Dérivée covariante

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Jusqu'ici, nous avons considéré des tenseurs en un point. La physique, elle, manipule des champs : un champ de températures, un champ de vitesses, un champ de contraintes, c'est-à-dire un tenseur en chaque point de l'espace. Pour écrire les lois de la physique — conservation de la masse, équilibre d'un solide, équations de Maxwell — il faut dériver ces champs. Une mauvaise surprise nous attend : en coordonnées curvilignes, les dérivées partielles des composantes d'un vecteur ne forment pas un tenseur. La raison est géométrique : la base naturelle change d'un point à l'autre, et il faut tenir compte de sa variation. Ce chapitre introduit les symboles de Christoffel, qui mesurent cette variation, et la dérivée covariante, qui corrige les dérivées partielles. On en déduit sans effort les formules de gradient, divergence, laplacien et rotationnel en coordonnées curvilignes, l'accélération d'un point en coordonnées polaires, les géodésiques d'une surface et une première rencontre avec la courbure.

3.1 Champs de tenseurs

Soit $Ω$ un ouvert de l'espace euclidien, repéré par des coordonnées $(y^{1}, \dots, y^{n})$ ; on note $M (y^{1}, \dots, y^{n})$ le point courant.

Définition — Champ de tenseurs

Un champ de tenseurs de type $(p, q)$ sur $Ω$ est la donnée, en chaque point $M$ de $Ω$ , d'un tenseur $T (M)$ de type $(p, q)$ . Ses composantes, prises dans la base naturelle au point $M$ , sont des fonctions des coordonnées : $T_{j_{1} \dots j_{q}}^{i_{1} \dots i_{p}} (y^{1}, \dots, y^{n})$ . On les suppose aussi régulières que nécessaire.

La différence essentielle avec le chapitre 2 est que la base naturelle

$E_{k} (M) = \frac{\partial M}{\partial y ^{k}}$

dépend du point. En coordonnées cartésiennes, $e_{k}$ est la même partout ; en coordonnées polaires, $E_{r}$ tourne et $E_{θ}$ tourne et s'allonge quand on se déplace (figure 3.1). La loi de transformation (2.2) s'applique point par point, avec la matrice jacobienne évaluée au point considéré.

Figure : La base naturelle des coordonnées polaires change d'un point à l'autre.

3.2 Le problème de la dérivation

Soit un champ de vecteurs, de composantes $u^{i} (x)$ en coordonnées cartésiennes et $U^{a} (y) = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} u^{i}$ dans les nouvelles coordonnées. En dérivant par rapport à $y^{b}$ (règle du produit et dérivation des fonctions composées),

$\frac{\partial U ^{a}}{\partial y ^{b}} = loi tensorielle (1, 1) \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial u ^{i}}{\partial x ^{j}} + terme parasite \frac{\partial ^{2} y ^{a}}{\partial x ^{j} \partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} u^{i} .$

Le second terme est nul si le changement de coordonnées est affine (dérivées secondes nulles), mais pas en général : en coordonnées curvilignes, les $\partial_{b} U^{a}$ ne sont pas les composantes d'un tenseur.

Exemple 3.1Un champ constant qui semble varier

Considérons le champ constant $u = e_{1}$ du plan : $u^{1} = 1$ , $u^{2} = 0$ partout, et toutes ses dérivées partielles cartésiennes sont nulles. En polaires, $U = J^{- 1} u$ donne

$U^{r} = cos θ, U^{θ} = - \frac{sin θ}{r}, d’o u ˋ \partial_{θ} U^{r} = - sin θ \neq = 0.$

Or un tenseur nul dans une base est nul dans toutes (la loi de transformation est linéaire). Les dérivées partielles des composantes ne peuvent donc pas être les composantes d'un tenseur.

