Puissance électrique en régime sinusoïdal

Cours complet · conversion de puissance (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année)

« Transporter l'énergie électrique sur des centaines de kilomètres impose de maîtriser non pas seulement la puissance réellement consommée, mais aussi celle qui, sans jamais rien produire, échauffe pourtant les lignes. »

Le régime sinusoïdal forcé (RSF) est le mode d'alimentation universel des réseaux de distribution : la tension du secteur français est sinusoïdale, de valeur efficace $230 V$ et de fréquence $50 Hz$ . Comprendre comment la puissance circule entre une source et une charge dans ce régime est la clé de toute la conversion d'énergie : dimensionnement des câbles, choix des transformateurs, tarification industrielle et rendement du transport. Ce chapitre pose les définitions fondamentales — puissance instantanée, puissance moyenne (active), puissance apparente et facteur de puissance — puis les exploite dans deux problèmes centraux : le calcul de la puissance moyenne absorbée par une impédance et le relèvement du facteur de puissance, geste d'ingénieur qui réduit les pertes en ligne.

iRemarque

La notion de puissance réactive est hors programme en PSI. On raisonne ici exclusivement sur la puissance moyenne (active), le facteur de puissance $cos φ$ et la représentation de Fresnel des tensions et des courants.

1.1 Puissance instantanée

1.1.1 Convention et définition

On considère un dipôle électrique traversé, en convention récepteur, par un courant $i (t)$ et soumis à une tension $u (t)$ . La puissance électrique reçue par ce dipôle à l'instant $t$ est le produit de ces deux grandeurs.

Définition 1.1Puissance instantanée

En convention récepteur, la puissance instantanée reçue par un dipôle soumis à la tension $u (t)$ et parcouru par le courant $i (t)$ vaut

$p (t) = u (t) i (t) .$

Elle s'exprime en watts ( $W$ ). Si $p (t) > 0$ , le dipôle reçoit effectivement de l'énergie ; si $p (t) < 0$ , il en restitue au reste du circuit.

L'énergie reçue entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ s'obtient par intégration :

$W = \int_{t_{1}}^{t_{2}} p (t) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} u (t) i (t) d t .$

iRemarque

La puissance instantanée est une grandeur réelle et temporelle : elle n'a rien de sinusoïdal simple, même quand $u$ et $i$ le sont. C'est pourquoi on lui préfère très vite, en RSF, sa valeur moyenne.

1.1.2 Expression en régime sinusoïdal

Plaçons-nous en régime sinusoïdal forcé de pulsation $ω = 2 π f$ . On écrit la tension et le courant sous la forme

$u (t) = U_{m} cos (ω t), i (t) = I_{m} cos (ω t - φ),$

où $U_{m}$ et $I_{m}$ sont les amplitudes, et $φ$ le déphasage de la tension par rapport au courant (c'est-à-dire l'avance de phase de $u$ sur $i$ ). La puissance instantanée s'écrit alors

$p (t) = U_{m} I_{m} cos (ω t) cos (ω t - φ) .$

En linéarisant le produit de cosinus à l'aide de $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ , on obtient une décomposition riche d'enseignements :

$p (t) = terme constant \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos φ + terme oscillant a ˋ 2 ω \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos (2 ω t - φ)$

Important

La puissance instantanée en RSF est la somme d'un terme constant — qui fixe la puissance moyenne réellement transférée — et d'un terme oscillant à la pulsation double $2 ω$ , de valeur moyenne nulle. Le réseau français ( $f = 50 Hz$ ) voit donc la puissance instantanée « battre » à $100 Hz$ .

1.2 Valeurs efficaces

1.2.1 Définition

Le terme constant de $p (t)$ fait intervenir les amplitudes. Pour relier la puissance aux grandeurs mesurées par les appareils (voltmètres et ampèremètres « RMS »), on introduit les valeurs efficaces.

