Corrigé bac physique-chimie 2026 Polynésie jour 2 — Exercice 2 : Mesure du niveau d'un liquide

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

Les capteurs capacitifs ont de nombreuses applications. Ils sont mis à profit entre autres pour contrôler le niveau de remplissage de cuves opaques. L'objectif de cet exercice est l'étude du fonctionnement d'un capteur capacitif de niveau.

Un capteur de niveau capacitif est constitué d'un condensateur creux immergé dans une cuve. Le condensateur est constitué de deux armatures métalliques A et B séparées par un isolant qui peut être l'air ou le liquide (figure 1). L'armature B entoure l'armature A. Le liquide et l'air n'ayant pas les mêmes propriétés isolantes, la capacité du condensateur dépend du niveau de liquide présent dans la cuve.

Figure 1. Schéma simplifié du capteur de niveau capacitif

Partie A : étude de l'influence de la capacité lors de la charge d'un condensateur

Un capteur de niveau capacitif peut être assimilé à un condensateur de capacité $C$ dont la valeur peut varier en fonction du niveau de liquide. On effectue la charge du condensateur de capacité $C$ , initialement déchargé, dans un circuit contenant un conducteur ohmique de résistance $R = 330 kΩ$ et un générateur délivrant une tension $E = 5, 0 V$ aux bornes du dipôle RC.

La figure 2 précise les conventions d'orientation utilisées pour représenter la tension $E$ aux bornes du générateur, la tension $u_{R}$ aux bornes du conducteur ohmique, la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur ainsi que l'intensité $i$ du courant circulant dans le circuit.

Figure 2. Conventions d'orientation utilisées pour l'intensité du courant et les tensions

Q1. Justifier que l'intensité $i$ du courant peut s'exprimer en fonction de la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur et de la capacité $C$ du condensateur par la relation : $i = C \times \frac{d u _{C}}{d t}$ .

Q2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur lors de la charge sous une tension $E$ .

La solution de cette équation différentielle est de la forme suivante : $u_{C} = E \times (1 - e^{- t / τ})$ , où $τ = R C$ est la constante de temps du circuit étudié.

Q3. Vérifier par un calcul que la tension $u_{C} (τ)$ aux bornes du condensateur a atteint, à l'instant $t = τ$ , 63 % de sa valeur maximale et déterminer la valeur de la tension $u_{C} (τ)$ .

Q4. Préciser l'influence de la capacité $C$ sur la durée de charge complète du condensateur.

Partie B : détermination du volume d'huile contenu dans un fût métallique

La capacité $C$ du condensateur dépend de la hauteur $h$ d'huile dans le condensateur. Le condensateur est branché en série avec un conducteur ohmique. Le dipôle RC, ainsi constitué, est connecté à une sortie d'un microcontrôleur qui permet d'effectuer des charges et décharges successives du condensateur.

Figure 3. Schéma du dispositif de mesure dans le fût métallique

Une deuxième entrée du microcontrôleur permet de suivre l'évolution de la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur au cours du temps représentée sur la figure 4.

Figure 4. Courbe d'acquisition de la tension $u_{C}$ en fonction du temps $t$

Q5. En utilisant la figure 4, montrer que la valeur de la constante de temps $τ$ correspondant à la charge du capteur capacitif est voisine de $1, 2 \times 1 0^{- 4} s$ . Expliquer la méthode utilisée en s'appuyant sur un schéma.

On a préalablement mesuré à l'aide d'un capacimètre la capacité $C$ du capteur pour différentes hauteurs $h$ d'huile dans le capteur. On obtient alors la courbe d'étalonnage de la capacité $C$ en fonction de la hauteur $h$ dans le condensateur (figure 5).

Figure 5. Courbe d'étalonnage $C = f (h)$

Données :

le fût métallique est considéré comme un cylindre de diamètre $D = 0, 610 m$ ;
volume d'un cylindre $V$ (en $m^{3}$ ) de diamètre $D$ (en m) et de hauteur $H$ (en m) : $V = \frac{π}{4} \times D^{2} \times H$ ;
niveau d'entrée d'huile dans le capteur : $h_{0} = 4, 4 cm$ ;
résistance du circuit RC : $R = 330 kΩ$ .

Dans la question suivante, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti. La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d'être correctement présentée.

Q6. À l'aide des figures 4 et 5 et des données précédentes, calculer la valeur du volume d'huile $V_{H}$ contenu dans le fût métallique, lors de l'enregistrement représenté en figure 4.

Corrigé

Partie A : influence de la capacité lors de la charge

Q1. Le condensateur porte les charges $+ q$ et $- q$ sur ses armatures, et sa relation caractéristique s'écrit, avec l'orientation de la figure 2 (la tension $u_{C}$ est fléchée de l'armature $- q$ vers l'armature $+ q$ ) :

$q = C u_{C} .$

Par définition, l'intensité du courant est le débit de charge : $i = \frac{d q}{d t}$ , le courant $i$ étant orienté de manière à arriver sur l'armature portant la charge $+ q$ (sur la figure 2, le courant sort de la borne $+$ du générateur, traverse le conducteur ohmique puis rejoint l'armature supérieure du condensateur). La capacité $C$ étant une constante du composant :

$i = \frac{d q}{d t} = \frac{d ( C u _{C} )}{d t} = C \times \frac{d u _{C}}{d t} .$

Q2. Le circuit ne comporte qu'une seule maille. Loi des mailles avec les orientations de la figure 2 :

$E = u_{R} + u_{C} .$

Le conducteur ohmique est orienté en convention récepteur, donc la loi d'Ohm donne $u_{R} = R i$ , et Q1 donne $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ . En reportant :

$E = R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} ⟺ \frac{d u _{C}}{d t} + \frac{1}{R C} u_{C} = \frac{E}{R C} .$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec second membre constant.

