Corrigé bac physique-chimie 2026 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Le satellite TESS

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Les exoplanètes sont des planètes en orbite autour d'une étoile autre que le Soleil. Les physiciens Michel Mayor et Didier Queloz ont reçu en 2019 le prix Nobel de physique pour la première détection d'une exoplanète.

Le satellite TESS « Transiting Exoplanet Survey Satellite » est à la recherche de nouvelles exoplanètes depuis le 18 avril 2018. En juillet 2019, le satellite TESS a permis la découverte du système planétaire « TOI 270 », composé entre autres de deux exoplanètes, que l'on appellera exoplanète 1 et exoplanète 2, en orbite autour de l'étoile E. (D'après sciencesetavenir.fr)

L'objectif de cet exercice est d'étudier le système planétaire « TOI 270 » pour lequel on supposera que les mouvements des exoplanètes 1 et 2 autour de l'étoile E sont circulaires uniformes. L'interaction entre les deux exoplanètes est négligée.

Données :

constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ ;
approximations dans le cas de petits angles ( $α ≪ 1 rad$ ) : $sin α = α$ ; $tan α = α$ ;
données relatives au système « TOI 270 » :

Objet	Étoile E	Exoplanète 1	Exoplanète 2
Rayon de l'orbite autour de E en km		$R_{1} = 6, 77 \times 1 0^{6}$	$R_{2} = 1, 08 \times 1 0^{7}$
Période de révolution autour de E en jours terrestres		$T_{1}$	$T_{2} = 11, 4$
Rayon de l'objet en km	$r_{E} = 2, 63 \times 1 0^{5}$	$r_{1}$
Masse de l'objet en kg	$M_{E} = 7, 68 \times 1 0^{29}$		$M_{2}$

1. Étude du système « TOI 270 »

On étudie le mouvement de l'exoplanète 2, de masse $M_{2}$ , en orbite circulaire autour de l'étoile E. L'étude est conduite dans un référentiel dont l'origine est prise au centre de l'étoile E et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines ; il est supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(P, u_{T}, u_{N})$ .

Figure 1. Trajectoire de l'exoplanète 2 autour de l'étoile E

Q1. Exprimer la force d'attraction gravitationnelle, notée $F$ , exercée par l'étoile E sur l'exoplanète 2, en fonction de $M_{2}$ , $M_{E}$ , $G$ , $R_{2}$ et $u_{N}$ .

Q2. En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l'expression de la vitesse $v_{2}$ de l'exoplanète 2 en fonction de $G$ , $M_{E}$ et $R_{2}$ .

Q3. Établir que la masse $M_{E}$ de l'étoile est donnée par la relation $M_{E} = \frac{4 π ^{2} \cdot R _{2}^{3}}{G \cdot T _{2}^{2}}$ .

Q4. Vérifier que la valeur de la masse $M_{E}$ déduite de cette relation est voisine de celle indiquée dans le tableau de données.

Q5. En utilisant la troisième loi de Kepler et les données $R_{1}$ , $R_{2}$ et $T_{2}$ relatives aux exoplanètes, déterminer la valeur de la période $T_{1}$ exprimée en jours terrestres.

2. Mesure expérimentale de la période de révolution $T_{1}$ de l'exoplanète 1

Le satellite TESS utilise une caméra pour détecter des exoplanètes. Lorsqu'une exoplanète passe entre l'étoile et la caméra, la puissance lumineuse reçue par la caméra diminue. Ce phénomène est appelé transit planétaire et indique la présence d'une exoplanète en orbite autour de l'étoile pointée par la caméra.

On se propose de déterminer la valeur de la période $T_{1}$ de révolution de l'exoplanète 1 autour de l'étoile E en exploitant les relevés envoyés par le satellite TESS. Lors du transit de l'exoplanète 1 devant l'étoile E (schématisé sur la figure 2), on mesure la puissance lumineuse relative* $P_{lum}$ reçue par la caméra en fonction du temps (figure 3). L'origine des dates ( $t = 0$ ) est prise au milieu du transit.

** La puissance lumineuse relative est définie comme le rapport de la puissance lumineuse reçue par la caméra à un instant donné sur la valeur moyenne de cette puissance. C'est une grandeur sans dimension.*

Figure 2. Positions de l'exoplanète 1 au début et à la fin de la phase de transit (le schéma n'est pas à l'échelle)

Figure 3. $P_{lum}$ en fonction du temps lors d'un transit de l'exoplanète 1

On admet que le rayon $r_{1}$ de l'exoplanète 1, le rayon $r_{E}$ de l'étoile E et la diminution $Δ P_{lum}$ de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra pendant le transit de l'exoplanète 1 vérifient la relation suivante :

$Δ P_{lum} = (\frac{r _{1}}{r _{E}})^{2}$

Q6. Indiquer qualitativement l'influence de la taille de l'exoplanète sur la diminution $Δ P_{lum}$ de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra au cours d'un transit.