Définition 1.2Valeur efficace

La valeur efficace d'un signal périodique $x (t)$ de période $T$ est la racine carrée de la moyenne de son carré :

$X = ⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t .$

Pour un signal sinusoïdal d'amplitude $X_{m}$ , on a la relation fondamentale

$X = \frac{X _{m}}{2} .$

Ainsi $U = U_{m} / 2$ et $I = I_{m} / 2$ . La tension du secteur, de valeur efficace $U = 230 V$ , a une amplitude $U_{m} = 2302 \approx 325 V$ .

iRemarque

Le nom « efficace » vient de l'effet Joule : un courant sinusoïdal de valeur efficace $I$ dissipe dans une résistance $R$ la même puissance moyenne $R I^{2}$ qu'un courant continu d'intensité $I$ . La valeur efficace est donc la valeur continue « équivalente en échauffement ».

1.3 Puissance moyenne (active)

1.3.1 Définition et expression

Sur une période, le terme oscillant à $2 ω$ a une moyenne nulle. Il ne reste donc, en moyenne, que le terme constant.

Définition 1.3Puissance active

La puissance active (ou puissance moyenne) $P$ est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période :

$P = ⟨ p (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t .$

En régime sinusoïdal, avec les valeurs efficaces $U$ et $I$ et le déphasage $φ$ de $u$ sur $i$ :

$P = U I cos φ$

Elle se mesure en watts ( $W$ ).

Démonstration (Établissement de

P = U I cos φ

)

La moyenne du terme constant $\frac{U _{m} I _{m}}{2} cos φ$ est lui-même ; celle du terme $\frac{U _{m} I _{m}}{2} cos (2 ω t - φ)$ est nulle car c'est un cosinus de moyenne nulle sur sa période $T /2$ . Donc

$P = \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos φ = \frac{U _{m}}{2} \frac{I _{m}}{2} cos φ = U I cos φ . □$

Important

La puissance active est la seule puissance réellement convertie par la charge (en chaleur, en travail mécanique, en énergie chimique…). C'est elle que compte le compteur d'énergie ( $kWh$ ) et qu'un usager paie.

1.3.2 Cas particuliers

Charge résistive pure ( $φ = 0$ ) : $P = U I$ ; toute la puissance apparente est active. C'est le cas d'un radiateur, d'une lampe à incandescence.
Charge inductive ou capacitive pure ( $φ = \pm π /2$ ) : $cos φ = 0$ donc $P = 0$ . Une bobine idéale ou un condensateur idéal ne consomment aucune puissance active en moyenne : ils stockent puis restituent l'énergie.
Charge quelconque : $0 < ∣ φ ∣ < π /2$ , la puissance active est comprise strictement entre $0$ et $U I$ .

1.4 Puissance apparente et facteur de puissance

Le terme oscillant de $p (t)$ traduit un va-et-vient d'énergie entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) de la charge. Bien que de moyenne nulle, ce flux « pendulaire » n'est pas sans conséquence : il impose au réseau de véhiculer un courant plus grand que celui qui suffirait à transporter la seule puissance active. On mesure cet effet par le facteur de puissance.

1.4.1 Puissance apparente

Définition 1.4Puissance apparente

Pour un dipôle en RSF de tension efficace $U$ et de courant efficace $I$ , la puissance apparente est le produit

$S = U I,$

exprimé en volt-ampères ( $VA$ ) pour la distinguer de la puissance active (en watts). C'est la grandeur qui fixe le courant de ligne $I = S / U$ et donc le dimensionnement des câbles et des transformateurs.

Attention

Ne pas confondre puissance active $P = U I cos φ$ (en $W$ , réellement consommée) et puissance apparente $S = U I$ (en $VA$ ). On a toujours $P \leq S$ , l'égalité n'ayant lieu que pour une charge résistive ( $φ = 0$ ). Un câble ou un transformateur se dimensionne sur $S$ (donc sur $I = S / U$ ), pas sur $P$ .

