Algèbre tensorielle

Cours · calcul tensoriel (école d'ingénieur), chapitre 2 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le chapitre 1 a fait apparaître deux familles d'objets : les vecteurs, dont les composantes se transforment avec $J^{- 1}$ , et les formes linéaires, dont les composantes se transforment avec $J$ . La physique en réclame bien d'autres : tenseur des contraintes, de permittivité, d'inertie, d'élasticité… Ce chapitre les construit tous d'un seul geste, comme formes multilinéaires, et établit la loi de transformation de leurs composantes. Il étudie ensuite les trois opérations qui relient ces objets entre eux — produit tensoriel, permutation, contraction — puis le tenseur métrique, qui contient toute la géométrie de l'espace et permet de « monter » et « descendre » les indices. Il se termine par un tour d'horizon des tenseurs de la physique.

2.1 Les tenseurs

2.1.1 Motivation

Le problème du gradient est résolu, mais il reste de nombreux objets physiques qui ne sont ni des vecteurs ni des formes linéaires. Certains sont représentés par des matrices : tenseur des contraintes, des déformations, d'inertie, de permittivité… Ils possèdent $9 = 3^{2}$ composantes alors que l'espace est de dimension 3. Pire encore : le tenseur piézoélectrique possède $27 = 3^{3}$ composantes et le tenseur d'élasticité de Hooke $81 = 3^{4}$ .

Comme le gradient, ces objets décrivent des propriétés du système qui ne dépendent pas du système de coordonnées choisi pour traiter le problème. Et comme pour le gradient, nous allons construire les espaces vectoriels qui les contiennent en ne nous donnant que l'espace des états et son corps de scalaires.

2.1.2 Définition : les formes multilinéaires

On généralise la démarche qui a conduit à l'espace dual : au lieu des applications linéaires d'une variable vectorielle, on considère les applications multilinéaires (linéaires par rapport à chacun de leurs arguments), dont les arguments sont des formes linéaires et des vecteurs, et qui sont à valeurs dans $K$ .

Définition — Tenseur de type $(p, q)$

Un tenseur de type $(p, q)$ sur $E$ est une application multilinéaire

$T : p fois E^{*} \times \dots \times E^{*} \times q fois E \times \dots \times E (λ^{1}, \dots, λ^{p}, u_{1}, \dots, u_{q}) ⟶ K ⟼ T (λ^{1}, \dots, λ^{p}, u_{1}, \dots, u_{q}) .$

L'ensemble de ces applications est un espace vectoriel, noté $T_{q}^{p} (E)$ , de dimension $n^{p + q}$ .
L'entier $p + q$ (nombre d'arguments) est le rang (ou ordre) du tenseur.
Le couple $(p, q)$ est le type du tenseur : $p$ est l'ordre de contravariance, $q$ l'ordre de covariance.

On se représentera un tenseur comme une machine à fentes (figure 2.1) : chaque fente accepte un argument d'une nature précise, et la machine rend un nombre qui dépend linéairement de chaque argument quand on fixe les autres.

Figure : Un tenseur de type

(1, 2)

: une fente pour une forme linéaire (bleu),

deux pour des vecteurs (rouge). Chaque exposant de $T$ correspond à une fente

« forme », chaque indice à une fente « vecteur ».

iRemarque

Plusieurs espaces ont le même rang tout en étant différents par construction : pour le rang 2, il y a les types $(2, 0)$ , $(1, 1)$ et $(0, 2)$ . C'est le couple $(p, q)$ , et non le seul rang, qui détermine de façon unique l'espace auquel appartient un tenseur. L'ordre dans lequel on range les arguments (formes d'abord, vecteurs ensuite) est une simple convention.

Les objets déjà rencontrés sont des tenseurs.

Un scalaire est un tenseur de type $(0, 0)$ (aucun argument).
Une forme linéaire est, par définition, un tenseur de type $(0, 1)$ .
Un vecteur $u$ est un tenseur de type $(1, 0)$ : on lui associe l'application linéaire $λ \mapsto u (λ) := λ (u)$ définie sur $E^{*}$ . En dimension finie, cette identification de $E$ avec son bidual $E^{**}$ ne dépend d'aucun choix de base.
Une forme bilinéaire (par exemple un produit scalaire) est un tenseur de type $(0, 2)$ .
Un endomorphisme $f$ de $E$ s'identifie à un tenseur de type $(1, 1)$ : $T (λ, u) := λ (f (u))$ .

2.1.3 Composantes d'un tenseur

Les composantes d'un tenseur sont définies comme celles des formes linéaires : en appliquant le tenseur aux éléments de base.

Définition — Composantes

Les composantes du tenseur $T$ de type $(p, q)$ dans la base $(e_{i})$ (et sa base duale $(e^{i})$ ) sont

$T_{j_{1} j_{2} \dots j_{q}}^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = T (e^{i_{1}}, e^{i_{2}}, \dots, e^{i_{p}}, e_{j_{1}}, e_{j_{2}}, \dots, e_{j_{q}}) .$

Il y en a $n^{p + q}$ ; elles portent $p$ exposants et $q$ indices.