Q7. Vérifier que le rayon $r_{1}$ de l'exoplanète 1 vaut environ $1, 7 \times 1 0^{4} km$ .

Q8. En utilisant les figures 2 et 3, et sachant que l'angle $α$ est très petit devant 1 rad, estimer la valeur de la période $T_{1}$ de révolution de l'exoplanète 1 que l'on peut déduire des observations. Commenter.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d'être correctement présentée.

Corrigé

1. Étude du système « TOI 270 »

Q1. D'après la loi de gravitation universelle, l'étoile E (masse $M_{E}$ ) exerce sur l'exoplanète 2 (masse $M_{2}$ ), située à la distance $R_{2}$ de son centre, une force attractive de valeur $F = G \frac{M _{E} M _{2}}{R _{2}^{2}}$ , dirigée de P vers le centre E. Dans le repère de Frenet, $u_{N}$ est précisément le vecteur unitaire normal dirigé de P vers E (figure 1), donc

$F = G \frac{M _{E} M _{2}}{R _{2}^{2}} u_{N} .$

Q2. Système : l'exoplanète 2, de masse $M_{2}$ . Référentiel : centré sur E, axes pointés vers des étoiles lointaines, supposé galiléen. Bilan des forces : la seule force est l'attraction gravitationnelle $F$ de l'étoile (interaction avec l'exoplanète 1 négligée). Deuxième loi de Newton : $\sum F = M_{2} a$ , soit

$G \frac{M _{E} M _{2}}{R _{2}^{2}} u_{N} = M_{2} a ⟹ a = \frac{G M _{E}}{R _{2}^{2}} u_{N} .$

Pour un mouvement circulaire de rayon $R_{2}$ , l'accélération s'écrit dans la base de Frenet $a = \frac{d v _{2}}{d t} u_{T} + \frac{v _{2}^{2}}{R _{2}} u_{N}$ . Par identification : selon $u_{T}$ , $\frac{d v _{2}}{d t} = 0$ , la valeur de la vitesse est constante (mouvement uniforme, cohérent avec l'hypothèse) ; selon $u_{N}$ ,

$\frac{v _{2}^{2}}{R _{2}} = \frac{G M _{E}}{R _{2}^{2}} ⟹ v_{2} = \frac{G M _{E}}{R _{2}} .$

La vitesse ne dépend pas de la masse $M_{2}$ de l'exoplanète.

Q3. Le mouvement étant uniforme, l'exoplanète parcourt le périmètre $2 π R_{2}$ de son orbite pendant une période : $v_{2} = \frac{2 π R _{2}}{T _{2}}$ . En égalant avec l'expression de Q2 puis en élevant au carré :

$\frac{4 π ^{2} R _{2}^{2}}{T _{2}^{2}} = \frac{G M _{E}}{R _{2}} ⟹ M_{E} = \frac{4 π ^{2} R _{2}^{3}}{G T _{2}^{2}} .$

C'est la troisième loi de Kepler, $\frac{T _{2}^{2}}{R _{2}^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{E}}$ , qui permet de « peser » l'étoile à partir du mouvement d'une de ses planètes.

Q4. Il faut convertir les données en unités du système international : $R_{2} = 1, 08 \times 1 0^{7} km = 1, 08 \times 1 0^{10} m$ et $T_{2} = 11, 4 \times 24 \times 3600 = 9, 85 \times 1 0^{5} s$ .

$M_{E} = \frac{4 π ^{2} \times ( 1 , 08 \times 1 0 ^{10} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times ( 9 , 85 \times 1 0 ^{5} ) ^{2}} = 7, 69 \times 1 0^{29} kg .$

La valeur obtenue est voisine de celle du tableau, $M_{E} = 7, 68 \times 1 0^{29} kg$ (écart de 0,1 %, dû aux arrondis), soit environ 0,4 masse solaire : TOI 270 est une naine rouge. Ce que le correcteur attend : les km convertis en m et les jours en secondes ; oublier l'une de ces conversions donne un résultat faux de plusieurs ordres de grandeur.

Q5. D'après la troisième loi de Kepler, pour les deux exoplanètes en orbite autour de la même étoile, $\frac{T ^{2}}{R ^{3}}$ est le même : $\frac{T _{1}^{2}}{R _{1}^{3}} = \frac{T _{2}^{2}}{R _{2}^{3}}$ , d'où

$T_{1} = T_{2} (\frac{R _{1}}{R _{2}})^{3/2} = 11, 4 \times (\frac{6 , 77 \times 1 0 ^{6}}{1 , 08 \times 1 0 ^{7}})^{3/2} = 11, 4 \times (0, 627)^{3/2} = 5, 66 jours .$

Le rapport $R_{1} / R_{2}$ étant sans dimension, on peut garder les rayons en km et $T_{2}$ en jours : $T_{1} \approx 5, 7$ jours terrestres, plus courte que $T_{2}$ puisque l'exoplanète 1 est plus proche de l'étoile.