1.4.2 Facteur de puissance

Définition 1.5Facteur de puissance

Le facteur de puissance d'un dipôle est le rapport de la puissance active à la puissance apparente :

$k = \frac{P}{S} = \frac{P}{U I} .$

En régime sinusoïdal (sans harmoniques), il vaut simplement

$k = cos φ \in [0, 1] .$

Important

Le facteur de puissance mesure l'efficacité avec laquelle un courant est converti en puissance utile. À puissance active $P$ fixée, plus $cos φ$ est faible, plus le courant appelé $I = P / (U cos φ)$ est grand : le réseau doit transporter davantage de courant pour la même puissance utile, d'où des pertes en ligne accrues. C'est le point de départ économique de tout ce chapitre.

1.5 Puissance moyenne absorbée par une impédance

En pratique, une charge est caractérisée par son impédance complexe $Z = R + j X$ (ou son admittance $Y = 1/ Z = G + j B$ ). On exprime alors la puissance active directement à partir de ces grandeurs, sans repasser par le déphasage.

1.5.1 Expression en fonction de l'impédance

Proposition 1.6Puissance active et impédance

Un dipôle d'impédance $Z = R + j X$ parcouru par un courant efficace $I$ absorbe la puissance moyenne

$P = ℜ (Z) I^{2} = R I^{2} .$

Seule la partie résistive $R = ℜ (Z)$ dissipe de l'énergie : c'est l'effet Joule.

Démonstration

Sous tension efficace $U = ∣ Z ∣ I$ , le déphasage $φ$ de $u$ sur $i$ est l'argument de $Z$ , donc $cos φ = R / ∣ Z ∣$ . Alors

$P = U I cos φ = ∣ Z ∣ I \cdot I \cdot \frac{R}{∣ Z ∣} = R I^{2} . □$

1.5.2 Expression en fonction de l'admittance

Proposition 1.7Puissance active et admittance

Un dipôle d'admittance $Y = G + j B$ soumis à une tension efficace $U$ absorbe la puissance moyenne

$P = ℜ (Y) U^{2} = G U^{2} .$

Démonstration

Le courant efficace vaut $I = ∣ Y ∣ U$ . Comme $Y = 1/ Z$ , on a $G = ℜ (Y) = R / ∣ Z ∣^{2}$ et $∣ Y ∣ = 1/ ∣ Z ∣$ , d'où $cos φ = R / ∣ Z ∣ = G / ∣ Y ∣$ . Ainsi

$P = U I cos φ = U \cdot ∣ Y ∣ U \cdot \frac{G}{∣ Y ∣} = G U^{2} . □$

iRemarque

La forme $P = ℜ (Z) I^{2}$ est commode pour un groupement série (même courant), la forme $P = ℜ (Y) U^{2}$ pour un groupement parallèle (même tension) : on choisit celle qui met en jeu la grandeur commune aux dipôles.

1.5.3 Dipôle purement réactif

Proposition 1.8Un dipôle purement réactif n'absorbe aucune puissance moyenne

Une bobine idéale ( $Z = j L ω$ ) et un condensateur idéal ( $Z = 1/ (j C ω)$ ) ont une partie résistive nulle : $ℜ (Z) = 0$ . Donc

$P = ℜ (Z) I^{2} = 0.$

Un tel dipôle stocke périodiquement de l'énergie (magnétique dans la bobine, électrique dans le condensateur) puis la restitue intégralement au circuit : sa puissance moyenne est nulle. Ceci retrouve le cas $φ = \pm π /2$ pour lequel $cos φ = 0$ .

1.5.4 Représentation de Fresnel des tensions et des courants

Le facteur de puissance se lit directement sur le diagramme de Fresnel des amplitudes complexes de la tension et du courant, où $φ$ est l'angle entre les deux vecteurs. Pour une charge inductive ( $φ > 0$ ), le courant est en retard sur la tension ; pour une charge capacitive ( $φ < 0$ ), il est en avance.

