Le transformateur

Cours complet · conversion de puissance (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année)

Le transformateur est l'un des composants les plus discrets et pourtant les plus essentiels du génie électrique. Sans lui, le transport de l'énergie électrique sur des milliers de kilomètres serait impossible et la quasi-totalité de nos appareils domestiques ne pourraient pas être alimentés depuis le réseau. Il réalise une conversion électromagnétique statique de puissance : sans aucune pièce en mouvement, il transforme un système de tension et de courant sinusoïdaux $(u_{1}, i_{1})$ en un autre système $(u_{2}, i_{2})$ de même fréquence mais d'amplitudes différentes, en transférant idéalement la puissance sans pertes.

Ce chapitre prolonge le modèle du transformateur de tension vu en première année : on précise ici le rôle décisif du noyau ferromagnétique de forte perméabilité, qui canalise le flux et permet d'obtenir aussi un transformateur de courant. On s'appuie sur les résultats d'induction et de ferromagnétisme établis dans le cours d'électromagnétisme, et sur la notion de puissance moyenne en régime sinusoïdal forcé (RSF) étudiée au chapitre précédent.

2.1 Principe et constitution

2.1.1 Constitution physique

Un transformateur est constitué de deux bobinages (deux enroulements de fil conducteur) enlacés autour d'un même circuit magnétique fermé, le noyau, réalisé dans un matériau ferromagnétique doux (fer au silicium, ferrite). Le bobinage relié à la source, dit primaire, comporte $N_{1}$ spires ; le bobinage relié à la charge (l'utilisateur), dit secondaire, comporte $N_{2}$ spires. Les deux enroulements ne sont pas reliés électriquement : le seul couplage entre le primaire et le secondaire est magnétique.

2.1.2 Rôle du noyau ferromagnétique

Le noyau réalise deux fonctions essentielles.

Il canalise le flux magnétique. Un matériau ferromagnétique doux possède une perméabilité relative $μ_{r}$ très grande (de $1 0^{3}$ à $1 0^{5}$ ). Les lignes de champ, comme les lignes de courant dans un conducteur bien meilleur que l'air, se concentrent dans le fer. Ainsi le même flux $ϕ$ traverse chaque spire des deux bobinages : le couplage entre primaire et secondaire devient parfait, sans fuite vers l'extérieur.
Il permet un fort flux avec un faible courant. La grande perméabilité fait qu'un courant magnétisant très faible suffit à imposer le flux : à la limite $μ_{r} \to \infty$ , ce courant tend vers zéro. C'est cette propriété qui, ajoutée au transformateur de tension, donne le transformateur de courant.

iRemarque

En première année, on n'utilisait que la loi des tensions $u_{2} / u_{1} = N_{2} / N_{1}$ . Le rôle nouveau du noyau de forte perméabilité est d'imposer aussi une relation sur les courants, indépendante de la charge. C'est ce qui distingue le transformateur idéal (2^e année) du simple transformateur de tension.

2.1.3 Bornes homologues et algébrisation

Le sens d'enroulement de chaque bobinage autour du noyau fixe le signe des tensions et courants. On repère par un point (borne homologue, ou « point conventionnel ») les deux bornes telles qu'un courant entrant par le point produit un flux de même sens dans le noyau. La convention est la suivante : si les deux courants sont fléchés entrant par les points, ou si les deux tensions sont fléchées pointe vers le point, alors les rapports de transformation sont positifs.

ImportantConvention d'algébrisation

Avec $u_{1}$ et $u_{2}$ orientées toutes deux de la borne homologue (point) vers l'autre borne, et $i_{1}$ entrant par le point du primaire, $i_{2}$ sortant par le point du secondaire (convention récepteur côté charge), les lois du transformateur idéal s'écrivent avec le signe $+$ . Une inversion d'un point change le signe du rapport correspondant.