2. Mesure expérimentale de la période $T_{1}$

Q6. $Δ P_{lum}$ est proportionnelle au carré du rayon $r_{1}$ de l'exoplanète (à $r_{E}$ fixé) : plus l'exoplanète est grande, plus elle masque une grande fraction du disque de l'étoile (rapport des aires $π r_{1}^{2} / π r_{E}^{2}$ ) et plus la diminution de puissance lumineuse est importante ; une exoplanète deux fois plus grande produit une baisse quatre fois plus forte. Les grosses planètes sont donc les plus faciles à détecter par transit.

Q7. Sur la figure 3, hors transit $P_{lum} = 1, 000$ et au fond du transit $P_{lum} \approx 0, 996$ : on lit $Δ P_{lum} = 1, 000 - 0, 996 = 4 \times 1 0^{- 3}$ . D'après la relation admise,

$r_{1} = r_{E} Δ P_{lum} = 2, 63 \times 1 0^{5} \times 4 \times 1 0^{- 3} = 2, 63 \times 1 0^{5} \times 0, 063 = 1, 7 \times 1 0^{4} km .$

Le rayon de l'exoplanète 1 vaut bien environ $1, 7 \times 1 0^{4} km$ (2,6 rayons terrestres : une « mini-Neptune », qui ne cache que 0,4 % de l'étoile).

Q8. Démarche. Entre le début et la fin du transit, le rayon vecteur EP tourne de l'angle $2 α$ (figure 2). Le mouvement étant uniforme, la durée du transit $Δ t = t_{f} - t_{i}$ est à $T_{1}$ ce que $2 α$ est à un tour complet $2 π$ :

$\frac{Δ t}{T _{1}} = \frac{2 α}{2 π} ⟹ T_{1} = \frac{π Δ t}{α} .$

Angle $α$ . Au début du transit, le bord de l'exoplanète affleure le bord du disque de l'étoile vu depuis la caméra (très lointaine) : le centre de l'exoplanète est décalé de $r_{E} + r_{1}$ par rapport à l'axe E--caméra, à la distance $R_{1}$ de E (figure 2). Donc $sin α = \frac{r _{E} + r _{1}}{R _{1}}$ , et avec $α ≪ 1 rad$ :

$α \approx \frac{r _{E} + r _{1}}{R _{1}} = \frac{2 , 63 \times 1 0 ^{5} + 1 , 7 \times 1 0 ^{4}}{6 , 77 \times 1 0 ^{6}} = 4, 1 \times 1 0^{- 2} rad$

(les longueurs sont toutes en km ; l'approximation est légitime, $α \approx 2, 4^{\circ}$ ).

Durée du transit. Sur la figure 3, la puissance chute à $t_{i} \approx - 0, 8 h$ et revient à sa valeur hors transit à $t_{f} \approx + 0, 8 h$ (chaque carreau vaut 0,1 h) : $Δ t = 1, 6 h$ . Les traits pointillés $t_{i}$ et $t_{f}$ du sujet sont tracés un peu au-delà de $\pm 0, 8 h$ : une lecture $Δ t \approx 1, 7 h$ est tout aussi acceptable et conduit à $T_{1} \approx 5, 4$ jours.

Période.

$T_{1} = \frac{π \times 1 , 6}{4 , 1 \times 1 0 ^{- 2}} = 1, 2 \times 1 0^{2} h = \frac{122}{24} \approx 5, 1 jours .$

Commentaire. La période déduite des observations, $T_{1} \approx 5, 1$ jours, est proche de la valeur $5, 7$ jours obtenue par la troisième loi de Kepler (écart relatif d'environ 10 %). L'écart s'explique par les approximations de la méthode : la lecture de $t_{i}$ et $t_{f}$ à $\pm 0, 1 h$ près (soit $\pm 12%$ sur $Δ t$ , donc sur $T_{1}$ ), la valeur arrondie de $r_{1}$ , et surtout l'hypothèse que l'exoplanète passe par le centre du disque de l'étoile : si sa trajectoire apparente est décalée, la corde traversée est plus courte, le transit dure moins longtemps et $T_{1}$ est sous-estimée, ce qui va dans le sens observé. Les deux déterminations sont donc compatibles, et la méthode des transits fournit bien un ordre de grandeur correct de la période (la valeur publiée pour TOI 270 c est de 5,66 jours).

Ce que le correcteur attend : l'angle balayé pendant le transit est $2 α$ et non $α$ ; les longueurs de $α$ dans la même unité ; la conversion des heures en jours pour comparer à Q5.

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Corrigé bac physique-chimie 2026 Métropole jour 2 — Exercice 3 : Le satellite TESS

Énoncé

1. Étude du système « TOI 270 »

2. Mesure expérimentale de la période de révolution T1​ de l'exoplanète 1

Corrigé

1. Étude du système « TOI 270 »

2. Mesure expérimentale de la période T1​

2. Mesure expérimentale de la période de révolution $T_{1}$ de l'exoplanète 1

2. Mesure expérimentale de la période $T_{1}$