Par multilinéarité, le tenseur est entièrement déterminé par ses composantes :

$T (λ^{1}, \dots, λ^{p}, u_{1}, \dots, u_{q}) = T_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}} λ_{i_{1}}^{1} \dots λ_{i_{p}}^{p} u_{1}^{j_{1}} \dots u_{q}^{j_{q}} .$

Exemple 2.1Tenseur

(1, 1)

et matrice d'un endomorphisme

Si $T (λ, u) = λ (f (u))$ , alors $T_{j}^{i} = e^{i} (f (e_{j}))$ est la $i$ -ème composante de $f (e_{j})$ : c'est le coefficient ligne $i$ , colonne $j$ de la matrice de $f$ . L'image d'un vecteur s'écrit $(f (u))^{i} = T_{j}^{i} u^{j}$ , ce qui est le produit matrice–vecteur habituel.

2.1.4 Loi de transformation des composantes

Effectuons un changement de système de coordonnées dans l'espace des états. Les composantes de $T$ dans la nouvelle base sont $T ~_{b_{1} \dots b_{q}}^{a_{1} \dots a_{p}} = T (E^{a_{1}}, \dots, E^{a_{p}}, E_{b_{1}}, \dots, E_{b_{q}})$ .

◆Théorème 2.2Loi de transformation tensorielle

Lors du changement de coordonnées $x^{i} = x^{i} (y^{1}, \dots, y^{n})$ , les composantes d'un tenseur de type $(p, q)$ se transforment selon

$T ~_{b_{1} \dots b_{q}}^{a_{1} \dots a_{p}} = T_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}} \frac{\partial y ^{a_{1}}}{\partial x ^{i_{1}}} \dots \frac{\partial y ^{a_{p}}}{\partial x ^{i_{p}}} \frac{\partial x ^{j_{1}}}{\partial y ^{b_{1}}} \dots \frac{\partial x ^{j_{q}}}{\partial y ^{b_{q}}}$

Chaque exposant se transforme comme une composante de vecteur, chaque indice comme une composante de forme linéaire.

Démonstration

On remplace les nouveaux éléments de base par leur expression en fonction des anciens, $E_{b} = \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} e_{j}$ et $E^{a} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} e^{i}$ (relations (1.8) et (1.11)), puis on utilise la linéarité de $T$ par rapport à chaque argument : chaque coefficient sort de $T$ , et il reste $T (e^{i_{1}}, \dots, e_{j_{q}}) = T_{j_{1} \dots}^{i_{1} \dots}$ .

À retenir

La loi (2.2) est caractéristique des tenseurs : un objet défini par ses composantes dans chaque base est un tenseur si et seulement si ses composantes obéissent à cette loi. Elle permet de vérifier qu'un objet est bien un tenseur, et d'en déterminer le type.

En écriture matricielle, pour les tenseurs de rang 2 (avec $J = (\partial x^{i} / \partial y^{k})$ ) :

Type	Composantes	Loi matricielle
$(1, 1)$ — endomorphisme	$T ~_{b}^{a} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} T_{j}^{i} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}}$	$T ~ = J^{- 1} T J$ (similitude)
$(0, 2)$ — forme bilinéaire	$T ~_{ab} = T_{ij} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{a}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}}$	$T ~ = J^{T} T J$ (congruence)
$(2, 0)$	$T ~^{ab} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial y ^{b}}{\partial x ^{j}} T^{ij}$	$T ~ = J^{- 1} T (J^{- 1})^{T}$

On retrouve deux lois bien connues d'algèbre linéaire : la matrice d'un endomorphisme se transforme par similitude, celle d'une forme bilinéaire par congruence.

Exemple 2.3Le symbole de Kronecker est un tenseur

(1, 1)

Posons $δ_{j}^{i}$ dans toutes les bases. La loi (2.2) donne

$δ_{j}^{i} \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{j}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial y ^{b}} = δ_{b}^{a} .$

Les composantes sont les mêmes dans toutes les bases : $δ$ est un tenseur $(1, 1)$ , qui représente l'endomorphisme identité.

Exemple 2.4Un contre-exemple

Décrétons au contraire qu'un objet $Δ$ a pour composantes $Δ_{ij} = δ_{ij}$ (le tableau identité) dans toutes les bases. Si c'était un tenseur $(0, 2)$ , on aurait $Δ ~ = J^{T} I J = J^{T} J$ , qui n'est égal à $I$ que si $J$ est orthogonale. Pour le changement d'unité $x^{i} = 2 y^{i}$ , on trouverait $4 I \neq = I$ . Ce « tableau identité partout » n'est donc pas un tenseur : la place des indices n'est pas qu'une affaire de typographie.

