Transformations chimiques et équilibre

Cours · chimie : transformation de la matière (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le quotient de réaction tend vers la constante d'équilibre K, en partant d'une valeur plus petite ou plus grande.

La chimie décrit comment la matière se transforme. Verser un morceau de sucre dans l'eau, brûler du méthane, mélanger un acide et une base, faire réagir un alcool et un acide pour fabriquer un arôme : dans tous les cas, un ensemble d'espèces initiales évolue vers un nouvel état où les proportions ont changé. Ce chapitre pose le cadre qui permet de prévoir quantitativement cet état final à partir d'une modélisation par une seule réaction chimique. On y introduit tour à tour la description d'un système physico-chimique, l'avancement qui mesure le degré de transformation, l'activité de chaque espèce, le quotient de réaction $Q$ , la constante d'équilibre $K^{\circ} (T)$ , enfin le critère d'évolution qui, en comparant $Q$ et $K^{\circ}$ , décide du sens d'évolution et de la composition finale. Toutes les grandeurs sont introduites au niveau macroscopique ; aucune notion de thermochimie (enthalpie ou entropie de réaction) n'est requise : la constante $K^{\circ}$ sera considérée comme une donnée expérimentale caractéristique de la réaction à une température fixée.

1.1 Décrire un système physico-chimique

1.1.1 Espèces, entités et état physique

Définition 1.1Système physico-chimique

Un système physico-chimique est un ensemble d'espèces chimiques, contenues dans une portion d'espace délimitée, dont on suit l'évolution. On le décrit en recensant :

les espèces présentes, caractérisées par une formule brute et un état physique précisé entre parenthèses : solide (s), liquide (l), gaz (g), ou espèce en solution aqueuse (aq) ;
la quantité de matière $n_{i}$ (en $mol$ ) de chacune, ou la pression partielle $p_{i}$ pour un gaz, ou la concentration $c_{i}$ pour un soluté.

Une entité chimique est l'objet microscopique (atome, molécule, ion) dont l'espèce est constituée. Ainsi le chlorure de sodium en solution, $NaCl (aq)$ , est présent sous forme des entités $Na X^{+} (aq)$ et $Cl X^{-} (aq)$ ; l'eau liquide $H X_{2} O (l)$ est constituée d'entités $H X_{2} O$ .

Définition 1.2Fraction molaire, pression partielle

Dans une phase contenant $n_{tot}$ moles, la fraction molaire du constituant $i$ est $x_{i} = n_{i} / n_{tot}$ , avec $\sum_{i} x_{i} = 1$ . Dans un mélange de gaz parfaits sous la pression totale $p$ , la pression partielle du constituant $i$ est $p_{i} = x_{i} p$ : c'est la pression qu'il exercerait s'il occupait seul le volume, et $\sum_{i} p_{i} = p$ .

iRemarque

Une même formule brute peut désigner des espèces différentes selon l'état physique : $H X_{2} O (l)$ (eau liquide) et $H X_{2} O (g)$ (vapeur d'eau) sont deux espèces distinctes du système, avec des activités et des rôles différents.

1.1.2 Modéliser une transformation par une équation de réaction

Définition 1.3Équation de réaction

Une transformation chimique est modélisée au niveau macroscopique par une équation de réaction qui relie réactifs et produits en respectant la conservation des éléments et de la charge. On l'écrit sous forme algébrique

$i \sum ν_{i} B_{i} = 0,$

où $B_{i}$ désigne l'espèce et $ν_{i}$ son nombre stœchiométrique algébrique : $ν_{i} < 0$ pour un réactif (consommé), $ν_{i} > 0$ pour un produit (formé).

Exemple 1.4Combustion du méthane

La combustion complète du méthane s'écrit

$CH X_{4} (g) + 2 O X_{2} (g) CO X_{2} (g) + 2 H X_{2} O (g) .$

Les nombres stœchiométriques algébriques sont $ν_{CH X_{4}} = - 1$ , $ν_{O X_{2}} = - 2$ , $ν_{CO X_{2}} = + 1$ , $ν_{H X_{2} O} = + 2$ . Chaque élément ( $C$ , $H$ , $O$ ) est conservé.

Méthode : Équilibrer une équation

Écrire réactifs et produits avec leurs formules brutes et leur état physique.
Ajuster les coefficients pour conserver chaque élément chimique.
Vérifier la conservation de la charge (indispensable en solution).