La projection du courant sur la direction de la tension, $I cos φ$ , est la composante active du courant : c'est elle qui transporte la puissance $P = U I cos φ$ . La composante en quadrature $I sin φ$ ne transporte, en moyenne, aucune puissance ; améliorer le facteur de puissance revient précisément à réduire cette composante en quadrature.

1.6 Transport de l'énergie et pertes en ligne

1.6.1 Enjeu

Une installation est alimentée sous une tension efficace $U$ (imposée par le réseau) et consomme une puissance active $P$ sous un facteur de puissance $cos φ$ . Le courant qu'elle appelle vaut

$I = \frac{P}{U cos φ} .$

La ligne d'alimentation, de résistance totale $R_{ℓ}$ , dissipe par effet Joule une puissance perdue

$P_{pertes} = R_{ℓ} I^{2} = R_{ℓ} (\frac{P}{U cos φ})^{2} = \frac{R _{ℓ} P ^{2}}{U ^{2} cos ^{2} φ} .$

Important

Les pertes en ligne varient comme $1/ cos^{2} φ$ : diviser $cos φ$ par deux quadruple les pertes. À puissance utile et tension fixées, améliorer le facteur de puissance est le levier direct pour réduire les pertes de transport (et c'est pourquoi le transport se fait aussi à très haute tension : $P_{pertes} \propto 1/ U^{2}$ ).

1.6.2 Relèvement du facteur de puissance

Les charges industrielles (moteurs asynchrones, transformateurs) sont massivement inductives : $φ > 0$ , $cos φ$ souvent médiocre ( $0, 7$ à $0, 8$ ). Le distributeur pénalise financièrement un facteur de puissance trop faible. La parade consiste à brancher en parallèle de la charge une batterie de condensateurs : sous la même tension $U$ , un condensateur idéal appelle un courant $I_{C}$ en avance de $π /2$ sur $U$ , qui compense en partie la composante en retard du courant de la charge, sans consommer de puissance active.

On raisonne sur le diagramme de Fresnel des courants, tous pris sous la même tension $U$ (portée par l'axe réel). Le courant de la charge $I$ (en retard, angle $φ$ ) se décompose en une composante active $I cos φ = P / U$ (portée par $U$ ) et une composante en quadrature $I sin φ$ (vers le bas). Le courant du condensateur $I_{C} = C ω U$ (vers le haut) réduit cette composante en quadrature ; le courant de ligne résultant $I^{'}$ fait un angle $φ^{'} < φ$ avec $U$ .

Le condensateur « remonte » l'extrémité du vecteur courant : la composante en quadrature diminue, le module du courant de ligne $I^{'}$ (et donc les pertes) diminue, tandis que la composante active $P / U$ — donc la puissance utile $P$ — reste inchangée.

Méthode : Calcul de la capacité de relèvement

On veut relever le facteur de puissance d'une charge inductive de $cos φ$ à $cos φ^{'}$ (avec $φ^{'} < φ$ ), sous tension efficace $U$ et pulsation $ω$ , à puissance active $P$ constante.

Composante active du courant (inchangée) : $I_{a} = I cos φ = P / U$ .
Composante en quadrature de la charge : $I_{q} = I sin φ = (P / U) tan φ$ .
Le condensateur, sous tension $U$ , appelle un courant $I_{C} = C ω U$ en avance de $π /2$ : il retranche $I_{C}$ à la composante en quadrature. Après compensation, $I_{q}^{'} = (P / U) tan φ^{'} = I_{q} - I_{C}$ , d'où $C ω U = \frac{P}{U} (tan φ - tan φ^{'})$ .
On en tire directement :

$C = \frac{P ( tan φ - tan φ ^{'} )}{ω U ^{2}}$

iRemarque

Le courant appelé par le condensateur se retrouve en écrivant son impédance $Z_{C} = 1/ (j C ω) = - j / (C ω)$ , de module $∣ Z_{C} ∣ = 1/ (C ω)$ : sous tension efficace $U$ , $I_{C} = U / ∣ Z_{C} ∣ = C ω U$ , en avance de $π /2$ sur $U$ (le courant est en quadrature avance sur la tension aux bornes d'un condensateur).