2.2 Le transformateur idéal (parfait)

2.2.1 Hypothèses

Définition 2.1Transformateur idéal

Le transformateur idéal est le modèle limite obtenu sous les trois hypothèses suivantes :

Perméabilité infinie du noyau ( $μ_{r} \to \infty$ ) : le courant magnétisant est nul, tout le champ magnétique est confiné dans le fer.
Absence de fuites : le même flux $ϕ$ enlace chacune des $N_{1}$ spires du primaire et chacune des $N_{2}$ spires du secondaire.
Absence de pertes : résistances des bobinages nulles (pas de pertes cuivre) et matériau sans pertes fer (ni hystérésis ni courants de Foucault).

2.2.2 Loi des tensions

Notons $ϕ (t)$ le flux commun à travers une spire du noyau. Le flux total enlacé par le primaire est $Φ_{1} = N_{1} ϕ$ , celui du secondaire $Φ_{2} = N_{2} ϕ$ . La loi de Faraday, appliquée à chaque bobinage (en convention récepteur au primaire, générateur au secondaire), donne

$u_{1} = N_{1} \frac{d ϕ}{d t}, u_{2} = N_{2} \frac{d ϕ}{d t} .$

En éliminant le flux commun :

◆Théorème 2.2Loi de transformation des tensions

$\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = m$

où $m = N_{2} / N_{1}$ est le rapport de transformation. Cette relation vaut à chaque instant (grandeurs instantanées), donc aussi entre les amplitudes complexes : $u_{2} = m u_{1}$ .

Si $m > 1$ le transformateur est élévateur de tension ; si $m < 1$ il est abaisseur.

2.2.3 Loi des courants

C'est ici qu'intervient de façon décisive la perméabilité infinie du noyau. Le théorème d'Ampère appliqué le long d'une ligne de champ fermée à l'intérieur du noyau, de longueur moyenne $ℓ$ , s'écrit

$\oint H \cdot d ℓ = H ℓ = N_{1} i_{1} - N_{2} i_{2},$

le second membre étant la somme algébrique des courants enlacés (loi d'Hopkinson). Or dans le fer, $B = μ_{0} μ_{r} H$ avec $B$ fini (imposé par le flux) et $μ_{r} \to \infty$ , donc $H \to 0$ . Il vient

$N_{1} i_{1} - N_{2} i_{2} ⟶ 0.$

◆Théorème 2.3Loi de transformation des courants

$\frac{i _{2}}{i _{1}} = \frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{1}{m}$

Cette relation est indépendante de la charge : c'est la signature du transformateur idéal, absente du simple transformateur de tension.

iRemarque

Les tensions se transforment dans le rapport $m$ , les courants dans le rapport inverse $1/ m$ . Un transformateur élévateur de tension est donc abaisseur de courant, et réciproquement.

2.2.4 Conservation instantanée de la puissance

Multiplions les deux lois. La puissance instantanée reçue au primaire est $p_{1} = u_{1} i_{1}$ ; celle fournie à la charge au secondaire est $p_{2} = u_{2} i_{2}$ . Alors

$p_{2} = u_{2} i_{2} = (m u_{1}) (\frac{i _{1}}{m}) = u_{1} i_{1} = p_{1} .$

ImportantTransfert instantané et parfait de puissance

$p_{2} (t) = p_{1} (t) a ˋ chaque instant$

La puissance entrante est intégralement et instantanément transmise à la charge. Cette propriété traduit directement les hypothèses idéales : l'énergie électromagnétique n'est ni dissipée (pas de pertes) ni stockée (pas d'inductance magnétisante, $μ_{r} \to \infty$ ). Le transformateur idéal ne « retient » aucune énergie.

En moyenne temporelle on a aussi $P_{2} = P_{1}$ : le rendement idéal vaut $η = 1$ .

Exemple 2.4Transformateur du réseau domestique

Un transformateur abaisse le $230 V$ du réseau vers $23 V$ pour alimenter une lampe. Le rapport de transformation vaut $m = 23/230 = 1/10$ . Le primaire comporte $N_{1} = 2000$ spires : le secondaire en comporte donc $N_{2} = m N_{1} = 200$ . Si la lampe consomme un courant efficace de $2 A$ au secondaire, le courant efficace au primaire vaut $i_{1} = m i_{2} = 0, 1 \times 2 = 0, 2 A$ : dix fois plus faible, comme attendu pour un abaisseur de tension.

