Puissance électrique en régime sinusoïdal

Cours · conversion de puissance (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

En régime sinusoïdal, la puissance instantanée oscille autour de la puissance moyenne, U I cos φ.

« Transporter l'énergie électrique sur des centaines de kilomètres impose de maîtriser non pas seulement la puissance réellement consommée, mais aussi celle qui, sans jamais rien produire, échauffe pourtant les lignes. »

Le régime sinusoïdal forcé (RSF) est le mode d'alimentation universel des réseaux de distribution : la tension du secteur français est sinusoïdale, de valeur efficace $230 V$ et de fréquence $50 Hz$ . Comprendre comment la puissance circule entre une source et une charge dans ce régime est la clé de toute la conversion d'énergie : dimensionnement des câbles, choix des transformateurs, tarification industrielle et rendement du transport. Ce chapitre pose les définitions fondamentales — puissance instantanée, puissance moyenne (active), puissance apparente et facteur de puissance — puis les exploite dans deux problèmes centraux : le calcul de la puissance moyenne absorbée par une impédance et le relèvement du facteur de puissance, geste d'ingénieur qui réduit les pertes en ligne.

iRemarque

La notion de puissance réactive est hors programme en PSI. On raisonne ici exclusivement sur la puissance moyenne (active), le facteur de puissance $cos φ$ et la représentation de Fresnel des tensions et des courants.

1.1 Puissance instantanée

1.1.1 Convention et définition

On considère un dipôle électrique traversé, en convention récepteur, par un courant $i (t)$ et soumis à une tension $u (t)$ . La puissance électrique reçue par ce dipôle à l'instant $t$ est le produit de ces deux grandeurs.

Définition 1.1Puissance instantanée

En convention récepteur, la puissance instantanée reçue par un dipôle soumis à la tension $u (t)$ et parcouru par le courant $i (t)$ vaut

$p (t) = u (t) i (t) .$

Elle s'exprime en watts ( $W$ ). Si $p (t) > 0$ , le dipôle reçoit effectivement de l'énergie ; si $p (t) < 0$ , il en restitue au reste du circuit.

L'énergie reçue entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ s'obtient par intégration :

$W = \int_{t_{1}}^{t_{2}} p (t) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} u (t) i (t) d t .$

iRemarque

La puissance instantanée est une grandeur réelle et temporelle : elle n'a rien de sinusoïdal simple, même quand $u$ et $i$ le sont. C'est pourquoi on lui préfère très vite, en RSF, sa valeur moyenne.

1.1.2 Expression en régime sinusoïdal

Plaçons-nous en régime sinusoïdal forcé de pulsation $ω = 2 π f$ . On écrit la tension et le courant sous la forme

$u (t) = U_{m} cos (ω t), i (t) = I_{m} cos (ω t - φ),$

où $U_{m}$ et $I_{m}$ sont les amplitudes, et $φ$ le déphasage de la tension par rapport au courant (c'est-à-dire l'avance de phase de $u$ sur $i$ ). La puissance instantanée s'écrit alors

$p (t) = U_{m} I_{m} cos (ω t) cos (ω t - φ) .$

En linéarisant le produit de cosinus à l'aide de $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ , on obtient une décomposition riche d'enseignements :

$p (t) = terme constant \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos φ + terme oscillant a ˋ 2 ω \frac{U _{m} I _{m}}{2} cos (2 ω t - φ)$

Important

La puissance instantanée en RSF est la somme d'un terme constant — qui fixe la puissance moyenne réellement transférée — et d'un terme oscillant à la pulsation double $2 ω$ , de valeur moyenne nulle. Le réseau français ( $f = 50 Hz$ ) voit donc la puissance instantanée « battre » à $100 Hz$ .

1.2 Valeurs efficaces

1.2.1 Définition

Le terme constant de $p (t)$ fait intervenir les amplitudes. Pour relier la puissance aux grandeurs mesurées par les appareils (voltmètres et ampèremètres « RMS »), on introduit les valeurs efficaces.

Définition 1.2Valeur efficace

La valeur efficace d'un signal périodique $x (t)$ de période $T$ est la racine carrée de la moyenne de son carré :

$X = ⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t .$

Pour un signal sinusoïdal d'amplitude $X_{m}$ , on a la relation fondamentale

$X = \frac{X _{m}}{2} .$

Ainsi $U = U_{m} / 2$ et $I = I_{m} / 2$ . La tension du secteur, de valeur efficace $U = 230 V$ , a une amplitude $U_{m} = 2302 \approx 325 V$ .

iRemarque

Le nom « efficace » vient de l'effet Joule : un courant sinusoïdal de valeur efficace $I$ dissipe dans une résistance $R$ la même puissance moyenne $R I^{2}$ qu'un courant continu d'intensité $I$ . La valeur efficace est donc la valeur continue « équivalente en échauffement ».

1.3 Puissance moyenne (active)

1.3.1 Définition et expression

Sur une période, le terme oscillant à $2 ω$ a une moyenne nulle. Il ne reste donc, en moyenne, que le terme constant.

Définition 1.3Puissance active

La puissance active (ou puissance moyenne) $P$ est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période :

$P = ⟨ p (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t .$

En régime sinusoïdal, avec les valeurs efficaces $U$ et $I$ et le déphasage $φ$ de $u$ sur $i$ :

$P = U I cos φ$

Elle se mesure en watts ( $W$ ).

Exercices du chapitre

Où va l'énergie de la bobine ? La puissance instantanée d'un moteur de pompe corrigé
Ce que dit le wattmètre d'un compresseur corrigé
Le disjoncteur de l'atelier saute à 8 kW corrigé
Mesurer une puissance avec trois voltmètres corrigé
Le four à induction et sa batterie de condensateurs corrigé
Relever le facteur de puissance de l'atelier corrigé

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