1.2 Avancement d'une réaction

1.2.1 Définition et tableau d'avancement

Au fur et à mesure de la transformation, les quantités de matière varient, mais pas n'importe comment : elles restent liées par la stœchiométrie. Une seule variable, l'avancement, suffit à décrire toute la composition.

Définition 1.5Avancement de réaction

L'avancement $ξ$ (en $mol$ ) est la variable, croissante dans le sens direct, telle que la quantité de chaque espèce s'écrive

$n_{i} (ξ) = n_{i}^{0} + ν_{i} ξ,$

où $n_{i}^{0}$ est la quantité initiale. De façon équivalente, $d n_{i} = ν_{i} d ξ$ , c'est-à-dire

$\frac{n _{i} - n _{i}^{0}}{ν _{i}} = ξ (identique pour toutes les esp e ˋ ces).$

Méthode : Tableau d'avancement

On dresse un tableau à trois lignes (état initial, état en cours, état final) et une colonne par espèce :

	$a A$	$+$ $b B$	$⇌$ $c C$	$+$ $d D$
état initial	$n_{A}^{0}$	$n_{B}^{0}$	$n_{C}^{0}$	$n_{D}^{0}$
en cours	$n_{A}^{0} - a ξ$	$n_{B}^{0} - b ξ$	$n_{C}^{0} + c ξ$	$n_{D}^{0} + d ξ$
état final	$n_{A}^{0} - a ξ_{f}$	$n_{B}^{0} - b ξ_{f}$	$n_{C}^{0} + c ξ_{f}$	$n_{D}^{0} + d ξ_{f}$

La composition finale ne dépend que de la valeur $ξ_{f}$ atteinte, à déterminer.

Exemple 1.6Estérification

On mélange $1 mol$ d'acide éthanoïque et $1 mol$ d'éthanol :

$CH X_{3} COOH + C X_{2} H X_{5} OH CH X_{3} COOC X_{2} H X_{5} + H X_{2} O .$

	$CH X_{3} COOH$	$C X_{2} H X_{5} OH$	$CH X_{3} COOC X_{2} H X_{5}$	$H X_{2} O$
initial	$1$	$1$	$0$	$0$
final	$1 - ξ_{f}$	$1 - ξ_{f}$	$ξ_{f}$	$ξ_{f}$

Toute la composition est décrite par le seul paramètre $ξ_{f}$ .

1.2.2 Avancement maximal et taux d'avancement

Définition 1.7Avancement maximal

L'avancement maximal $ξ_{m a x}$ est la plus grande valeur de $ξ$ compatible avec des quantités de matière positives ou nulles : il correspond à l'épuisement du réactif limitant. On le calcule en cherchant, pour chaque réactif, $ξ_{lim, i} = n_{i}^{0} / ∣ ν_{i} ∣$ , puis

$ξ_{m a x} = i min \frac{n _{i}^{0}}{∣ ν _{i} ∣} .$

Définition 1.8Taux d'avancement

Le taux d'avancement final (ou taux de conversion) est le nombre sans dimension

$τ = \frac{ξ _{f}}{ξ _{m a x}} \in [0, 1] .$

Il mesure la fraction du chemin réactionnel effectivement parcourue.

ImportantTrois régimes possibles

$τ = 1$ ( $ξ_{f} = ξ_{m a x}$ ) : la transformation est totale, le réactif limitant a disparu. Pour une réaction qui a une constante d'équilibre, cela n'arrive que si une phase condensée pure disparaît (rupture d'équilibre, voir plus loin) : sinon il reste toujours un peu de chaque réactif.
$τ \approx 1$ : la transformation est quasi totale ; c'est un équilibre, mais le reste du réactif limitant est négligeable.
$0 < τ < 1$ : la transformation aboutit à un équilibre chimique, où réactifs et produits coexistent en quantités comparables.
$τ \approx 0$ : la transformation est très limitée, le système n'évolue quasiment pas.