2.3 Adaptation et transfert d'impédance

2.3.1 Impédance ramenée

Plaçons au secondaire une charge d'impédance complexe $Z$ parcourue par $i_{2}$ sous la tension $u_{2}$ , avec $u_{2} = Z i_{2}$ . Vu de la source, quelle impédance $Z_{1} = u_{1} / i_{1}$ le transformateur présente-t-il au primaire ?

En utilisant $u_{1} = u_{2} / m$ et $i_{1} = m i_{2}$ :

$Z_{1} = \frac{u _{1}}{i _{1}} = \frac{u _{2} / m}{m i _{2}} = \frac{1}{m ^{2}} \frac{u _{2}}{i _{2}} = \frac{Z}{m ^{2}} .$

◆Théorème 2.5Transfert d'impédance

Une impédance $Z$ branchée au secondaire est vue depuis le primaire comme une impédance

$Z_{1} = \frac{Z}{m ^{2}}$

Le transformateur multiplie l'impédance de charge par le facteur $1/ m^{2}$ lors du « passage » du secondaire au primaire (et par $m^{2}$ dans l'autre sens).

2.3.2 Adaptation d'impédance

On sait (chapitre précédent, transfert maximal de puissance) qu'une source de résistance interne $R_{g}$ délivre le maximum de puissance à une charge $R$ lorsque $R = R_{g}$ . Or les impédances réelles (par exemple $R_{g} = 8 Ω$ d'un amplificateur et $R = 4 Ω$ d'un haut-parleur) sont rarement adaptées. Le transformateur offre un moyen d'ajuster : en interposant un transformateur de rapport $m$ , la charge $R$ est vue par la source comme $R / m^{2}$ , et l'adaptation $R_{g} = R / m^{2}$ s'obtient pour

$m = \frac{R}{R _{g}} .$

Méthode : Réaliser une adaptation d'impédance

Pour transférer le maximum de puissance moyenne d'une source de résistance $R_{g}$ à une charge $R$ :

écrire la condition d'adaptation $R_{g} = R_{1} = R / m^{2}$ ;
en déduire le rapport nécessaire $m = R / R_{g}$ ;
vérifier le sens (élévateur/abaisseur) : si $R < R_{g}$ il faut $m < 1$ .

2.4 Le transformateur réel : pertes et défauts

Un transformateur réel s'écarte du modèle idéal. Le programme demande de citer et de décrire qualitativement ces défauts, sans les modéliser (l'inductance magnétisante est hors programme). On les classe en deux familles.

2.4.1 Pertes cuivre

Les bobinages ont une résistance non nulle $r_{1}$ , $r_{2}$ . Le passage des courants $i_{1}$ et $i_{2}$ y dissipe par effet Joule une puissance moyenne

$P_{cuivre} = r_{1} I_{1, eff}^{2} + r_{2} I_{2, eff}^{2} .$

Ces pertes croissent avec le carré du courant, donc avec la charge. Pour les réduire : augmenter la section des conducteurs (diminuer $r$ ), utiliser du cuivre de haute pureté.

2.4.2 Pertes fer

Elles ont lieu dans le noyau et dépendent surtout de la tension (donc du flux et de la fréquence), peu de la charge. On en distingue deux mécanismes.

Pertes par hystérésis. À chaque période, le point de fonctionnement décrit le cycle d'hystérésis $B (H)$ du matériau. L'aire du cycle représente une énergie dissipée par unité de volume et par cycle. On les réduit en choisissant un fer doux au cycle très étroit (fer au silicium), à faible champ coercitif.
Pertes par courants de Foucault. Le flux variable induit, dans le noyau conducteur, des courants de Foucault qui dissipent par effet Joule. On les réduit en feuilletant le noyau : on l'assemble en tôles minces isolées entre elles (vernis), ce qui découpe les boucles de courant et augmente leur résistance. Pour les hautes fréquences on emploie des ferrites, matériaux ferromagnétiques quasi isolants.

