Conversion électro-magnéto-mécanique : machines synchrone et à courant continu

Cours complet · conversion de puissance (PSI), chapitre 3 · CPGE PSI (2e année)

Les machines électriques tournantes réalisent la conversion réversible entre l'énergie électrique et l'énergie mécanique. Elles sont au cœur de la filière PSI : l'alternateur d'une centrale ( $70 %$ de l'électricité mondiale) produit le courant du réseau, le moteur synchrone équipe les trains à grande vitesse et les véhicules électriques, le moteur à courant continu (MCC) reste la référence pour l'asservissement de vitesse. Toutes reposent sur un principe commun : l'interaction entre un champ magnétique statorique et un champ rotorique, dont le moment moyen n'est non nul que si les deux champs tournent à la même vitesse angulaire — la condition de synchronisme. Ce chapitre construit ce principe (champ tournant, théorème de Ferraris), l'applique à la machine synchrone, puis à la MCC par analogie, et clôt sur les bilans de puissance et le rendement.

3.1 Conversion électromécanique réversible

Définition 3.1Conversion électromécanique

Une machine électrique tournante convertit une puissance électrique $P_{e ˊ l}$ en puissance mécanique $P_{m e ˊ ca} = Γ Ω$ (moment du couple $Γ$ , vitesse angulaire $Ω$ ), ou réciproquement. La conversion est réversible : le même dispositif fonctionne

en moteur : $P_{e ˊ l}$ absorbée $⟶$ $P_{m e ˊ ca}$ fournie à la charge ;
en générateur (alternateur, génératrice) : $P_{m e ˊ ca}$ reçue d'un entraînement $⟶$ $P_{e ˊ l}$ fournie au réseau.

Le vecteur de la conversion est le champ magnétique dans l'entrefer, la mince couche d'air ( $e \sim 1 mm$ ) séparant le stator fixe du rotor mobile. On distingue avec rigueur deux forces électromotrices :

Importantfem et fcem

La force électromotrice (fem) est une tension d'origine non électrostatique induite par la variation d'un flux magnétique (loi de Faraday). Dans un générateur elle est motrice et débite le courant. Dans un moteur le courant est imposé de l'extérieur et la fem induite s'oppose à ce courant : on l'appelle alors force contre-électromotrice (fcem). La puissance $e i$ échangée par la (f)cem est exactement la puissance convertie sous forme mécanique : $P_{conv} = e i = Γ Ω$ .

3.2 Champ magnétique tournant

3.2.1 Champ d'une spire dans l'entrefer

On considère un stator cylindrique de rayon interne $R$ , de perméabilité supposée infinie (le fer canalise parfaitement les lignes de champ), portant une spire logée dans deux encoches diamétralement opposées et parcourue par un courant $i$ . Le champ $B$ est radial dans l'entrefer.

La spire divise l'entrefer en deux demi-cylindres. Le théorème d'Ampère appliqué à un contour traversant l'entrefer et le fer (de champ nul car $μ \to \infty$ ) donne un champ radial en créneau : $+ B_{0}$ pour $θ \in] 0, π [$ et $- B_{0}$ pour $θ \in] π, 2 π [$ , avec $B_{0} = \frac{μ _{0} i}{2 e}$ .

Méthode : Obtenir une dépendance angulaire sinusoïdale

Un créneau se décompose en série de Fourier : son fondamental est $\propto cos θ$ . En superposant plusieurs spires décalées angulairement et convenablement alimentées (bobinage réparti dans plusieurs encoches), on annule les harmoniques de rang supérieur et on obtient un champ radial dont la dépendance angulaire est quasiment sinusoïdale :

$B (θ) = B_{m} cos θ .$

Cette forme d'onde sinusoïdale est l'hypothèse de travail de toute la suite.