Exemple 1.9Réactif limitant

On fait réagir $3 mol$ de $H X_{2}$ et $2 mol$ de $O X_{2}$ selon $2 H X_{2} (g) + O X_{2} (g) 2 H X_{2} O (g)$ . On a $ξ_{lim} (H X_{2}) = 3/2 = 1, 5$ et $ξ_{lim} (O X_{2}) = 2/1 = 2$ . Donc $ξ_{m a x} = 1, 5 mol$ : le dihydrogène est limitant, et il reste $2 - 1, 5 = 0, 5 mol$ de $O X_{2}$ lorsque la réaction (totale) est achevée.

1.3 Activité d'une espèce chimique

Pour quantifier l'état d'un système, on associe à chaque espèce un nombre sans dimension, son activité, qui traduit sa « présence effective » dans le milieu, comparée à un état de référence appelé état standard.

Définition 1.10Activité

L'activité $a_{i}$ d'une espèce est une grandeur sans dimension définie selon sa nature :

gaz assimilé à un gaz parfait : $a_{i} = \frac{p _{i}}{p ^{\circ}}$ , où $p_{i}$ est la pression partielle et $p^{\circ} = 1 bar$ la pression standard ;
soluté en solution diluée : $a_{i} = \frac{c _{i}}{c ^{\circ}}$ , où $c_{i}$ est la concentration et $c^{\circ} = 1 mol / L$ la concentration standard ;
solide ou liquide seul dans sa phase (corps pur condensé) : $a_{i} = 1$ ;
solvant d'une solution diluée (l'eau le plus souvent) : $a_{i} ≃ 1$ .

iRemarqueL'activité d'un gaz en MPI

Le programme de MPI ne définit l'activité que pour une espèce pure en phase condensée et pour un soluté très dilué. L'activité d'un gaz, $p_{i} / p^{\circ}$ , est employée ici comme un outil du cours, au-delà de la lettre du programme : elle est indispensable pour décrire l'électrode standard à hydrogène ( $p_{H X_{2}} = p^{\circ}$ ) et les systèmes hétérogènes où un gaz intervient, comme la décomposition du calcaire.

ImportantPièges sur l'activité

L'activité d'un solide pur vaut $1$ quelle que soit la quantité présente : elle n'apparaît donc pas dans le quotient de réaction. Un métal plongé dans une solution de ses ions, ou le calcaire en équilibre avec le dioxyde de carbone, en sont les meilleurs exemples. Mais elle n'est définie que si le solide est présent : s'il disparaît, l'équilibre est rompu.
L'eau, solvant, a une activité $≃ 1$ dans les réactions en solution aqueuse diluée : elle n'intervient pas dans $Q$ . En revanche, l'eau réactif en phase gazeuse ( $H X_{2} O (g)$ ) a pour activité $p / p^{\circ}$ .
Pour l'estérification en phase liquide sans solvant, aucune espèce n'est « solvant » : on utilise alors les activités exprimées avec les fractions molaires ou, en pratique au niveau visé, directement les quantités de matière (voir plus loin).

Exemple 1.11Attribuer les activités

Pour la réaction $Zn (s) + Cu X^{2 +} (aq) Zn X^{2 +} (aq) + Cu (s)$ :

$a_{Zn} = a_{Cu} = 1 (solides purs), a_{Cu X^{2 +}} = \frac{[ Cu X ^{2 +} ]}{c ^{\circ}}, a_{Zn X^{2 +}} = \frac{[ Zn X ^{2 +} ]}{c ^{\circ}} .$

1.4 Quotient de réaction

Définition 1.12Quotient de réaction

Le quotient de réaction $Q$ associé à l'équation $\sum_{i} ν_{i} B_{i} = 0$ est le produit des activités élevées à leur nombre stœchiométrique algébrique :

$Q = i \prod a_{i}^{ν_{i}} soit, pour a A + b B c C + d D, Q = \frac{a _{C}^{c} a _{D}^{d}}{a _{A}^{a} a _{B}^{b}} .$

$Q$ est un nombre sans dimension, qui dépend de la composition instantanée du système et varie donc au cours de la réaction.

Méthode : Écrire un quotient de réaction

Écrire les produits au numérateur, les réactifs au dénominateur.
Élever chaque activité à sa valeur stœchiométrique (en valeur absolue).
Remplacer chaque activité par sa forme : $p_{i} / p^{\circ}$ (gaz), $c_{i} / c^{\circ}$ (soluté), $1$ (solide, liquide pur, solvant).