Attention

On relève rarement jusqu'à $cos φ^{'} = 1$ exactement : la capacité nécessaire y devient grande et coûteuse, et une surcompensation rendrait l'installation capacitive ( $φ^{'} < 0$ ), ce qui est également pénalisé et peut provoquer des surtensions. On vise en pratique $cos φ^{'} \approx 0, 93$ à $0, 95$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.9Puissance d'une charge RL série

Un dipôle $R L$ série, avec $R = 30 Ω$ et $L = 0, 1 H$ , est alimenté sous $U = 230 V$ efficaces à $f = 50 Hz$ . Déterminer $I$ , $φ$ , $cos φ$ , $P$ et $S$ .

Démonstration

La réactance vaut $X = L ω = 0, 1 \times 2 π \times 50 \approx 31, 4 Ω$ . Le module de l'impédance : $∣ Z ∣ = R^{2} + X^{2} = 3 0^{2} + 31, 4^{2} \approx 43, 4 Ω$ . Donc

$I = \frac{U}{∣ Z ∣} = \frac{230}{43 , 4} \approx 5, 3 A .$

Le déphasage : $φ = arctan (X / R) = arctan (31, 4/30) \approx 46, 3^{\circ}$ , d'où $cos φ \approx 0, 69$ . Les puissances :

$P = ℜ (Z) I^{2} = R I^{2} = 30 \times 5, 3^{2} \approx 843 W, S = U I = 230 \times 5, 3 \approx 1219 VA .$

Vérification : $P = U I cos φ = 1219 \times 0, 69 \approx 841 W$ , en accord avec $R I^{2}$ . $□$

Exemple 1.10Relèvement du facteur de puissance d'un moteur

Un moteur monophasé consomme $P = 3 kW$ sous $U = 230 V$ , $f = 50 Hz$ , avec $cos φ = 0, 70$ (inductif). Calculer le courant de ligne avant relèvement, puis la capacité à placer en parallèle pour porter le facteur de puissance à $cos φ^{'} = 0, 95$ , et le nouveau courant de ligne.

Démonstration

Avant. $I = P / (U cos φ) = 3000/ (230 \times 0, 70) \approx 18, 6 A$ . Le déphasage initial : $φ = arccos 0, 70 \approx 45, 6^{\circ}$ , $tan φ \approx 1, 02$ .

Cible. $φ^{'} = arccos 0, 95 \approx 18, 2^{\circ}$ , $tan φ^{'} \approx 0, 329$ .

Capacité.

$C = \frac{P ( tan φ - tan φ ^{'} )}{ω U ^{2}} = \frac{3000 ( 1 , 02 - 0 , 329 )}{2 π \times 50 \times 23 0 ^{2}} \approx \frac{2073}{1 , 66 \times 1 0 ^{7}} \approx 125 μ F .$

Après. La puissance active est inchangée, donc $I^{'} = P / (U cos φ^{'}) = 3000/ (230 \times 0, 95) \approx 13, 7 A$ . Le courant de ligne a chuté de $18, 6$ à $13, 7 A$ (soit $- 26 %$ ) : les pertes Joule en ligne, en $I^{2}$ , diminuent d'environ $46 %$ . $□$

Exemple 1.11Installation à plusieurs charges : composition des courants

Une installation sous $U = 230 V$ comporte, en parallèle : un radiateur $P_{1} = 2 kW$ ( $cos φ_{1} = 1$ ), un groupe de moteurs $P_{2} = 5 kW$ à $cos φ_{2} = 0, 80$ (inductif), et un éclairage fluorescent $P_{3} = 1 kW$ à $cos φ_{3} = 0, 50$ (inductif). Déterminer le courant de ligne et le facteur de puissance global.

