Corrigé bac physique-chimie 2026 Polynésie jour 1 — Exercice 3 : La découverte des trous noirs

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

L'astronome Reinhard Genzel, prix Nobel de physique en 2020, et ses collaborateurs ont apporté les preuves de l'existence d'un trou noir au centre de notre galaxie, nommé SgrA (Sagittarius A), dont la masse a été évaluée peu après par l'équipe d'Andrea Ghez à environ 4,4 millions de masses solaires. (D'après Sciences et Avenir — octobre 2020)

Le but de cet exercice est d'estimer la masse $M$ du trou noir SgrA* afin de confirmer la valeur donnée dans l'article précédent.

La figure 1 présente la trajectoire elliptique d'une étoile appelée S2 dans le référentiel galiléen dont l'origine est le trou noir SgrA. On a reporté, à côté de chaque position de l'étoile S2, la date à laquelle a été effectué le relevé. Ainsi, 2000,6 correspond à l'année 2000, accomplie au 6/10 de sa durée. Les points $F_{1}$ et $F_{2}$ sont les foyers de l'ellipse, $F_{1}$ étant occupé par SgrA.

Figure 1. Relevé des positions de l'étoile S2

D'après la deuxième loi de Kepler, le rayon vecteur qui relie le centre du trou noir SgrA* à l'étoile S2 balaie des aires égales pendant des durées égales.

Q1. Expliquer que la vitesse de l'étoile S2 en 2002 est supérieure à la vitesse de S2 en 1993.

Q2. À partir de la figure 1, montrer que la valeur de la période de révolution $T$ de l'étoile S2 autour de SgrA* est de l'ordre de 19 ans.

On peut montrer que la période de révolution de l'étoile S2 est identique à celle qu'aurait une étoile fictive Sf dont la trajectoire serait circulaire autour de $F_{1}$ , avec un rayon égal à la moitié du grand axe de l'ellipse parcourue par S2.

Figure 2. Portion de trajectoire circulaire de l'étoile Sf autour de SgrA*

On considère que l'étoile fictive Sf est uniquement soumise à la force gravitationnelle de SgrA* et que sa trajectoire est circulaire de rayon $r$ . L'étude est effectuée dans le repère de Frenet $(Sf, u_{t}, u_{n})$ . On note $m_{f}$ la masse de l'étoile fictive Sf.

Q3. À l'aide de la deuxième loi de Newton appliquée à l'étoile Sf considérée comme ponctuelle, exprimer son vecteur accélération $a$ en fonction de $G$ , $M$ , $r$ et du vecteur $u_{n}$ .

Q4. Recopier la figure 2 sur votre copie, sans souci d'échelle, et représenter, au point Sf, les vecteurs vitesse $v$ et accélération $a$ de l'étoile Sf.

Q5. En utilisant l'expression du vecteur accélération dans la base de Frenet, montrer alors que, dans le cadre de l'approximation d'une trajectoire circulaire, le mouvement de l'étoile Sf est circulaire uniforme.

Q6. Montrer également que l'expression de la vitesse $v$ de l'étoile Sf est $v = \frac{GM}{r}$ .

Q7. On définit $T$ comme la période de révolution de l'étoile S autour du trou noir SgrA*. Retrouver l'expression de la troisième loi de Kepler :

$\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM} .$

Données :

constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ ;
masse du Soleil : $M_{S} = 1, 99 \times 1 0^{30} kg$ ;
la valeur $r$ du rayon de l'orbite de l'étoile fictive Sf : $r = 1, 74 \times 1 0^{11} km$ ;
la valeur de la période de révolution $T$ de l'étoile S2 autour de SgrA* est égale à 19 ans.

Q8. Déterminer la valeur de la masse $M$ du trou noir SgrA*. Comparer le résultat à la valeur annoncée dans l'article de Sciences et Avenir cité en préambule. Commenter.