2.4.3 Fuites magnétiques

Le couplage n'est jamais parfait : une petite partie du flux créé par un bobinage se referme dans l'air sans enlacer l'autre bobinage. On modélise ce défaut (qualitativement) par des inductances de fuite en série ; elles provoquent une chute de tension et font que $u_{2}$ dépend un peu de la charge.

Capacité numérique : Rendement d'un transformateur sur charge résistive

On mesure au wattmètre la puissance moyenne $P_{1}$ absorbée au primaire et la puissance $P_{2}$ délivrée à une charge résistive au secondaire. Le rendement

$η = \frac{P _{2}}{P _{1}} = \frac{P _{2}}{P _{2} + P _{cuivre} + P _{fer}}$

est tracé en fonction de la puissance de charge. On observe qu'il passe par un maximum (souvent $η > 95 %$ pour un transformateur de puissance) lorsque les pertes cuivre (croissantes avec la charge) égalent les pertes fer (à peu près constantes).

2.5 Applications

2.5.1 Transport de l'énergie électrique à haute tension

C'est l'application reine. Une ligne de transport de résistance $R_{ℓ}$ transporte une puissance $P = U I cos φ$ sous la tension $U$ et le courant $I$ . Les pertes par effet Joule dans la ligne valent

$P_{ligne} = R_{ℓ} I^{2} = R_{ℓ} (\frac{P}{U cos φ})^{2} \propto \frac{1}{U ^{2}} .$

À puissance transportée fixée, augmenter la tension $U$ d'un facteur $k$ divise les pertes en ligne par $k^{2}$ . On élève donc la tension à la sortie des centrales (jusqu'à $400 k V$ sur le réseau de transport français) grâce à des transformateurs élévateurs, puis on l'abaisse par étages ( $20 k V$ , $400 V$ , $230 V$ ) près des utilisateurs. Le transformateur, en changeant librement le niveau de tension sans dissiper de puissance, rend ce schéma possible : c'est ce qui a fait le triomphe du courant alternatif sur le courant continu.

ImportantIntérêt d'un facteur de puissance élevé

Pour une même puissance active $P$ transportée sous une tension $U$ donnée, le courant $I = P / (U cos φ)$ est d'autant plus faible que $cos φ$ est proche de $1$ . Un facteur de puissance élevé minimise donc le courant en ligne, donc les pertes Joule $R_{ℓ} I^{2}$ et le dimensionnement des conducteurs. D'où l'intérêt de relever le facteur de puissance des installations (par des condensateurs) : c'est le lien direct avec le chapitre précédent.

2.5.2 Isolation galvanique

Comme primaire et secondaire ne sont reliés que magnétiquement, il n'existe aucune liaison conductrice entre les deux circuits : le transformateur assure une isolation galvanique. Le secondaire peut « flotter » par rapport à la terre, ce qui protège l'utilisateur (transformateurs d'isolement des salles d'opération, des rasoirs de salle de bain) et permet de séparer des masses de potentiels de référence différents. Un rapport $m = 1$ (transformateur d'isolement pur) ne change pas la tension mais isole les circuits.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.6 Exercices résolus

Exemple 2.6Rapport et nombre de spires

Un transformateur abaisse $230 V$ (efficace) en $12 V$ (efficace). Le secondaire compte $N_{2} = 60$ spires. Déterminer le rapport de transformation et le nombre de spires au primaire.

Démonstration

Le rapport vaut $m = U_{2} / U_{1} = 12/230 \approx 0, 0522$ . Comme $m = N_{2} / N_{1}$ , $N_{1} = N_{2} / m = 60 \times 230/12 = 1150$ spires. C'est bien un abaisseur ( $m < 1$ , donc $N_{1} > N_{2}$ ).

Exemple 2.7Courants primaire et secondaire

Le transformateur précédent alimente une résistance $R = 6 Ω$ au secondaire. Calculer les courants efficaces $I_{2}$ et $I_{1}$ , puis vérifier la conservation de la puissance.

Démonstration

Au secondaire : $I_{2} = U_{2} / R = 12/6 = 2 A$ . Loi des courants : $I_{1} = m I_{2} = 0, 0522 \times 2 \approx 0, 104 A$ (soit $I_{2} /19, 2$ ). Puissances : $P_{2} = U_{2} I_{2} = 12 \times 2 = 24 W$ et $P_{1} = U_{1} I_{1} = 230 \times 0, 104 \approx 24 W$ . On retrouve bien $P_{1} = P_{2}$ : le transformateur idéal ne dissipe rien.

