Corrigé bac physique-chimie 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 2 : La scintigraphie cardiaque

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La scintigraphie cardiaque est un examen indolore, réalisé par le cardiologue ou le médecin nucléaire pour évaluer la santé cardiaque d'un patient. L'examen dure environ 15 à 30 minutes et consiste en l'injection intraveineuse de thallium 201 radioactif. Le thallium 201 émet des rayons $γ$ captés par une caméra à scintillation.

L'objectif de cet exercice est d'analyser les propriétés du thallium 201 utilisé pour analyser le fonctionnement cardiaque, ainsi que son comportement dans l'organisme lors de son injection et de son élimination au cours d'une scintigraphie du cœur.

Le thallium 201 ( $_{81}^{201} Tl$ ), utilisé pour la scintigraphie, peut se désintégrer en mercure 201 selon l'équation :

$_{81}^{201} Tl ⟶_{80}^{201} Hg^{*} +_{1}^{0} e,$

où $_{80}^{201} Hg^{*}$ représente un état excité du $_{80}^{201} Hg$ .

Q1. Préciser à quel type de désintégration correspond cette transformation nucléaire.

Le $_{80}^{201} Hg^{*}$ se désexcite très rapidement en émettant un photon $γ$ d'énergie $E$ égale à $135 keV$ .

Données :

célérité de la lumière dans le vide : $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ ;
constante de Planck : $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ;
électronvolt : $1 eV = 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ ;
relation entre l'énergie et la longueur d'onde dans le vide $λ_{v}$ : $E = \frac{h c}{λ _{v}}$ ;
domaines spectraux des ondes électromagnétiques :

Q2. À l'aide des données, exprimer puis calculer la longueur d'onde $λ_{v}$ de ce rayonnement d'énergie $E$ dans le vide.

Q3. Retrouver alors le domaine du spectre auquel appartient ce rayonnement lors de la désintégration du thallium 201.

Q4. Citer une méthode de protection contre ces rayonnements ionisants.

Données et rappels :

l'activité d'un échantillon de noyaux radioactifs est le nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans cet échantillon ;
l'activité $A (t)$ à l'instant $t$ est ici liée au nombre de noyaux $N (t)$ restant à l'instant $t$ par la relation $A (t) = λ N (t)$ , dans laquelle $λ$ est la constante radioactive de la désintégration ;
la loi de décroissance radioactive relative à l'activité est $A (t) = A_{0} e^{- λ \cdot t}$ ;
demi-vie (ou période) du thallium 201 : $t_{1/2} = 3, 04$ jours ;
1 jour $= 86400 s$ .

Lors d'une scintigraphie du cœur, on injecte une solution stérile de chlorure de thallium 201. L'examen du patient considéré nécessite l'injection par voie intraveineuse d'une dose présentant une activité $A_{0} = 78 MBq$ .

Après l'administration du chlorure de thallium, il est conseillé de boire beaucoup d'eau pour éliminer le thallium restant par voie urinaire.

Q5. Donner la relation entre l'activité $A (t)$ d'un échantillon et la dérivée temporelle du nombre de noyaux radioactifs $N (t)$ , notée $\frac{d N ( t )}{d t}$ , dans cet échantillon.

Q6. Établir l'équation différentielle régissant la population de noyaux radioactifs $N (t)$ sous la forme $\frac{d N ( t )}{d t} + λ N (t) = 0$ .

Q7. Vérifier que $N (t) = N_{0} e^{- λ \cdot t}$ est solution de l'équation différentielle précédente, avec $N_{0}$ le nombre de noyaux radioactifs initialement présents dans l'échantillon.

Q8. Établir l'expression de la constante radioactive en fonction du temps de demi-vie $t_{1/2}$ . En déduire que la valeur de la constante radioactive $λ$ du thallium 201 est $2, 64 \times 1 0^{- 6} s^{- 1}$ .

Q9. Calculer l'activité restante $A_{r}$ chez le patient deux heures après l'injection. Conclure.