Corrigé

Q1. Le trou noir SgrA occupe le foyer $F_{1}$ , celui qui est proche de la position 2002. Or, sur une ellipse, la distance au foyer varie : en 2002 l'étoile est au voisinage du périastre (l'extrémité du grand axe la plus proche de $F_{1}$ ), donc le rayon vecteur $F_{1} S2$ est court ; en 1993 elle est au voisinage de l'apoastre (l'autre extrémité du grand axe), donc le rayon vecteur est long*.

D'après la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des durées égales. Pendant une même durée $Δ t$ , l'aire balayée s'apparente à celle d'un triangle de « base » l'arc parcouru et de « hauteur » la longueur du rayon vecteur. Pour que cette aire soit la même, l'arc parcouru doit être d'autant plus long que le rayon vecteur est plus court. L'étoile parcourt donc une plus grande distance par unité de temps près du périastre : sa vitesse y est plus grande. D'où $v (2002) > v (1993)$ .

La figure le confirme directement : entre 1992 et 1993, c'est-à-dire en un an, l'étoile parcourt un arc très court, alors qu'entre 2001,5 et 2002, en une demi-année seulement, elle parcourt un arc nettement plus long.

Q2. Le grand axe de l'ellipse est matérialisé sur la figure 1 par la double flèche qui passe par les deux foyers $F_{1}$ et $F_{2}$ . Ses deux extrémités sont le périastre et l'apoastre. La lecture de la figure montre que :

l'étoile occupe le périastre en 2002 (la position 2002 est exactement à l'extrémité du grand axe située du côté de $F_{1}$ ) ;
elle occupe l'apoastre entre 1992 et 1993 (l'autre extrémité du grand axe tombe entre ces deux relevés, soit vers 1992,5).

Or la trajectoire est symétrique par rapport au grand axe : aller de l'apoastre au périastre, c'est parcourir exactement la moitié de l'ellipse, donc effectuer une demi-révolution. Par conséquent

$\frac{T}{2} \approx 2002 - 1992, 5 = 9, 5 ans ⟹ T \approx 19 ans .$

Incertitude de lecture : l'extrémité du grand axe se situe entre les relevés 1992 et 1993 ; si l'on lit 1993, on obtient $T \approx 18$ ans, si l'on lit 1992, $T \approx 20$ ans. La période est donc bien de l'ordre de 19 ans.

Q3. Système : l'étoile fictive Sf, de masse $m_{f}$ , supposée ponctuelle. Référentiel : celui d'origine SgrA, supposé galiléen. Bilan des forces : l'étoile n'est soumise qu'à la force gravitationnelle exercée par SgrA, de valeur $F = G \frac{M m _{f}}{r ^{2}}$ et dirigée de Sf vers SgrA*. Comme $u_{n}$ est le vecteur unitaire normal orienté vers le centre de la trajectoire (figure 2) :

$F = G \frac{M m _{f}}{r ^{2}} u_{n} .$

La deuxième loi de Newton s'écrit $\sum F = m_{f} a$ , soit $G \frac{M m _{f}}{r ^{2}} u_{n} = m_{f} a$ , d'où, après simplification par $m_{f}$ :

$a = \frac{G M}{r ^{2}} u_{n} .$

L'accélération ne dépend pas de la masse de l'étoile : c'est pourquoi on pourra « peser » le trou noir sans connaître $m_{f}$ .

Q4. Le vecteur vitesse $v$ est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement : il est donc porté par $u_{t}$ (et de même sens que lui, puisque $u_{t}$ est orienté dans le sens du mouvement indiqué sur la figure 2). Le vecteur accélération $a$ est, d'après Q3, colinéaire à $u_{n}$ et de même sens : il est porté par le rayon, dirigé de Sf vers SgrA* ; il est centripète. Les deux vecteurs sont orthogonaux.