Démonstration

Les charges étant en parallèle sous la même tension $U$ , on additionne leurs courants sur le diagramme de Fresnel. Pour chaque charge, courant actif $I_{a, k} = P_{k} / U$ (en phase avec $U$ ) et courant en quadrature $I_{q, k} = (P_{k} / U) tan φ_{k}$ (en retard, inductif). La puissance active totale se conserve, $P_{tot} = 2 + 5 + 1 = 8 kW$ , d'où

$I_{a} = \frac{P _{tot}}{U} = \frac{8000}{230} \approx 34, 8 A .$

Courants en quadrature ( $tan φ_{1} = 0$ , $tan φ_{2} = 0, 75$ , $tan φ_{3} = 1, 732$ ) :

$I_{q} = \frac{1}{U} (P_{1} tan φ_{1} + P_{2} tan φ_{2} + P_{3} tan φ_{3}) = \frac{0 + 3750 + 1732}{230} \approx 23, 8 A .$

Le courant de ligne et le facteur de puissance global valent alors

$I = I_{a}^{2} + I_{q}^{2} = 34, 8^{2} + 23, 8^{2} \approx 42, 2 A, cos φ = \frac{I _{a}}{I} = \frac{34 , 8}{42 , 2} \approx 0, 82. □$

Exemple 1.12Puissance instantanée d'une charge capacitive pure

Une charge purement capacitive est soumise à $u (t) = U_{m} cos (ω t)$ . Montrer que $P = 0$ et interpréter le signe de $p (t)$ .

Démonstration

Pour un condensateur, le courant est en avance de $π /2$ : $φ = - π /2$ . Ainsi $P = U I cos (- π /2) = 0$ . La puissance instantanée se réduit au terme oscillant : $p (t) = \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos (2 ω t + π /2) = - \frac{U _{m} I _{m}}{2} sin (2 ω t)$ . Elle est alternativement positive (le condensateur se charge, il reçoit de l'énergie) et négative (il se décharge, il la restitue), de moyenne nulle : aucune énergie n'est consommée, seulement échangée. $□$

Exemple 1.13Impédance à partir de la puissance et du facteur de puissance

Un dipôle inductif absorbe $P = 800 W$ avec un facteur de puissance $cos φ = 0, 80$ , sous $U = 200 V$ , $f = 50 Hz$ . Déterminer $Z$ sous la forme $R + j X$ , puis les éléments $R$ et $L$ du modèle série.

Démonstration

Puissance apparente $S = P / cos φ = 800/0, 80 = 1000 VA$ , donc $I = S / U = 1000/200 = 5 A$ et $∣ Z ∣ = U / I = 200/5 = 40 Ω$ . Le dipôle étant inductif, $φ > 0$ et $sin φ = 0, 60$ , d'où

$R = ∣ Z ∣ cos φ = 40 \times 0, 80 = 32 Ω, X = ∣ Z ∣ sin φ = 40 \times 0, 60 = 24 Ω.$

On vérifie $P = R I^{2} = 32 \times 25 = 800 W$ . Comme $X = L ω$ , $L = 24/ (2 π \times 50) \approx 76 mH$ . $□$

Exemple 1.14Facteur de puissance et pertes en ligne

Une usine consomme $P = 100 kW$ sous $U = 230 V$ au bout d'une ligne de résistance $R_{ℓ} = 0, 1 Ω$ . Comparer les pertes en ligne pour $cos φ = 0, 6$ et pour $cos φ = 0, 95$ .