Exemple 2.8Impédance ramenée

Une charge inductive $Z = R + j L ω$ avec $R = 8 Ω$ , $L ω = 6 Ω$ est branchée au secondaire d'un transformateur de rapport $m = 2$ . Quelle impédance voit-on au primaire ?

Démonstration

$Z_{1} = Z / m^{2} = (8 + 6 j) /4 = 2 + 1, 5 j$ , en ohms. Le module vaut $∣ Z_{1} ∣ = 2^{2} + 1, 5^{2} = 2, 5 Ω$ (contre $∣ Z ∣ = 8^{2} + 6^{2} = 10 Ω$ au secondaire) : l'impédance est bien divisée par $m^{2} = 4$ , argument conservé.

Exemple 2.9Adaptation d'impédance d'un haut-parleur

Un amplificateur audio de résistance interne $R_{g} = 500 Ω$ doit alimenter un haut-parleur de résistance $R = 8 Ω$ . Quel rapport de transformation permet le transfert maximal de puissance ?

Démonstration

L'adaptation impose que la résistance ramenée au primaire égale $R_{g}$ : $R / m^{2} = R_{g}$ , d'où $m = R / R_{g} = 8/500 = 0, 016 = 0, 126$ . Le transformateur est abaisseur ( $m < 1$ ), soit un rapport de spires $N_{1} / N_{2} = 1/ m \approx 7, 9$ . Sans lui, le haut-parleur ( $8 Ω$ ) très désadapté aux $500 Ω$ recevrait une puissance bien moindre.

Exemple 2.10Pertes en ligne et haute tension

On transporte $P = 10 M W$ sur une ligne de résistance $R_{ℓ} = 5 Ω$ (facteur de puissance unité). Comparer les pertes Joule pour un transport sous $20 k V$ puis sous $400 k V$ .

Démonstration

Sous $20 k V$ : $I = P / U = 1 0^{7} / (2 \times 1 0^{4}) = 500 A$ , d'où $P_{ligne} = R_{ℓ} I^{2} = 5 \times 50 0^{2} = 1, 25 M W$ , soit $12, 5 %$ de la puissance perdue. Sous $400 k V$ : $U$ est $20$ fois plus grande, $I = 25 A$ , $P_{ligne} = 5 \times 2 5^{2} = 3, 1 k W$ , soit $0, 03 %$ . Les pertes ont été divisées par $2 0^{2} = 400$ , conformément à $P_{ligne} \propto 1/ U^{2}$ .

Exemple 2.11Rendement sur charge résistive

Un transformateur délivre $P_{2} = 500 W$ à une charge résistive. On mesure des pertes fer $P_{fer} = 12 W$ et des pertes cuivre $P_{cuivre} = 15 W$ . Calculer le rendement.

Démonstration

La puissance absorbée est $P_{1} = P_{2} + P_{fer} + P_{cuivre} = 500 + 12 + 15 = 527 W$ . Le rendement vaut $η = P_{2} / P_{1} = 500/527 \approx 0, 949$ , soit $94, 9 %$ .

Exemple 2.12Bornes homologues et signe

On inverse les connexions du secondaire d'un transformateur idéal de rapport $m$ , de sorte que le courant $i_{2}$ entre désormais par le point. Écrire les nouvelles lois.

Démonstration

Inverser le sens d'un bobinage change le signe du flux qu'il produit : le rapport correspondant change de signe. Les lois deviennent $u_{2} = - m u_{1}$ et $i_{2} = - i_{1} / m$ . La conservation $p_{2} = u_{2} i_{2} = (- m u_{1}) (- i_{1} / m) = u_{1} i_{1} = p_{1}$ reste inchangée : seul le déphasage de $π$ (inversion) apparaît sur les grandeurs secondaires.