Q5. Dans la base de Frenet, pour un mouvement circulaire de rayon $r$ , le vecteur accélération s'écrit

$a = \frac{d v}{d t} u_{t} + \frac{v ^{2}}{r} u_{n} .$

Or on a établi en Q3 que $a = \frac{GM}{r ^{2}} u_{n}$ : l'accélération n'a aucune composante selon $u_{t}$ . Par identification des composantes dans cette base (qui est orthonormée), la composante tangentielle est nulle :

$\frac{d v}{d t} = 0,$

donc la valeur $v$ de la vitesse est constante au cours du temps. La trajectoire étant circulaire et la valeur de la vitesse constante, le mouvement de Sf est bien circulaire uniforme.

Q6. L'identification des composantes selon $u_{n}$ donne

$\frac{v ^{2}}{r} = \frac{G M}{r ^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{G M}{r} ⟹ v = \frac{G M}{r},$

la racine positive étant seule retenue car $v$ est une valeur de vitesse. On vérifie l'homogénéité : $G M / r$ s'exprime en $m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2} \times kg \times m^{- 1} = m^{2} \cdot s^{- 2}$ , dont la racine est bien en $m \cdot s^{- 1}$ .

Q7. Le mouvement étant uniforme, l'étoile parcourt le périmètre $2 π r$ de son orbite pendant une période $T$ :

$v = \frac{2 π r}{T} .$

En égalant avec l'expression de Q6 et en élevant au carré :

$\frac{4 π ^{2} r ^{2}}{T ^{2}} = \frac{G M}{r} ⟹ 4 π^{2} r^{3} = G M T^{2} ⟹ \frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M} .$

C'est bien la troisième loi de Kepler : le rapport $T^{2} / r^{3}$ ne dépend que de la masse de l'astre central.

Q8. On isole $M$ dans la relation précédente :

$M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}} .$

L'expression est bien homogène à une masse : $\frac{m ^{3}}{m ^{3} \cdot k g ^{- 1} \cdot s ^{- 2} \times s ^{2}} = kg$ .

Conversions préalables en unités du système international :

$r = 1, 74 \times 1 0^{11} km = 1, 74 \times 1 0^{14} m, T = 19 ans = 19 \times 365, 25 \times 24 \times 3600 = 6, 00 \times 1 0^{8} s .$

Application numérique :

$M = \frac{4 π ^{2} \times ( 1 , 74 \times 1 0 ^{14} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times ( 6 , 00 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = \frac{2 , 08 \times 1 0 ^{44}}{2 , 40 \times 1 0 ^{7}} = 8, 7 \times 1 0^{36} kg .$

Exprimée en masses solaires :

$\frac{M}{M _{S}} = \frac{8 , 7 \times 1 0 ^{36}}{1 , 99 \times 1 0 ^{30}} = 4, 4 \times 1 0^{6},$

soit environ 4,4 millions de masses solaires.

Comparaison et commentaire. La valeur obtenue coïncide avec celle annoncée dans l'article de Sciences et Avenir (4,4 millions de masses solaires). Le modèle utilisé est donc pertinent, alors même qu'il repose sur plusieurs approximations : la trajectoire réelle est elliptique et non circulaire (on a remplacé l'ellipse par un cercle de rayon égal au demi-grand axe, ce que la troisième loi de Kepler autorise), la masse de l'étoile est négligée devant $M$ , et SgrA* est supposé fixe. Le résultat est en revanche très sensible à la période, qui intervient au carré : lire $T = 18$ ans au lieu de 19 ferait remonter la masse de 11 %, ce qui reste le même ordre de grandeur.

Ce calcul est bien la « preuve » évoquée en préambule : une masse de plusieurs millions de masses solaires est concentrée à l'intérieur d'une orbite de rayon $1, 74 \times 1 0^{14} m$ , soit environ $1, 2 \times 1 0^{3}$ fois la distance Terre--Soleil — une région minuscule à l'échelle galactique. Aucun amas d'étoiles ordinaires ne peut être aussi compact et aussi sombre : seul un trou noir supermassif rend compte de l'observation.

Ce que le correcteur attend : les kilomètres convertis en mètres et les années en secondes avant toute application numérique (oublier l'une de ces conversions fausse le résultat de plusieurs ordres de grandeur), puis la division par $M_{S}$ pour pouvoir comparer à l'article.

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