Exemple 1.13Quotients de réaction variés

Phase gazeuse, $N X_{2} (g) + 3 H X_{2} (g) 2 NH X_{3} (g)$ :

$Q = \frac{( p _{NH X_{3}} / p ^{\circ} ) ^{2}}{( p _{N X_{2}} / p ^{\circ} ) ( p _{H X_{2}} / p ^{\circ} ) ^{3}} .$

Solution, dissociation d'un acide faible $HA (aq) + H X_{2} O (l) A X^{-} (aq) + H X_{3} O X^{+} (aq)$ :

$Q = \frac{([ A X ^{-} ] / c ^{\circ} ) ([ H X _{3} O X ^{+} ] / c ^{\circ} )}{[ HA ] / c ^{\circ}} (a_{H X_{2} O} = 1) .$

Équilibre hétérogène, $CaCO X_{3} (s) CaO (s) + CO X_{2} (g)$ :

$Q = \frac{p _{CO X_{2}}}{p ^{\circ}} (a_{CaCO X_{3}} = a_{CaO} = 1) .$

iRemarque

Dans les expressions, on omet souvent $p^{\circ}$ et $c^{\circ}$ par commodité, en convenant d'exprimer les pressions en bar et les concentrations en $mol / L$ . Il faut alors se souvenir que $Q$ reste sans dimension.

1.5 Constante d'équilibre et critère d'évolution

1.5.1 La constante d'équilibre

L'expérience montre qu'un système fermé, laissé à lui-même à température constante, évolue toujours vers un même état final, indépendant du chemin suivi. À cet état, le quotient de réaction prend une valeur particulière, caractéristique de la réaction et de la température.

Définition 1.14Constante thermodynamique d'équilibre

La constante d'équilibre $K^{\circ} (T)$ est la valeur, sans dimension, que prend le quotient de réaction $Q$ lorsque le système est à l'équilibre chimique :

$Q_{e ˊ q} = K^{\circ} (T) .$

$K^{\circ}$ ne dépend que de la réaction considérée et de la température $T$ (pas de la composition initiale, ni de la pression, ni de la présence d'autres espèces inertes).

Important

Q

K^{\circ}

: deux objets différents

$Q$ décrit l'état instantané du système : il varie au cours de l'évolution.
$K^{\circ}$ est un nombre fixé une fois la température choisie : c'est une donnée de la réaction.

L'équilibre est atteint quand, et seulement quand, $Q$ rejoint $K^{\circ}$ .

iRemarqueOrdres de grandeur

Pour une réaction à deux réactifs et deux produits introduits en proportions stœchiométriques, une valeur $K^{\circ} ≳ 1 0^{4}$ traduit une réaction quasi totale (il reste moins de $1 %$ des réactifs), $K^{\circ} ≲ 1 0^{- 4}$ une réaction très limitée, une valeur intermédiaire un véritable équilibre. Ce seuil n'est pas universel : il dépend des nombres stœchiométriques et des concentrations (une dissociation avance d'autant plus que la solution est diluée), et un réactif en excès l'abaisse. Dans tous les cas, c'est le calcul du reste, à l'aide de $K^{\circ}$ , qui tranche.

1.5.2 Critère d'évolution spontanée

◆Théorème 1.15Critère d'évolution

Un système hors équilibre évolue spontanément dans le sens qui rapproche $Q$ de $K^{\circ}$ :

$Q < K^{\circ} Q > K^{\circ} Q = K^{\circ} ⟹ e ˊ volution dans le sens direct (ξ ↗), ⟹ e ˊ volution dans le sens indirect (ξ ↘), ⟹ syst e ˋ me a ˋ l’ e ˊ quilibre, pas d’ e ˊ volution.$

Méthode : Prévoir le sens d'évolution

Recenser la composition initiale et calculer $Q_{i}$ dans l'état initial.
Comparer $Q_{i}$ à $K^{\circ}$ .
Conclure : si $Q_{i} < K^{\circ}$ , la réaction avance (formation de produits) ; si $Q_{i} > K^{\circ}$ , elle recule (formation de réactifs) ; si $Q_{i} = K^{\circ}$ , le système est déjà à l'équilibre.

Attention

Le critère indique le sens d'évolution, pas sa vitesse. Une réaction peut être thermodynamiquement favorable ( $Q ≪ K^{\circ}$ ) tout en étant cinétiquement très lente : la thermodynamique décrit l'état final, la cinétique le temps pour l'atteindre. Les deux aspects sont indépendants.