2.7 Exercices d'entraînement

Un transformateur idéal a $N_{1} = 500$ et $N_{2} = 1500$ spires. Est-il élévateur ou abaisseur ? Calculer $m$ et donner $U_{2}$ pour $U_{1} = 230 V$ .
Le secondaire d'un transformateur de rapport $m = 1/8$ débite $I_{2} = 4 A$ . Quel est le courant efficace au primaire ?
Démontrer, à partir de la loi de Faraday appliquée aux deux bobinages, la relation $u_{2} / u_{1} = N_{2} / N_{1}$ en précisant l'hypothèse sur le flux.
Un transformateur idéal alimente $R = 100 Ω$ sous $U_{2} = 50 V$ . Rapport $m = 1/4$ . Calculer $I_{2}$ , $I_{1}$ , $U_{1}$ , puis $P_{1}$ et $P_{2}$ et vérifier leur égalité.
Une charge purement capacitive $Z = 1/ (j C ω)$ est branchée au secondaire d'un transformateur $m = 3$ . Exprimer l'impédance ramenée au primaire : est-elle capacitive ou inductive ?
Adaptation : une source $R_{g} = 50 Ω$ alimente une charge $R = 450 Ω$ . Déterminer le rapport $m$ pour le transfert maximal de puissance. Élévateur ou abaisseur ?
On transporte $P = 2 M W$ sous $U = 63 k V$ ( $cos φ = 1$ ) sur $R_{ℓ} = 10 Ω$ . Calculer le courant en ligne et les pertes Joule. Que deviennent-elles si l'on double $U$ ?
Un transformateur a un rendement de $96 %$ pour $P_{2} = 2 k W$ . Calculer la puissance absorbée $P_{1}$ et la puissance totale perdue.
Expliquer pourquoi le noyau d'un transformateur est feuilleté en tôles minces isolées, et quel type de pertes cela réduit.
Citer les trois hypothèses du transformateur idéal, et indiquer pour chacune le défaut réel qu'elle néglige.
Un transformateur d'isolement a $m = 1$ . À quoi sert-il si tension et courant sont inchangés ? Donner un exemple d'usage.
Le courant magnétisant du modèle idéal est supposé nul. Relier cette hypothèse à la perméabilité du noyau via le théorème d'Ampère $N_{1} i_{1} - N_{2} i_{2} = H ℓ$ .
Un transformateur $230 V$ / $24 V$ débite $5 A$ au secondaire avec $cos φ = 0, 8$ . Calculer la puissance active fournie et, en le supposant idéal, le courant efficace au primaire.
Justifier qualitativement l'existence d'un maximum du rendement en fonction de la charge (comparer l'évolution des pertes fer et des pertes cuivre).

Constitution : deux bobinages ( $N_{1}$ , $N_{2}$ spires) couplés magnétiquement par un noyau ferromagnétique doux de forte perméabilité, qui canalise le flux $ϕ$ commun. Pas de liaison électrique.
Rapport de transformation : $m = N_{2} / N_{1}$ .
Lois du transformateur idéal (bornes homologues respectées) :

$\frac{u _{2}}{u _{1}} = m, \frac{i _{2}}{i _{1}} = \frac{1}{m}, p_{2} (t) = p_{1} (t) .$

Tensions dans le rapport $m$ , courants dans le rapport inverse, puissance transmise instantanément et sans perte.

Hypothèses idéales : $μ_{r} \to \infty$ (courant magnétisant nul), pas de fuites, pas de pertes. Le transfert parfait traduit l'absence de dissipation et de stockage d'énergie.
Transfert d'impédance : une charge $Z$ au secondaire est vue $Z / m^{2}$ au primaire $\Rightarrow$ adaptation d'impédance avec $m = R / R_{g}$ .
Pertes réelles : pertes cuivre (Joule, $\propto I^{2}$ , avec la charge) ; pertes fer (hystérésis + courants de Foucault, avec la tension) ; fuites magnétiques. Réduites par feuilletage du noyau et fer doux.
Applications : transport HT ( $P_{ligne} \propto 1/ U^{2}$ , d'où élévation de tension) ; isolation galvanique ; intérêt d'un $cos φ$ élevé pour minimiser le courant en ligne.

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