2.1.5 Tableau des types usuels

Type	Objet	Composantes	Exemple physique
$(0, 0)$	scalaire	$f$	température, énergie
$(1, 0)$	vecteur	$u^{i}$	vitesse, déplacement
$(0, 1)$	forme linéaire	$λ_{i}$	gradient $\partial_{i} f$ , normale à une surface
$(1, 1)$	endomorphisme	$T_{j}^{i}$	identité $δ_{j}^{i}$ , rotation
$(0, 2)$	forme bilinéaire	$g_{ij}$	tenseur métrique, permittivité $ϵ_{ij}$
$(2, 0)$	forme bilinéaire sur $E^{*}$	$σ^{ij}$	contraintes, métrique duale $g^{ij}$
rang 3		$d_{ij k}$	piézoélectricité
rang 4		$C^{ij k l}$	élasticité (loi de Hooke)

2.2 Le produit tensoriel

Des tenseurs de même type peuvent être additionnés et multipliés par un scalaire, puisqu'ils appartiennent au même espace vectoriel $T_{q}^{p} (E)$ . En revanche, cela ne permet pas de faire intervenir dans une même équation des tenseurs de types différents : $u^{i} + \partial_{i} f$ n'a pas de sens. Trois opérations relient des espaces différents : le produit tensoriel, la permutation et la contraction. Commençons par la première.

Prenons un vecteur $u$ et une forme linéaire $λ$ . Ils appartiennent à des espaces vectoriels différents.

Définition — Produit tensoriel d'un vecteur et d'une forme

Le produit tensoriel de $u$ par $λ$ est l'application

$u \otimes λ : E^{*} \times E \to K, (u \otimes λ) (μ, v) = u (μ) λ (v) = μ (u) λ (v) .$

Par construction, $u \otimes λ$ est linéaire par rapport à chacun de ses arguments : à partir d'un tenseur de type $(1, 0)$ et d'un tenseur de type $(0, 1)$ , nous avons construit un tenseur de rang 2 de type $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1)$ . Ses composantes sont

$(u \otimes λ) (e^{i}, e_{j}) = u (e^{i}) λ (e_{j}) = u^{i} λ_{j} ⟹ (u \otimes λ)_{j}^{i} = u^{i} λ_{j} .$

En termes matriciels, c'est le produit « colonne $\times$ ligne » $u λ^{T}$ , une matrice de rang 1.

Définition — Produit tensoriel général

Soient $T$ de type $(a, b)$ et $S$ de type $(c, d)$ . Le produit tensoriel $T \otimes S$ est le tenseur de type $(a + c, b + d)$ défini par

$(T \otimes S) (λ^{1}, \dots, λ^{a + c}, u_{1}, \dots, u_{b + d}) = T (λ^{1}, \dots, λ^{a}, u_{1}, \dots, u_{b}) S (λ^{a + 1}, \dots, λ^{a + c}, u_{b + 1}, \dots, u_{b + d}) .$

Ses composantes sont les produits des composantes :

$(T \otimes S)_{j_{1} \dots j_{b} t_{1} \dots t_{d}}^{i_{1} \dots i_{a} r_{1} \dots r_{c}} = T_{j_{1} \dots j_{b}}^{i_{1} \dots i_{a}} S_{t_{1} \dots t_{d}}^{r_{1} \dots r_{c}} .$

Proposition 2.5Propriétés du produit tensoriel

Le produit tensoriel est bilinéaire, associatif, mais pas commutatif : en général $T \otimes S \neq = S \otimes T$ .

Attention

On lit parfois que le produit tensoriel serait « anti-commutatif ». C'est inexact : l'anti-commutativité $α \land β = - β \land α$ est une propriété du produit extérieur, qui est une version antisymétrisée du produit tensoriel. Le produit tensoriel n'est ni commutatif ni anti-commutatif. Par exemple, pour deux vecteurs,

$(u \otimes v)^{ij} = u^{i} v^{j} et (v \otimes u)^{ij} = v^{i} u^{j} = (u \otimes v)^{j i} :$

les deux matrices sont transposées l'une de l'autre, et diffèrent dès que $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires.

Bases des espaces de tenseurs.

Reprenons l'exemple du vecteur et de la forme linéaire, mais en utilisant les vecteurs de base et les formes de la base duale. On obtient les $n^{2}$ formes bilinéaires $e_{i} \otimes e^{j}$ ( $i, j = 1, \dots, n$ ). Combinons-les linéairement avec les composantes de $u$ et de $λ$ et appliquons le résultat à $(μ, v)$ :

$u^{i} λ_{j} (e_{i} \otimes e^{j}) (μ, v) = u^{i} λ_{j} e_{i} (μ) e^{j} (v) = u^{i} μ_{i} λ_{j} v^{j} = (u \otimes λ) (μ, v) .$

Ce calcul se généralise sans difficulté.

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