3.2.2 Champ glissant statorique : théorème de Ferraris

Le stator porte deux bobinages identiques décalés de $90°$ dans l'espace (machine diphasée, bipolaire), créant chacun un champ sinusoïdal d'axe respectivement $θ = 0$ et $θ = π /2$ . On les alimente par deux courants en quadrature :

$i_{1} (t) = I_{m} cos (ω t), i_{2} (t) = I_{m} cos (ω t - \frac{π}{2}) = I_{m} sin (ω t) .$

◆Théorème 3.2Théorème de Ferraris

Deux bobinages en quadrature spatiale, alimentés par des courants en quadrature temporelle, créent dans l'entrefer un champ magnétique de module constant qui tourne à la vitesse angulaire $ω$ (pulsation des courants) : un champ glissant (ou tournant).

Démonstration (Démonstration)

Chaque bobine crée $B_{1} (θ, t) = k i_{1} (t) cos θ$ et $B_{2} (θ, t) = k i_{2} (t) cos (θ - \frac{π}{2}) = k i_{2} (t) sin θ$ . Par superposition :

$B (θ, t) = k I_{m} [cos ω t cos θ + sin ω t sin θ] = k I_{m} cos (θ - ω t) .$

À l'instant $t$ , le champ est maximal en $θ = ω t$ : le maximum de l'onde tourne à la vitesse $θ ˙ = ω$ . L'amplitude $B_{S} = k I_{m}$ est constante. C.Q.F.D.

iRemarque

En triphasé (trois bobinages décalés de $120°$ , courants déphasés de $2 π /3$ ), le théorème de Ferraris donne un champ tournant d'amplitude $B_{S} = \frac{3}{2} k I_{m}$ . C'est le principe de toutes les machines du réseau industriel. Une machine à $p$ paires de pôles produit un champ tournant à la vitesse $Ω_{S} = ω / p$ : la vitesse de synchronisme se règle par construction.

3.2.3 Champ glissant rotorique

Le rotor porte l'inducteur : soit un aimant permanent, soit un bobinage alimenté en courant continu (excitation séparée). Il crée un champ $B_{R}$ d'amplitude $B_{R}$ fixe, lié au rotor. Si le rotor tourne à la vitesse mécanique $Ω$ , son axe magnétique fait un angle $θ_{R} (t) = Ω t + θ_{0}$ : vu du stator, $B_{R}$ est lui aussi un champ glissant, tournant à la vitesse $Ω$ .

3.3 Contacteur électromagnétique en translation

Avant d'aborder les machines tournantes, considérons le dispositif de conversion le plus simple : une partie mobile en translation, attirée par un électroaimant. C'est le principe du relais et du contacteur, où un faible courant de commande actionne mécaniquement un circuit de puissance. Il illustre la méthode générale de ce chapitre : calculer une action électromagnétique en dérivant l'énergie magnétique par rapport à un paramètre de position.

3.3.1 Énergie magnétique et entrefer variable

On considère un enroulement de $N$ spires, parcouru par un courant $i$ , enlaçant un circuit magnétique (fer doux, perméabilité $μ_{r} \to \infty$ ) refermé sur une palette mobile. Entre le noyau fixe et la palette subsiste un entrefer de largeur variable $x$ , seul siège d'une réluctance non négligeable (le fer, très perméable, se comporte comme un « court-circuit magnétique »).

Le milieu magnétique étant supposé linéaire, le flux propre est proportionnel au courant : $Φ = L (x) i$ , et l'énergie magnétique stockée vaut

$E (x, i) = \frac{1}{2} L (x) i^{2} .$

L'inductance dépend de l'entrefer : la réluctance d'un entrefer équivalent de largeur $x$ et de section $S$ vaut $R (x) = \frac{x}{μ _{0} S}$ , d'où

$L (x) = \frac{N ^{2}}{R ( x )} = \frac{μ _{0} N ^{2} S}{x}, E (x, i) = \frac{μ _{0} N ^{2} S i ^{2}}{2 x} .$

Plus l'entrefer est petit, plus l'inductance — donc l'énergie stockée à courant fixé — est grande.

