant 2 heures.

Afin d'effectuer des bilans d'énergie, on définit le système étudié, noté \{S\}, constitué de la yaourtière contenant les 7 pots en verre fermés et remplis. On admet que tous les composants du système \{S\} sont à la même température.

Lors de la phase de chauffage de 8 heures, il est possible de distinguer deux étapes :

étape A : chauffage du système \{S\} de la température ambiante à la température de 43 °C pendant une durée $Δ t_{A}$ ;
étape B : maintien en continu du système \{S\} à la température de 43 °C pendant une durée $Δ t_{B}$ .

Données :

conversion d'une énergie en wattheure (Wh) en une énergie en joule (J) : $1 kWh = 3600 kJ$ ;
puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape A : $P_{A} = 150 W$ ;
puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape B : $P_{B} = 20 W$ ;
estimation de la capacité thermique du système \{S\} : $C = 4, 0 \times 1 0^{3} J \cdot K^{- 1}$ ;
température de fabrication d'un yaourt : $θ_{fab} = 43^{\circ} C$ ;
température de l'air ambiant : $θ_{amb} = 20^{\circ} C$ .

Q1. Montrer que la valeur de l'énergie thermique $Q_{chauffage}$ qui doit être transférée au système \{S\} lors de l'étape A est voisine de $9, 2 \times 1 0^{4} J$ .

Q2. Calculer la durée $Δ t_{A}$ de l'étape A, en supposant que, pendant cette étape, 85 % de l'énergie électrique consommée par la yaourtière est fournie par transfert thermique au système \{S\}. En déduire que la durée $Δ t_{B}$ de l'étape B est de l'ordre de 7 heures et 50 minutes.

Un des arguments souvent avancés qui encouragent à faire ses yaourts soi-même est le prix : à qualité égale, ils coûteraient moins cher que ceux achetés directement dans la grande distribution.

On donne des coûts approximatifs ci-dessous :

1 kWh électrique	1 L de lait	2 g de ferments lactiques	1 pot de yaourt nature de grande distribution et de qualité comparable à celui fait maison
0,20 €	1,05 €	0,64 €	0,35 €

Q3. Estimer le prix de fabrication d'un yaourt fait maison. Discuter si l'argument lié au coût des yaourts maison est vérifié.

2. Refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur

Dans cette partie, on étudie le refroidissement d'un seul pot de yaourt.

Après avoir passé 8 h dans la yaourtière, le pot de yaourt, avec son couvercle, est d'abord refroidi à l'air jusqu'à atteindre la température de 30 °C. On étudie dans cette partie la seconde phase de refroidissement à partir de l'instant initial où le pot de yaourt est placé dans le réfrigérateur.

Le système d'étude est noté \{P\} ; il comprend le pot en verre, le couvercle et le yaourt qu'il contient. On admet que tous ses composants sont à la même température.

Données :

loi de Newton donnant l'expression du flux thermique $Φ$ , en watt, cédé par le système \{P\} de température $θ$ , en contact avec l'air intérieur du réfrigérateur de température $θ_{r e ˊ fri}$ :

$Φ = h \cdot S \cdot (θ - θ_{r e ˊ fri})$

avec : $h$ , coefficient de transfert thermique surfacique : $h = 10 W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ; $S$ , surface d'échange entre l'air de l'intérieur du réfrigérateur et le système \{P\} : $S = 0, 019 m^{2}$ ;

masse du système \{P\} : $m = 0, 19 kg$ ;
température, considérée constante, de l'intérieur du réfrigérateur : $θ_{r e ˊ fri} = 4, 0^{\circ} C$ ;
température initiale du système \{P\} : $θ_{0} = 30^{\circ} C$ ;
capacité thermique massique du système \{P\} : $c_{Y} = 2, 5 \times 1 0^{3} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Q4. Nommer les trois modes de transfert thermique permettant le refroidissement du système \{P\}.

Q5. Calculer la valeur du flux thermique initial $Φ_{0}$ cédé par le système \{P\} à l'instant initial $t = 0$ et indiquer, en justifiant, comment varie le flux thermique au cours du temps.

Q6. Indiquer la température du système \{P\} après un temps très long. Montrer que la valeur de l'énergie thermique perdue par le système \{P\} durant la phase de refroidissement est voisine de 12 kJ.

Q7. Calculer la durée $Δ t_{0}$ qui serait nécessaire pour effectuer un transfert thermique de 12 kJ à la puissance $Φ_{0}$ .

En tenant compte de la variation du flux thermique au cours du temps, on montre que l'évolution de la température du système \{P\} peut être modélisée par la fonction :

$θ (t) = (θ_{0} - θ_{r e ˊ fri}) e^{- \frac{t}{τ}} + θ_{r e ˊ fri} o u ˋ τ = \frac{m c _{Y}}{h S}$

Q8. Tracer l'allure de l'évolution de la température $θ$ en fonction du temps en indiquant les températures initiale et finale ; faire apparaître une méthode graphique de détermination du temps caractéristique $τ$ .