Le diagnostic est simple. Le vecteur $u$ s'écrit $u = U^{k} E_{k}$ ; lorsqu'on se déplace, les composantes et les vecteurs de base varient à la fois. Les dérivées $\partial_{b} U^{a}$ ne voient que la variation des composantes : elles oublient celle de la base. Dans l'exemple 3.1, les deux variations se compensent exactement, puisque $u$ est constant.

3.3 Les symboles de Christoffel

3.3.1 Variation de la base naturelle

Les vecteurs $E_{k} (M)$ sont des éléments de l'espace vectoriel euclidien fixe $E$ ; on peut donc les dériver par rapport aux coordonnées, et décomposer le résultat dans la base naturelle au même point.

Définition — Symboles de Christoffel

Les symboles de Christoffel du système de coordonnées $(y^{k})$ sont les $n^{3}$ fonctions $Γ_{j k}^{i}$ définies par

$\frac{\partial E _{k}}{\partial y ^{j}} = Γ_{j k}^{i} E_{i}$

Le coefficient $Γ_{j k}^{i}$ est la $i$ -ème composante de la variation de $E_{k}$ lorsque $y^{j}$ varie.

Proposition 3.2Premières propriétés

En coordonnées cartésiennes, tous les $Γ_{j k}^{i}$ sont nuls.
Les symboles de Christoffel sont symétriques en leurs deux indices bas : $Γ_{j k}^{i} = Γ_{k j}^{i}$ .

Démonstration

La base cartésienne ne dépend pas du point. 2. D'après (3.1), $\partial_{j} E_{k} = \partial_{j} \partial_{k} M = \partial_{k} \partial_{j} M = \partial_{k} E_{j}$ (théorème de Schwarz).

Exemple 3.3Christoffel des coordonnées polaires

Avec $E_{r} = (cos θ, sin θ)$ et $E_{θ} = (- r sin θ, r cos θ)$ :

$\partial_{r} E_{r} \partial_{r} E_{θ} = 0, = (- sin θ, cos θ) = \frac{1}{r} E_{θ}, \partial_{θ} E_{r} \partial_{θ} E_{θ} = (- sin θ, cos θ) = \frac{1}{r} E_{θ}, = - r (cos θ, sin θ) = - r E_{r} .$

Les seuls symboles non nuls sont donc

$Γ_{θ θ}^{r} = - r, Γ_{r θ}^{θ} = Γ_{θ r}^{θ} = \frac{1}{r} .$

Le premier traduit le fait qu'en tournant, $E_{θ}$ « se retourne » vers l'origine (accélération centripète) ; le second, que $E_{θ}$ s'allonge proportionnellement à $r$ et que $E_{r}$ tourne avec $θ$ .

3.3.2 Les symboles de Christoffel ne dépendent que de la métrique

La définition (3.3) fait appel à l'espace ambiant $E$ dans lequel vivent les vecteurs $E_{k}$ . Le résultat suivant montre que les $Γ_{j k}^{i}$ se calculent à partir de la seule métrique $g_{ij} = ⟨ E_{i}, E_{j} ⟩$ : c'est ce qui permettra de les définir sur une surface ou dans un espace courbe, où il n'y a pas d'espace ambiant.

◆Théorème 3.4Christoffel et métrique

$Γ_{j k}^{i} = \frac{1}{2} g^{i l} (\partial_{j} g_{l k} + \partial_{k} g_{l j} - \partial_{l} g_{j k})$

Démonstration

Posons $Γ_{l, j k} = ⟨ E_{l}, \partial_{j} E_{k} ⟩ = g_{l m} Γ_{j k}^{m}$ (symboles « de première espèce »), symétriques en $j, k$ . En dérivant $g_{l k} = ⟨ E_{l}, E_{k} ⟩$ :

$\partial_{j} g_{l k} = ⟨ \partial_{j} E_{l}, E_{k} ⟩ + ⟨ E_{l}, \partial_{j} E_{k} ⟩ = Γ_{k, j l} + Γ_{l, j k} .$

