Systèmes de coordonnées

Cours · calcul tensoriel (école d'ingénieur), chapitre 1 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Pour calculer, il faut repérer ; pour repérer, il faut choisir un système de coordonnées. Ce premier chapitre étudie ce choix et, surtout, ce qui se passe lorsqu'on en change. Nous verrons que les composantes d'un vecteur se transforment à l'aide de la matrice jacobienne du changement de coordonnées, et qu'un objet aussi familier que le gradient d'une fonction se transforme autrement : ce n'est pas un vecteur de l'espace, mais une forme linéaire. Cette découverte conduit à l'espace dual et à la distinction fondamentale entre composantes contravariantes (indices en haut) et covariantes (indices en bas), sur laquelle repose tout le reste du livre.

Repère historique

Le mot « tenseur » est introduit en 1898 par le physicien Woldemar Voigt pour décrire les tensions (contraintes) dans les cristaux. Le formalisme général, appelé à l'époque « calcul différentiel absolu », est dû à Gregorio Ricci-Curbastro et à son élève Tullio Levi-Civita (article de synthèse de 1900). Albert Einstein s'en empare pour formuler la relativité générale (1915) et introduit en 1916 la convention de sommation qui porte son nom.

1.1 Espace des états

Écrire un modèle mathématique du comportement d'un système impose de choisir un système de coordonnées. Ce système doit permettre de décrire tous les états que peut prendre le système étudié.

Définition — Espace des états

L'espace des états d'un système est l'ensemble de tous les états qu'il peut prendre. Chaque point de cet espace correspond à un état possible ; l'état du système à un instant donné est le point effectivement occupé.

La représentation la plus familière est l'espace physique qui nous entoure, muni d'une origine $O$ et de trois axes orthogonaux gradués avec la même unité : c'est l'espace cartésien. Mais l'espace des états n'a aucune raison d'être de dimension 3.

Exemple 1.1La « coquille d'escargot » de Gaia

En 2018, l'équipe de Teresa Antoja a exploité les positions et vitesses de plusieurs millions d'étoiles du disque galactique mesurées par la mission Gaia de l'ESA. Chaque étoile y est décrite par trois coordonnées de position et trois coordonnées de vitesse : l'espace des états est de dimension 6 (on l'appelle espace des phases). En projetant les étoiles dans le plan (hauteur au-dessus du disque, vitesse verticale), les auteurs ont mis en évidence une structure en spirale — la « coquille d'escargot » — trace d'une perturbation ancienne du disque de la Voie lactée.

Exemple 1.2Le pendule simple : un espace des états de dimension 2

Un pendule de longueur $ℓ$ oscille dans un plan vertical ; son angle $θ$ avec la verticale obéit à $θ ¨ = - \frac{g}{ℓ} sin θ$ . Connaître $θ$ à un instant ne suffit pas pour prédire la suite : il faut aussi la vitesse angulaire $ω = θ ˙$ . L'état du pendule est donc le couple $(θ, ω)$ , et l'espace des états est de dimension 2 — un cylindre, puisque $θ$ et $θ + 2 π$ désignent la même position. Chaque mouvement y dessine une courbe le long de laquelle l'énergie (rapportée à $m ℓ^{2}$ )

$E = \frac{1}{2} ω^{2} - \frac{g}{ℓ} cos θ$

reste constante (figure 1.1) : petites oscillations presque elliptiques, grandes oscillations, et, au-delà de la séparatrice, mouvements de révolution. Ce plan $(θ, ω)$ n'a rien d'un espace physique : on n'y mesure ni longueurs ni angles, et c'est précisément pour ce genre d'espace que l'on aura besoin d'outils qui ne supposent aucun produit scalaire (exemple 1.14).

Figure : Portrait de phase du pendule (

g / ℓ = 1

) : oscillations (vert),

séparatrice (rouge), révolutions (bleu). Chaque courbe est une ligne de niveau

de l'énergie

E

1.2 L'espace cartésien et l'espace euclidien

1.2.1 Coordonnées et exposants

Nous utiliserons des espaces de dimension $n$ finie, éventuellement supérieure à 3. Un point y est repéré par une suite ordonnée de $n$ nombres réels.

Définition — Coordonnées, notation par exposants

Les coordonnées d'un point $M$ de l'espace cartésien $R^{n}$ sont notées

$M = (x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n}) .$

L'exposant indique la place de la coordonnée dans la suite.

Ce choix, qui peut surprendre, est la pierre angulaire de tout le livre : la position (haute ou basse) d'un indice porte une information sur la nature de l'objet et sur la manière dont il se transforme.

1.2.2 Longueurs et angles

L'espace cartésien permet de traduire des propriétés géométriques en calculs algébriques. Définissons d'abord une longueur, en généralisant le théorème de Pythagore.

Définition — Longueur d'un bipoint

Soient $A = (a^{1}, \dots, a^{n})$ et $B = (b^{1}, \dots, b^{n})$ . Le carré de la longueur du bipoint $(A, B)$ est

$A B^{2} = i = 1 \sum n (b^{i} - a^{i})^{2} .$

Pour introduire les angles, considérons le triangle $O A B$ et notons $θ$ l'angle en $O$ . La relation d'Al-Kashi (loi des cosinus) s'écrit

$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 O A \cdot O B cos θ .$

Muni de ces notions de longueur et d'angle, $R^{n}$ devient l'espace euclidien.