Q10. Calculer la durée $t_{1%}$ , en jours, au bout de laquelle l'activité radioactive du thallium 201 est égale à 1 % de sa valeur initiale $A_{0}$ . Justifier alors le fait qu'il est nécessaire de boire beaucoup d'eau après l'examen.

Corrigé

Q1. On vérifie les deux lois de conservation de Soddy sur l'équation proposée : conservation du nombre de nucléons, $201 = 201 + 0$ ; conservation de la charge, $81 = 80 + 1$ . La particule émise, $_{1}^{0} e$ , porte une charge $+ e$ et une masse négligeable : c'est un positon. Il s'agit donc d'une désintégration $β^{+}$ , au cours de laquelle un proton du noyau se transforme en neutron. C'est cohérent avec la position du thallium 201 en dessous de la vallée de stabilité (excès de protons) : le numéro atomique diminue d'une unité ( $Z$ passe de 81 à 80) tandis que le nombre de nucléons reste inchangé. Le noyau fils étant formé dans un état excité, il se désexcite ensuite par émission d'un photon $γ$ : c'est ce rayonnement, très pénétrant, qui sort de l'organisme et que la caméra détecte.

Q2. La relation donnée $E = \frac{h c}{λ _{v}}$ s'inverse en

$λ_{v} = \frac{h c}{E} .$

Il faut d'abord convertir l'énergie du photon en joules :

$E = 135 keV = 135 \times 1 0^{3} \times 1, 60 \times 1 0^{- 19} = 2, 16 \times 1 0^{- 14} J .$

D'où

$λ_{v} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{2 , 16 \times 1 0 ^{- 14}} = \frac{1 , 989 \times 1 0 ^{- 25}}{2 , 16 \times 1 0 ^{- 14}} = 9, 21 \times 1 0^{- 12} m .$

Ce que le correcteur attend : le passage des keV aux joules (facteur $1 0^{3}$ puis facteur $1, 60 \times 1 0^{- 19}$ ) ; oublier le préfixe « kilo » donne une longueur d'onde mille fois trop grande, dans le domaine des rayons X.

Q3. La valeur obtenue, $λ_{v} = 9, 21 \times 1 0^{- 12} m$ , est inférieure à $1 0^{- 11} m$ , borne qui sépare sur l'échelle donnée les rayons X des rayons $γ$ . Ce rayonnement appartient donc au domaine des rayons $γ$ , ce qui confirme l'information de l'énoncé : la désexcitation du mercure 201 produit bien un photon $γ$ . Ces photons de très courte longueur d'onde, donc de très grande énergie, sont ionisants et très pénétrants : ils traversent les tissus et peuvent être captés à l'extérieur du corps par la caméra à scintillation.

Q4. Trois leviers de radioprotection sont au programme, et il suffit d'en citer un :

l'écran : s'interposer entre la source et la personne. Pour un rayonnement $γ$ , très pénétrant, il faut une forte épaisseur de matériau dense : tablier ou paravent plombé, murs de plomb ou de béton (une feuille de papier suffirait pour $α$ , quelques millimètres d'aluminium pour $β$ ) ;
la distance : l'intensité reçue décroît comme $1/ d^{2}$ , doubler la distance divise la dose par quatre ;
la durée d'exposition : limiter le temps passé auprès de la source, et suivre la dose reçue par dosimétrie individuelle pour le personnel soignant.

Q5. L'activité est le nombre de désintégrations par unité de temps. Or, pendant la durée $d t$ , le nombre de noyaux radioactifs diminue de $∣ d N ∣$ : la variation $d N$ est négative. Pour que l'activité soit une grandeur positive, on pose donc

$A (t) = - \frac{d N ( t )}{d t} .$

Q6. On dispose de deux expressions de la même grandeur $A (t)$ : celle de la question précédente et la relation rappelée dans l'énoncé, $A (t) = λ N (t)$ . En les égalant :

$- \frac{d N ( t )}{d t} = λ N (t) ⟺ \frac{d N ( t )}{d t} + λ N (t) = 0.$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre, sans second membre : la même que celle d'une cinétique d'ordre 1 ou de la décharge d'un condensateur.