Q9. Comparer la valeur de $τ$ à celle de $Δ t_{0}$ obtenue en Q7. Commenter.

Corrigé

1. Fabrication des yaourts dans la yaourtière

Q1. Système \{S\} (yaourtière et sept pots pleins), de capacité thermique $C$ . Pendant l'étape A, il ne reçoit aucun travail ( $W = 0$ ) et sa température passe de $θ_{amb}$ à $θ_{fab}$ . D'après le premier principe de la thermodynamique, $Δ U = W + Q = Q_{chauffage}$ , et pour une phase condensée $Δ U = C Δ θ$ :

$Q_{chauffage} = C (θ_{fab} - θ_{amb}) = 4, 0 \times 1 0^{3} \times (43 - 20) = 9, 2 \times 1 0^{4} J .$

Un écart de température a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius ( $Δ T = 23 K$ ) : on trouve bien $Q_{chauffage} \approx 9, 2 \times 1 0^{4} J$ , soit $92 kJ$ , positif car reçu par \{S\}.

Q2. Pendant $Δ t_{A}$ , la yaourtière consomme l'énergie électrique $E_{A} = P_{A} Δ t_{A}$ , dont 85 % est transférée à \{S\} : $Q_{chauffage} = 0, 85 P_{A} Δ t_{A}$ , d'où

$Δ t_{A} = \frac{Q _{chauffage}}{0 , 85 P _{A}} = \frac{9 , 2 \times 1 0 ^{4}}{0 , 85 \times 150} = 7, 2 \times 1 0^{2} s = 12 min .$

La phase de chauffage dure 8 h au total, donc $Δ t_{B} = 8 h - Δ t_{A} = 480 - 12 = 468 min = 7 h 48 min$ , soit bien de l'ordre de 7 h 50 min : l'essentiel du fonctionnement est le maintien en température.

Ce que le correcteur attend : le rendement 0,85 au dénominateur (l'énergie électrique consommée est supérieure à l'énergie thermique utile), et le résultat en secondes converti en minutes.

Q3. Énergie électrique consommée pour une fournée de 7 yaourts.

$E_{A} = P_{A} Δ t_{A} = 150 \times 7, 2 \times 1 0^{2} = 1, 1 \times 1 0^{5} J; E_{B} = P_{B} Δ t_{B} = 20 \times 468 \times 60 = 5, 6 \times 1 0^{5} J .$

Total $E = 6, 7 \times 1 0^{5} J$ , soit, avec $1 kWh = 3, 6 \times 1 0^{6} J$ : $E = \frac{6 , 7 \times 1 0 ^{5}}{3 , 6 \times 1 0 ^{6}} = 0, 19 kWh$ (on retrouve directement $150 W \times 0, 2 h + 20 W \times 7, 8 h \approx 186 Wh$ ).

Coût de la fournée.

électricité : $0, 19 \times 0, 20 = 0, 04$ € ;
lait : $0, 700 \times 1, 05 = 0, 74$ € ;
ferments : $0, 64$ €.

Total : $0, 04 + 0, 74 + 0, 64 = 1, 42$ € pour 7 yaourts, soit environ $\frac{1 , 42}{7} = 0, 20$ € par yaourt maison.

Discussion. Un yaourt de qualité comparable coûte 0,35 € en grande distribution : le yaourt maison revient environ 40 % moins cher (économie de 0,15 € par pot), l'électricité ne pesant presque rien (moins de 1 centime par pot) et les ferments représentant près de la moitié du coût. L'argument est donc vérifié, avec des réserves : l'estimation ne compte ni l'achat de la yaourtière (amortie seulement après plusieurs centaines de yaourts), ni le temps passé, ni les pertes éventuelles ; à l'inverse, réutiliser un yaourt comme ferment réduirait encore le coût.

2. Refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur

Q4. Le pot cède de l'énergie à l'air du réfrigérateur par les trois modes de transfert thermique : la conduction (de proche en proche, du yaourt vers le verre puis vers l'air au contact de la paroi, sans déplacement de matière), la convection (l'air froid en contact avec le pot se réchauffe, s'élève et est remplacé par de l'air plus froid : transport d'énergie par mouvement du fluide) et le rayonnement (émission d'ondes électromagnétiques infrarouges par la surface du pot, sans support matériel).