Démonstration

Le courant : $I = P / (U cos φ)$ . Pour $cos φ = 0, 6$ : $I_{1} = 100000/ (230 \times 0, 6) \approx 725 A$ , d'où $P_{pertes, 1} = R_{ℓ} I_{1}^{2} = 0, 1 \times 72 5^{2} \approx 52, 6 kW$ (soit plus de la moitié de $P$ !). Pour $cos φ = 0, 95$ : $I_{2} = 100000/ (230 \times 0, 95) \approx 458 A$ , $P_{pertes, 2} = 0, 1 \times 45 8^{2} \approx 21 kW$ . Le rapport $P_{pertes, 1} / P_{pertes, 2} = (0, 95/0, 6)^{2} \approx 2, 5$ : améliorer le facteur de puissance divise les pertes par $2, 5$ . $□$

Exemple 1.15Effet de la tension de transport

On transporte $P = 1 MW$ à $cos φ = 1$ sur une ligne $R_{ℓ} = 1 Ω$ . Comparer les pertes sous $400 V$ et sous $20 kV$ .

Démonstration

Sous $400 V$ : $I = 1 0^{6} /400 = 2500 A$ , pertes $R_{ℓ} I^{2} = 1 \times 250 0^{2} = 6, 25 MW$ : le transport est impossible (pertes $>$ puissance transportée !). Sous $20 kV$ : $I = 1 0^{6} /2, 0 \times 1 0^{4} = 50 A$ , pertes $1 \times 5 0^{2} = 2, 5 kW$ , soit $0, 25 %$ de $P$ . Le rapport des pertes est $(20000/400)^{2} = 2500$ . Puisque $P_{pertes} \propto 1/ U^{2}$ , on transporte l'énergie sous très haute tension puis on abaisse par transformateur près de l'usager. $□$

1.8 Capacité numérique

Capacité numérique : tracé de la puissance instantanée et de sa moyenne

On peut visualiser en Python la décomposition de $p (t)$ et vérifier graphiquement que sa moyenne vaut $P = U I cos φ$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f, phi = 50.0, np.radians(40)      # fréquence, déphasage u/i
U, I = 230.0, 5.0                  # valeurs efficaces
Um, Im = U*np.sqrt(2), I*np.sqrt(2)
w = 2*np.pi*f
t = np.linspace(0, 2/f, 1000)      # deux périodes

u = Um*np.cos(w*t)
i = Im*np.cos(w*t - phi)
p = u*i                            # puissance instantanée
P = U*I*np.cos(phi)                # puissance active (théorie)

print(f"P theorique = {P:.1f} W ; moyenne numerique = {np.mean(p):.1f} W")

plt.plot(t*1e3, p, label="p(t)")
plt.axhline(P, color="red", ls="--", label=f"P = {P:.0f} W")
plt.xlabel("t (ms)"); plt.ylabel("puissance (W)")
plt.legend(); plt.grid(True); plt.show()

La courbe $p (t)$ oscille à $2 f = 100 Hz$ autour de la droite horizontale $P$ , confirmant la décomposition « terme constant + terme à $2 ω$ ».

1.9 Exercices d'entraînement

Valeurs efficaces. La tension du secteur a une valeur efficace de $230 V$ . Quelle est son amplitude ? Quelle valeur efficace faut-il pour un signal en créneau symétrique d'amplitude $U_{m}$ ? (Rép. : $325$ V ; $U_{m}$ .)

Charge résistive. Un radiateur de $1500 W$ fonctionne sous $230 V$ . Calculer son courant, sa résistance, son $cos φ$ et sa puissance apparente.

Charge RC série. $R = 50 Ω$ , $C = 40 μ F$ , sous $230 V$ , $50 Hz$ . Déterminer $I$ , $φ$ (préciser le signe), $cos φ$ , $P$ et $S$ .

Nature d'un dipôle. Pour chacun des dipôles suivants, indiquer si le courant est en avance ou en retard sur la tension (signe de $φ$ ), et la valeur de $cos φ$ : bobine idéale, condensateur idéal, moteur asynchrone, résistance chauffante, ligne électrique (modèle $R L$ ).