Q3. La valeur maximale de $u_{C}$ est la valeur atteinte en régime permanent : quand $t \to \infty$ , $e^{- t / τ} \to 0$ et $u_{C} \to E$ (le condensateur est chargé, $i = 0$ et $u_{R} = 0$ ). À $t = τ$ :

$u_{C} (τ) = E (1 - e^{- τ / τ}) = E (1 - e^{- 1}) = E (1 - 0, 368) = 0, 632 E,$

soit bien 63 % de la valeur maximale $E$ (ce pourcentage ne dépend ni de $R$ ni de $C$ ). Numériquement :

$u_{C} (τ) = 0, 632 \times 5, 0 = 3, 2 V .$

Q4. La constante de temps vaut $τ = R C$ : à résistance $R$ fixée, $τ$ est proportionnelle à $C$ . Or la charge est pratiquement complète au bout de quelques constantes de temps ( $u_{C} = 0, 95 E$ à $t = 3 τ$ , $u_{C} = 0, 99 E$ à $t = 5 τ$ ). Donc plus la capacité $C$ est grande, plus la charge est lente : doubler $C$ double la durée de charge. C'est ce qui rend le capteur exploitable — le niveau d'huile fait varier $C$ , donc $τ$ , et c'est cette durée que le microcontrôleur mesure.

Partie B : volume d'huile dans le fût

Q5. Méthode des 63 %. D'après Q3, à $t = τ$ la tension vaut $0, 63 E = 0, 63 \times 5, 0 = 3, 15 V$ . On trace donc l'horizontale $u_{C} = 3, 15 V$ , on repère son intersection avec la courbe, et on lit l'abscisse correspondante : $τ \approx 0, 12 ms$ , soit

$τ = 1, 2 \times 1 0^{- 4} s .$

Vérification par la tangente à l'origine. La tangente à la courbe en $t = 0$ a pour coefficient directeur $\frac{d u _{C}}{d t} (0) = \frac{E}{τ}$ : elle coupe l'asymptote horizontale $u_{C} = E = 5, 0 V$ à l'abscisse $t = τ$ . On lit la même valeur, $0, 12 ms$ .

Q6. Démarche. $τ$ (figure 4) donne $C$ par $τ = R C$ ; $C$ donne $h$ par la courbe d'étalonnage (figure 5) ; $h$ et $h_{0}$ donnent la hauteur $H$ d'huile dans le fût ; $H$ et $D$ donnent le volume.

Capacité du capteur. $τ = R C$ , donc

$C = \frac{τ}{R} = \frac{1 , 2 \times 1 0 ^{- 4}}{330 \times 1 0 ^{3}} = 3, 6 \times 1 0^{- 10} F = 0, 36 nF .$

Hauteur d'huile dans le capteur. Sur la figure 5, la courbe d'étalonnage est une droite qui passe par $(0; 0, 200 nF)$ — capteur rempli d'air seulement — et par $(0, 80 m; 0, 440 nF)$ , soit un coefficient directeur $\frac{0 , 440 - 0 , 200}{0 , 80} = 0, 30 nF \cdot m^{- 1}$ et $C = 0, 200 + 0, 30 h$ . Pour $C = 0, 364 nF$ , on lit

$h = \frac{0 , 364 - 0 , 200}{0 , 30} = 0, 55 m .$

Hauteur d'huile dans le fût. D'après la figure 3, l'huile n'entre dans le capteur qu'à partir du niveau $h_{0}$ : la hauteur totale dans la cuve est

$H = h + h_{0} = 0, 55 + 0, 044 = 0, 59 m .$

Volume.

$V_{H} = \frac{π}{4} \times D^{2} \times H = \frac{π}{4} \times (0, 610)^{2} \times 0, 59 = 0, 17 m^{3},$

soit $V_{H} \approx 1, 7 \times 1 0^{2} L$ . L'ordre de grandeur est cohérent : un fût standard de 200 L, rempli aux trois quarts environ.

Ce que le correcteur attend : convertir $h_{0} = 4, 4 cm = 0, 044 m$ et surtout ne pas oublier de l'ajouter à $h$ — le capteur ne « voit » pas les premiers centimètres d'huile ; la capacité $C$ exprimée en farads ( $1 nF = 1 0^{- 9} F$ ) et $R$ en ohms ( $330 kΩ = 3, 30 \times 1 0^{5} Ω$ ) ; enfin le diamètre $D$ , et non le rayon, dans la formule donnée. Le résultat est robuste à la lecture graphique : en arrondissant d'abord la capacité à $C = 0, 36 nF$ on trouve $h = 0, 53 m$ , et toute lecture de $h$ entre 0,53 et 0,55 m donne $V_{H}$ entre 0,168 et 0,174 $m^{3}$ , soit $0, 17 m^{3}$ à deux chiffres significatifs.

Poser une question au tuteur sur ce sujet