Q5. D'après la loi de Newton, à $t = 0$ le pot est à $θ_{0} = 3 0^{\circ} C$ :

$Φ_{0} = h S (θ_{0} - θ_{r e ˊ fri}) = 10 \times 0, 019 \times (30 - 4, 0) = 4, 9 W .$

Le pot cède de l'énergie, donc sa température $θ (t)$ diminue et se rapproche de $θ_{r e ˊ fri}$ (constante) : l'écart $θ - θ_{r e ˊ fri}$ décroît, et comme $Φ$ lui est proportionnel, le flux thermique diminue au cours du temps, de $Φ_{0} = 4, 9 W$ jusqu'à s'annuler à l'équilibre thermique.

Q6. Après un temps très long, l'équilibre thermique est atteint : le pot est à la température de l'air du réfrigérateur, $θ_{\infty} = θ_{r e ˊ fri} = 4, 0^{\circ} C$ (le flux est alors nul).

Premier principe appliqué à \{P\} entre l'état initial ( $θ_{0}$ ) et l'état final ( $θ_{r e ˊ fri}$ ), sans travail échangé : $Δ U = Q = m c_{Y} (θ_{r e ˊ fri} - θ_{0})$ , soit

$Q = 0, 19 \times 2, 5 \times 1 0^{3} \times (4, 0 - 30) = - 1, 2 \times 1 0^{4} J .$

$Q < 0$ : le système cède de l'énergie ; l'énergie thermique perdue vaut $∣ Q ∣ = 1, 2 \times 1 0^{4} J \approx 12 kJ$ (valeur non arrondie : $12, 35 kJ$ ). Ce que le correcteur attend : le signe négatif de $Q$ commenté, pas seulement une valeur absolue.

Q7. Si le flux restait égal à $Φ_{0}$ , le transfert de 12 kJ durerait

$Δ t_{0} = \frac{∣ Q ∣}{Φ _{0}} = \frac{12 \times 1 0 ^{3}}{4 , 9} = 2, 4 \times 1 0^{3} s \approx 40 min$

(avec la valeur non arrondie $12, 35 kJ$ et $Φ_{0} = 4, 94 W$ : $Δ t_{0} = 2, 5 \times 1 0^{3} s \approx 42 min$ ). En réalité le flux diminue (Q5), donc le refroidissement réel est plus long.

Q8. La température décroît exponentiellement de $θ_{0} = 3 0^{\circ} C$ vers l'asymptote horizontale $θ_{r e ˊ fri} = 4, 0^{\circ} C$ , la décroissance étant d'abord rapide (flux maximal) puis de plus en plus lente. Deux méthodes graphiques pour $τ$ :

la tangente à l'origine coupe l'asymptote $θ = θ_{r e ˊ fri}$ à la date $t = τ$ (car $θ^{'} (0) = - (θ_{0} - θ_{r e ˊ fri}) / τ$ ) ;
à $t = τ$ , l'écart initial a été réduit de 63 % : $θ (τ) = θ_{r e ˊ fri} + 0, 37 (θ_{0} - θ_{r e ˊ fri}) = 4, 0 + 0, 37 \times 26 \approx 1 4^{\circ} C$ ; on lit $τ$ en abscisse du point de la courbe d'ordonnée $1 4^{\circ} C$ .

Q9. Le temps caractéristique vaut

$τ = \frac{m c _{Y}}{h S} = \frac{0 , 19 \times 2 , 5 \times 1 0 ^{3}}{10 \times 0 , 019} = 2, 5 \times 1 0^{3} s \approx 42 min .$

Aux arrondis près ( $Δ t_{0} = 2, 4 \times 1 0^{3} s$ avec les valeurs arrondies de Q6 et Q5, $2, 5 \times 1 0^{3} s$ avec les valeurs exactes), on trouve $Δ t_{0} = τ$ . Ce n'est pas un hasard, l'égalité est exacte : $Δ t_{0} = \frac{∣ Q ∣}{Φ _{0}} = \frac{m c _{Y} ( θ _{0} - θ _{r e ˊ fri} )}{h S ( θ _{0} - θ _{r e ˊ fri} )} = \frac{m c _{Y}}{h S} = τ$ . Le temps caractéristique est exactement la durée qu'aurait le refroidissement complet si le flux restait égal à sa valeur initiale : c'est la signification physique de la méthode de la tangente à l'origine (Q8). Comme le flux décroît, le refroidissement réel est plus long : après $τ$ il reste 37 % de l'écart, après $3 τ \approx 2 h$ il n'en reste que 5 % ( $θ (7200 s) = 26 e^{- 2, 9} + 4, 0 \approx 5, 5^{\circ} C$ ), et l'équilibre est pratiquement atteint au bout de $5 τ \approx 3, 5 h$ . Les 2 heures de réfrigération de la recette correspondent donc à environ $3 τ$ : le yaourt est alors à moins de $6^{\circ} C$ , ce qui est cohérent.

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