Composition des courants. Une installation groupe, en parallèle : $P_{1} = 4 kW$ ( $cos φ_{1} = 0, 9$ ind.), $P_{2} = 6 kW$ ( $cos φ_{2} = 0, 75$ ind.). Sous $230 V$ , calculer $P_{tot}$ , les courants actif et en quadrature, le courant de ligne et le $cos φ$ global.

Relèvement. Reprendre l'installation précédente. Calculer la capacité à placer en parallèle sous $230 V$ , $50 Hz$ , pour porter le facteur de puissance global à $0, 95$ .

Puissance active et impédance. Un dipôle d'impédance $Z = 40 + j 30 Ω$ est parcouru par un courant efficace de $4 A$ . Donner $∣ Z ∣$ , la tension efficace $U$ , la puissance active $P = ℜ (Z) I^{2}$ , la puissance apparente $S$ et $cos φ$ .

Compensation totale. À partir de quelle valeur de $C$ une charge inductive $P = 2 kW$ , $cos φ = 0, 6$ , sous $230 V$ , $50 Hz$ , devient-elle purement résistive ( $cos φ^{'} = 1$ ) ? Que se passe-t-il si l'on double cette capacité ?

Pertes en ligne. Une charge $P = 50 kW$ est alimentée par une ligne $R_{ℓ} = 0, 2 Ω$ sous $400 V$ . Tabuler les pertes Joule pour $cos φ \in {0, 5; 0, 7; 0, 85; 0, 95; 1}$ .

Très haute tension. Pour transporter $2 MW$ sur une ligne $R_{ℓ} = 2 Ω$ à $cos φ = 1$ , comparer les pertes sous $5 kV$ et sous $100 kV$ . Conclure sur l'intérêt de la haute tension.

Association parallèle (admittance). Une bobine ( $R = 20 Ω$ , $L = 50 mH$ ) et une résistance $100 Ω$ sont en parallèle sous $230 V$ , $50 Hz$ . En calculant l'admittance équivalente $Y = G + j B$ , trouver la puissance active $P = ℜ (Y) U^{2}$ , le courant total $I = ∣ Y ∣ U$ et le facteur de puissance.

Interprétation énergétique. Pour une charge $R L$ , montrer à partir de $p (t) = u (t) i (t)$ que l'énergie oscillante échangée avec la bobine sur un quart de période est liée à $\frac{1}{2} L I_{m}^{2}$ ; commenter le fait qu'aucune puissance moyenne n'est associée à cet échange (partie réactive de l'impédance).

Puissance instantanée : $p (t) = u (t) i (t)$ ; en RSF elle se décompose en un terme constant et un terme oscillant à $2 ω$ .
Valeur efficace : $X = X_{m} / 2$ pour une sinusoïde ; $U = 230 V$ au secteur.
Puissance active $P = U I cos φ$ (en $W$ ) : seule puissance réellement consommée. Absorbée par une impédance : $P = ℜ (Z) I^{2} = R I^{2}$ ; par une admittance : $P = ℜ (Y) U^{2} = G U^{2}$ .
Puissance apparente $S = U I$ ( $VA$ ) : fixe le courant de ligne $I = S / U$ et le dimensionnement. La puissance réactive est hors programme.
Dipôle purement réactif ( $φ = \pm π /2$ ) : $cos φ = 0$ , donc $P = 0$ ; il stocke puis restitue l'énergie sans rien consommer.
Facteur de puissance $k = P / S = cos φ \in [0, 1]$ ; se lit sur le diagramme de Fresnel des tensions et courants.
Relèvement : condensateur en parallèle, $C = \frac{P ( tan φ - tan φ ^{'} )}{ω U ^{2}}$ ; réduit $I$ et les pertes en ligne $R_{ℓ} I^{2} \propto 1/ cos^{2} φ$ .

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