1.5.3 Déterminer l'état final

Méthode : Déterminer la composition finale

Établir le tableau d'avancement en fonction de $ξ_{f}$ et calculer $ξ_{m a x}$ .
Comparer $Q_{i}$ à $K^{\circ}$ pour connaître le sens d'évolution.
Système homogène (tous les réactifs et produits dans des phases de composition variable) : $Q (ξ)$ croît vers $+ \infty$ quand $ξ$ tend vers $ξ_{m a x}$ , puisque l'activité du réactif limitant tend vers $0$ . L'équation $Q (ξ_{f}) = K^{\circ}$ a donc toujours une racine et une seule dans l'intervalle permis : l'état final est un équilibre. Une racine hors de l'intervalle (par exemple $ξ_{f} ⩾ ξ_{m a x}$ ) est une racine parasite, à écarter.
Si $K^{\circ}$ est très grand : faire l'hypothèse d'une réaction quasi totale, $ξ_{f} \approx ξ_{m a x}$ , puis calculer le reste du réactif limitant à l'aide de $K^{\circ}$ et vérifier qu'il est négligeable. Si $K^{\circ}$ est très petit, hypothèse inverse (réaction très limitée), vérifiée de même. Si aucune hypothèse ne tient, résoudre $Q (ξ_{f}) = K^{\circ}$ .
Si une phase condensée pure peut disparaître (solide qui se décompose ou se dissout) : $Q$ ne contient pas son activité et reste borné ; si $Q$ n'atteint pas $K^{\circ}$ avant que le solide soit épuisé, la transformation est totale avec $Q \neq = K^{\circ}$ : c'est une rupture d'équilibre.
En déduire les quantités, concentrations ou pressions finales de chaque espèce.

{ Pour $H X_{2} (g) + I X_{2} (g) 2 HI (g)$ , à partir d'une mole de chaque réactif, $Q (ξ) = 4 ξ^{2} / (1 - ξ)^{2}$ croît de $0$ à $+ \infty$ sur $[0; 1 [$ : il rencontre $K^{\circ} = 49$ une fois et une seule, en $ξ_{f} = 7/9 \approx 0, 78$ . La transformation n'est jamais totale ; avec $K^{\circ} = 1 0^{6}$ , elle serait quasi totale ( $ξ_{f} = 0, 998$ ).}

Exemple 1.16Équilibre en phase gazeuse

On introduit $1 mol$ de $PCl X_{5}$ dans un réacteur maintenu à pression totale $p = p^{\circ}$ et à la température où $K^{\circ} = 4$ pour $PCl X_{5} (g) PCl X_{3} (g) + Cl X_{2} (g)$ . Déterminer le taux de dissociation.

Démonstration (Solution)

Tableau d'avancement (avancement noté $ξ$ , en mol) : $n_{PCl X_{5}} = 1 - ξ$ , $n_{PCl X_{3}} = n_{Cl X_{2}} = ξ$ , $n_{tot} = 1 + ξ$ . Les fractions molaires donnent les pressions partielles $p_{i} = x_{i} p$ . Comme $p = p^{\circ}$ :

$Q = \frac{( p _{PCl X_{3}} / p ^{\circ} ) ( p _{Cl X_{2}} / p ^{\circ} )}{p _{PCl X_{5}} / p ^{\circ}} = \frac{x _{PCl X_{3}} x _{Cl X_{2}}}{x _{PCl X_{5}}} \cdot \frac{p}{p ^{\circ}} = \frac{ξ ^{2}}{( 1 - ξ ) ( 1 + ξ )} = \frac{ξ ^{2}}{1 - ξ ^{2}} .$

À l'équilibre $Q = K^{\circ} = 4$ , d'où $ξ^{2} = 4 (1 - ξ^{2})$ , soit $5 ξ^{2} = 4$ et $ξ_{f} = 0, 8 \approx 0, 89 mol$ . Comme $ξ_{m a x} = 1 mol$ , on a $τ = ξ_{f} / ξ_{m a x} \approx 0, 89 < 1$ : équilibre chimique, la dissociation atteint $89 %$ sans être totale.