Q7. On dérive la fonction proposée par rapport au temps ( $N_{0}$ et $λ$ sont des constantes) :

$\frac{d N ( t )}{d t} = \frac{d}{d t} (N_{0} e^{- λ t}) = - λ N_{0} e^{- λ t} = - λ N (t) .$

En reportant dans l'équation différentielle :

$\frac{d N ( t )}{d t} + λ N (t) = - λ N (t) + λ N (t) = 0,$

l'équation est donc vérifiée quel que soit $t$ . De plus, à $t = 0$ , $e^{0} = 1$ et $N (0) = N_{0}$ : la condition initiale est satisfaite. La fonction proposée est bien la solution du problème.

Q8. Par définition du temps de demi-vie, au bout de la durée $t_{1/2}$ la moitié des noyaux initiaux s'est désintégrée : $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ . En reportant dans la solution :

$N_{0} e^{- λ t_{1/2}} = \frac{N _{0}}{2} ⟹ e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2} ⟹ - λ t_{1/2} = ln \frac{1}{2} = - ln 2,$

d'où

$λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}} .$

Application numérique, avec $t_{1/2} = 3, 04 jours = 3, 04 \times 86400 = 2, 63 \times 1 0^{5} s$ :

$λ = \frac{0 , 693}{2 , 63 \times 1 0 ^{5}} = 2, 64 \times 1 0^{- 6} s^{- 1},$

ce qui est bien la valeur annoncée. Ce que le correcteur attend : la conversion des jours en secondes avant le calcul, puisque $λ$ est demandée en $s^{- 1}$ .

Q9. Deux heures après l'injection, $t = 2 \times 3600 = 7, 20 \times 1 0^{3} s$ . La loi de décroissance de l'activité donne

$A_{r} = A_{0} e^{- λ t} = 78 \times e^{- 2, 64 \times 1 0^{- 6} \times 7, 20 \times 1 0^{3}} = 78 \times e^{- 1, 90 \times 1 0^{- 2}} = 78 \times 0, 981 = 77 MBq .$

Conclusion : en deux heures, l'activité n'a diminué que de 2 % environ. La décroissance radioactive est donc négligeable à l'échelle de l'examen (15 à 30 minutes) : c'est un avantage, puisque l'activité reste pratiquement constante pendant toute l'acquisition des images, ce qui garantit un signal stable pour la caméra. Mais c'est aussi un inconvénient : le patient reste radioactif bien après la fin de l'examen.

Q10. On cherche la date $t_{1%}$ telle que $A (t_{1%}) = 0, 01 A_{0}$ :

$A_{0} e^{- λ t_{1%}} = 0, 01 A_{0} ⟹ e^{- λ t_{1%}} = 0, 01 ⟹ t_{1%} = - \frac{ln ( 0 , 01 )}{λ} = \frac{ln 100}{λ} .$

Application numérique :

$t_{1%} = \frac{4 , 61}{2 , 64 \times 1 0 ^{- 6}} = 1, 74 \times 1 0^{6} s = \frac{1 , 74 \times 1 0 ^{6}}{86 400} = 20, 2 jours .$

On peut vérifier autrement : $t_{1%} = \frac{ln 100}{ln 2} t_{1/2} = 6, 64 \times 3, 04 = 20, 2$ jours, soit un peu moins de sept demi-vies ( $2^{7} = 128 > 100$ ).

Justification : si l'on comptait sur la seule décroissance radioactive, il faudrait une vingtaine de jours pour que l'activité du thallium tombe à 1 % de sa valeur initiale : le patient resterait une source de rayonnement $γ$ pendant des semaines, pour lui-même comme pour son entourage. En buvant beaucoup d'eau, il accélère l'élimination biologique du thallium par voie urinaire : cette élimination physiologique s'ajoute à la décroissance physique, et la durée au bout de laquelle il ne reste que 1 % de l'activité dans l'organisme devient très inférieure à 20 jours. La dose totale reçue par les organes, et notamment par les reins et la vessie, en est fortement réduite.

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