Écrivons cette relation pour les trois permutations circulaires utiles :

$\partial_{j} g_{l k} + \partial_{k} g_{l j} - \partial_{l} g_{j k} = (Γ_{k, j l} + Γ_{l, j k}) + (Γ_{j, k l} + Γ_{l, k j}) - (Γ_{k, l j} + Γ_{j, l k}) .$

Par symétrie des deux derniers indices, $Γ_{k, j l} = Γ_{k, l j}$ et $Γ_{j, k l} = Γ_{j, l k}$ se simplifient, et il reste $2 Γ_{l, j k}$ . On conclut en multipliant par $\frac{1}{2} g^{i l}$ .

Coordonnées orthogonales

Lorsque la métrique est diagonale, $g_{ii} = h_{i}^{2}$ (les $h_{i}$ sont les coefficients de Lamé du système de coordonnées), la formule (3.5) se réduit à (sans sommation, $i \neq = j$ ) :

$Γ_{ii}^{i} = \partial_{i} ln h_{i}, Γ_{ij}^{i} = Γ_{j i}^{i} = \partial_{j} ln h_{i}, Γ_{j j}^{i} = - \frac{h _{j}}{h _{i}^{2}} \partial_{i} h_{j},$

tous les symboles à trois indices distincts étant nuls. En polaires, $h_{r} = 1$ , $h_{θ} = r$ , et l'on retrouve (3.4).

Exemple 3.5Christoffel des coordonnées sphériques

Avec $h_{r} = 1$ , $h_{θ} = r$ , $h_{φ} = r sin θ$ (exemple 2.17), les symboles non nuls sont

$Γ_{θ θ}^{r} = - r, Γ_{r θ}^{θ} = \frac{1}{r}, Γ_{φφ}^{r} = - r sin^{2} θ, Γ_{r φ}^{φ} = \frac{1}{r}, Γ_{φφ}^{θ} = - sin θ cos θ, Γ_{θ φ}^{φ} = \frac{cos θ}{sin θ},$

ainsi que leurs symétriques par échange des deux indices bas.

3.3.3 Les symboles de Christoffel ne forment pas un tenseur

Proposition 3.6Loi de transformation

Lors d'un changement de coordonnées $x^{i} = x^{i} (y^{b})$ , on a

$Γ ~_{b c}^{a} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} (\frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{c}} Γ_{j k}^{i} + \frac{\partial ^{2} x ^{i}}{\partial y ^{b} \partial y ^{c}}) .$

Démonstration

On dérive $E_{c} = \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{c}} e_{k}$ par rapport à $y^{b}$ , en considérant $e_{k}$ comme un champ de l'ancienne base : $\partial_{b} E_{c} = \frac{\partial ^{2} x ^{i}}{\partial y ^{b} \partial y ^{c}} e_{i} + \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{c}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} Γ_{j k}^{i} e_{i}$ . On conclut avec $e_{i} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} E_{a}$ .

Le premier terme est la loi d'un tenseur de type $(1, 2)$ ; le second est un terme « inhomogène » qui ne dépend que du changement de coordonnées. Les $Γ_{j k}^{i}$ ne sont donc pas les composantes d'un tenseur : ils sont nuls en cartésiennes et non nuls en polaires, ce qui est impossible pour un tenseur. C'est précisément ce terme inhomogène qui va compenser le terme parasite de (3.2).

3.4 Dérivée covariante d'un champ de vecteurs

Dérivons maintenant le vecteur $u = u^{k} E_{k}$ tout entier, en tenant compte des deux variations :

$\partial_{j} u = (\partial_{j} u^{k}) E_{k} + u^{k} \partial_{j} E_{k} = (\partial_{j} u^{k}) E_{k} + u^{k} Γ_{j k}^{i} E_{i} = (\partial_{j} u^{i} + Γ_{j k}^{i} u^{k}) E_{i} .$

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