Illustration numérique : composition finale par comparaison de Q et K°

Le programme de MPI ne comporte pas de capacité numérique en chimie : ce script est une illustration. On considère $H X_{2} (g) + I X_{2} (g) 2 HI (g)$ avec $K^{\circ} = 49$ à la température de travail. Partant de $n_{0}$ moles de $H X_{2}$ et $n_{0}$ moles de $I X_{2}$ (volume $V$ fixé), le tableau d'avancement donne $Q (ξ) = \frac{( 2 ξ ) ^{2}}{( n _{0} - ξ ) ^{2}}$ . Le programme résout $Q (ξ_{f}) = K^{\circ}$ et affiche la composition finale ainsi que le taux d'avancement.


import numpy as np

K = 49.0          # constante d'equilibre (sans dimension)
n0 = 2.0          # moles initiales de H2 et de I2

# Q(xi) = (2 xi)^2 / (n0 - xi)^2 = K  ->  2 xi / (n0 - xi) = sqrt(K)
r = np.sqrt(K)                       # racine positive
xi = r * n0 / (2.0 + r)              # solution de 2 xi = r (n0 - xi)

n_H2 = n0 - xi
n_I2 = n0 - xi
n_HI = 2.0 * xi
xi_max = n0                          # H2 (ou I2) limitant

print(f"avancement final xi_f = {xi:.3f} mol")
print(f"taux d'avancement tau = {xi / xi_max:.3f}")
print(f"n(H2) = n(I2) = {n_H2:.3f} mol,  n(HI) = {n_HI:.3f} mol")

# verification : Q recalcule doit redonner K
Q = (2 * xi)**2 / (n0 - xi)**2
print(f"Q(xi_f) = {Q:.2f}  (doit valoir K = {K})")

Résultat obtenu en l'exécutant : $ξ_{f} \approx 1, 556 mol$ , soit $τ \approx 0, 78$ : les trois espèces coexistent, c'est bien un équilibre chimique (transformation non totale).

1.6 Effet de la composition initiale

Puisque $K^{\circ}$ ne dépend que de la température, on peut agir sur l'état final en choisissant la composition initiale : c'est le principe de nombreuses stratégies de synthèse (augmenter le rendement) ou d'analyse.

Proposition 1.17Excès d'un réactif

Introduire un réactif en excès déplace l'équilibre dans le sens de la consommation de l'autre réactif : le taux de conversion du réactif limitant augmente. On « force » ainsi une réaction équilibrée à produire davantage.

Exemple 1.18Améliorer un rendement d'estérification

Pour $CH X_{3} COOH + C X_{2} H X_{5} OH CH X_{3} COOC X_{2} H X_{5} + H X_{2} O$ , on admet $K^{\circ} \approx 4$ (on admet qu'elle varie peu avec la température) et, en phase liquide, $Q = \frac{n _{ester} n _{eau}}{n _{acide} n _{alcool}}$ (les volumes se simplifient, tous les termes étant dans la même phase).

Mélange équimolaire $1 : 1$ : à l'équilibre $\frac{ξ _{f}^{2}}{( 1 - ξ _{f} ) ^{2}} = 4$ , d'où $\frac{ξ _{f}}{1 - ξ _{f}} = 2$ et $ξ_{f} = 2/3 \approx 0, 67$ : rendement de $67 %$ .
Alcool en excès ( $1 mol$ acide, $4 mol$ alcool) : on résout $\frac{ξ _{f}^{2}}{( 1 - ξ _{f} ) ( 4 - ξ _{f} )} = 4$ , soit $3 ξ_{f}^{2} - 20 ξ_{f} + 16 = 0$ ; on trouve $ξ_{f} \approx 0, 93$ : le rendement en acide converti passe à $93 %$ .

Déplacer un réactif en excès, ou éliminer un produit (distiller l'eau ou l'ester), sont les deux leviers pour augmenter le rendement d'une réaction équilibrée.

Exercices du chapitre

L'air, l'eau et le dioxyde de carbone : choisir la bonne grandeur corrigé
Brûler du méthane dans l'air : l'analyseur de fumées corrigé
Le soda qu'on ouvre corrigé
La dissociation du tétraoxyde de diazote suivie au manomètre corrigé
La décomposition du calcaire : rupture d'équilibre corrigé
Pourquoi l'état final est unique, et comment le calculer corrigé

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