1.2.3 L'espace vectoriel des rayons-vecteurs

On construit un espace vectoriel à partir de l'espace des points en associant à chaque point $A$ le vecteur $O A$ , appelé rayon-vecteur. Ses coordonnées sont celles du point $A$ .

À retenir

Les composantes des vecteurs sont repérées, comme les coordonnées des points, par des exposants : $O A = (a^{1}, \dots, a^{n})$ .

Dans un espace vectoriel, longueurs et angles sont portés par le produit scalaire. Pour retrouver les définitions précédentes, on pose

$⟨ O A, O B ⟩ = i = 1 \sum n a^{i} b^{i}, cos θ = \frac{⟨ O A , O B ⟩}{⟨ O A , O A ⟩ ⟨ O B , O B ⟩} .$

En effet, en développant $A B^{2} = \sum_{i} (b^{i} - a^{i})^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \sum_{i} a^{i} b^{i}$ et en comparant à (1.1), on obtient bien $\sum_{i} a^{i} b^{i} = O A \cdot O B cos θ$ .

iRemarque

La formule (1.2) n'est valable que parce que la base est orthonormée. Dans une base quelconque, le produit scalaire fait intervenir un objet supplémentaire, le tenseur métrique, étudié au chapitre 2 (section 2.5).

1.3 Courbes et vecteurs tangents

Une courbe de l'espace euclidien est définie par une équation paramétrique

$x^{i} = x^{i} (t), i = 1, \dots, n .$

Ici $i$ est un indice libre : l'écriture (1.3) résume de façon concise les $n$ équations qui définissent les coordonnées des points de la courbe.

Définition — Vecteur tangent

En tout point où la courbe est dérivable, le vecteur tangent (ou vecteur vitesse) a pour composantes

$v^{i} = \frac{d x ^{i}}{d t} .$

Figure : Le vecteur tangent en

P

à la courbe

C

Deux vecteurs tangents ayant le même point d'application peuvent être combinés par produit scalaire : on peut donc définir l'angle entre deux courbes en leur point d'intersection.

1.4 Changement de système de coordonnées

1.4.1 Coordonnées curvilignes et matrice jacobienne

Que se passe-t-il si l'on abandonne les coordonnées cartésiennes au profit d'un système mieux adapté au problème (coordonnées polaires pour un problème à symétrie de rotation, sphériques pour un atome, etc.) ?

Dans l'espace des points, on écrit $n$ relations liant les anciennes coordonnées aux nouvelles, au moyen de fonctions choisies continûment différentiables :

$anciennes x^{i} = x^{i} (nouvelles y^{1}, y^{2}, \dots, y^{n}), i = 1, \dots, n .$

Ici encore, $i$ est un indice libre : on écrit bien $n$ équations.

Définition — Matrice jacobienne

La matrice jacobienne du changement de coordonnées (1.4) est la matrice $n \times n$ de terme général

$J_{k}^{i} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{k}} (ligne i, colonne k) .$

Attention

Seuls les points où $det J \neq = 0$ peuvent être pris en considération. Le théorème d'inversion locale garantit qu'au voisinage d'un tel point, on peut exprimer réciproquement les $y^{k}$ en fonction des $x^{i}$ , et que la matrice jacobienne du changement inverse est $J^{- 1}$ :

$\frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{k}} \frac{\partial y ^{k}}{\partial x ^{j}} = δ_{j}^{i}, \frac{\partial y ^{k}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{l}} = δ_{l}^{k},$

où $δ_{j}^{i}$ (symbole de Kronecker) vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon. Par exemple, en coordonnées polaires, $det J = r$ : l'origine $r = 0$ est exclue.

Exemple 1.3Bras robotique plan à deux segments

Un bras articulé plan est formé de deux segments de longueurs $ℓ_{1}$ et $ℓ_{2}$ ; les moteurs imposent les angles articulaires $(θ_{1}, θ_{2})$ (figure 1.3). La position de l'effecteur (la pince) est

$x^{1} = ℓ_{1} cos θ_{1} + ℓ_{2} cos (θ_{1} + θ_{2}), x^{2} = ℓ_{1} sin θ_{1} + ℓ_{2} sin (θ_{1} + θ_{2}) .$

Les angles jouent le rôle de coordonnées $(y^{1}, y^{2}) = (θ_{1}, θ_{2})$ de la pince : c'est un changement de coordonnées, que les roboticiens appellent le modèle géométrique direct. En notant $s_{1} = sin θ_{1}$ , $c_{12} = cos (θ_{1} + θ_{2})$ , etc., sa jacobienne est

$J = (- ℓ_{1} s_{1} - ℓ_{2} s_{12} ℓ_{1} c_{1} + ℓ_{2} c_{12} - ℓ_{2} s_{12} ℓ_{2} c_{12}), det J = ℓ_{1} ℓ_{2} sin θ_{2} .$

Le déterminant s'annule pour $θ_{2} = 0$ (bras tendu) et $θ_{2} = π$ (bras replié) : ce sont les configurations singulières du robot, celles que l'avertissement ci-dessus exclut. Physiquement, bras tendu, la pince ne peut pas s'éloigner davantage de l'épaule : une direction de mouvement est perdue (exemple 1.4).

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