3.3.2 Force électromagnétique

ImportantForce à courant constant

La force électromagnétique exercée sur la partie mobile, repérée par la coordonnée $x$ (orientée dans le sens qui ouvre l'entrefer), s'obtient en dérivant l'énergie magnétique à courant constant (expression fournie) :

$F = (\frac{\partial E}{\partial x})_{i} .$

Appliquée à l'électroaimant précédent :

$F = (\frac{\partial E}{\partial x})_{i} = \frac{μ _{0} N ^{2} S i ^{2}}{2} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{x}) = - \frac{μ _{0} N ^{2} S i ^{2}}{2 x ^{2}} < 0.$

Le signe négatif signifie que la force est dirigée dans le sens des $x$ décroissants : elle tend à réduire l'entrefer, c'est-à-dire à attirer la palette vers le noyau. L'électroaimant est toujours attractif, quel que soit le sens du courant (la force varie en $i^{2}$ ).

3.3.3 Fonctionnement du relais

Définition 3.3Relais et contacteur électromagnétiques

Un relais est un interrupteur commandé : le courant $i$ dans la bobine de commande crée une force $F$ qui attire une palette mobile ; celle-ci, en se déplaçant, ouvre ou ferme des contacts appartenant à un second circuit, dit de puissance. Un contacteur est un relais dimensionné pour commuter de fortes puissances.

Le fonctionnement se lit directement sur la force calculée :

Bobine alimentée ( $i \neq = 0$ ) : la force attractive $F = - μ_{0} N^{2} S i^{2} / (2 x^{2})$ vainc la raideur d'un ressort de rappel, la palette colle au noyau, les contacts de puissance changent d'état (fermeture d'un circuit d'éclairage, démarrage d'un moteur…).
Bobine coupée ( $i = 0$ ) : $F = 0$ , le ressort ramène la palette à sa position de repos, rouvrant les contacts.

Important

L'intérêt du relais est l'isolement et l'amplification de commande : un courant de commande faible (quelques $mA$ , côté automate ou capteur) pilote un circuit de puissance de plusieurs $A$ sous forte tension, sans liaison électrique entre les deux. C'est le dispositif de commande, encore omniprésent (démarreurs, chauffage, automobile), qui a précédé le transistor de puissance.

3.4 La machine synchrone

3.4.1 Structure

Définition 3.4Constitution d'une machine synchrone

Stator = induit : cylindre ferromagnétique portant les bobinages de phase (diphasés ou triphasés), siège des courants alternatifs et des fem induites.
Rotor = inducteur : aimant permanent ou électroaimant à excitation continue, produisant $B_{R}$ .
Entrefer : lame d'air constante (machine à pôles lisses) où les deux champs radiaux $B_{S}$ et $B_{R}$ interagissent.

3.4.2 Couple et condition de synchronisme

L'énergie magnétique est essentiellement stockée dans l'entrefer. En notant $α$ l'angle entre le champ statorique glissant et le champ rotorique, l'énergie s'écrit $E (α) = - E_{0} cos α + cste$ , et le moment du couple s'exerçant sur le rotor s'obtient par la relation fournie :

$Γ = \frac{\partial E}{\partial θ} = - E_{0} sin α$

◆Théorème 3.5Condition de synchronisme

Notons $Ω_{S} = ω / p$ la vitesse du champ statorique et $Ω$ celle du rotor. L'angle entre les deux champs est $α (t) = (Ω_{S} - Ω) t + α_{0}$ . Le moment moyen $⟨ Γ ⟩ = ⟨ - E_{0} sin α (t)⟩$ est non nul si et seulement si $Ω = Ω_{S}$ : les deux champs doivent tourner à la même vitesse.

Démonstration (Démonstration)

Si $Ω \neq = Ω_{S}$ , $α (t)$ balaie tous les angles et $sin α$ oscille de moyenne nulle : le couple est alternatif, de moyenne nulle, le rotor « patine » sans entraînement utile. Si $Ω = Ω_{S}$ , $α = α_{0}$ est constant et $Γ = - E_{0} sin α_{0}$ est un couple continu non nul. Le rotor est alors « accroché » au champ tournant.

ImportantAngle de charge et stabilité

En régime synchrone, $α_{0}$ est l'angle de charge (ou angle interne) : il s'ajuste automatiquement pour que le couple électromagnétique équilibre le couple résistant. La caractéristique $Γ (α_{0}) = - E_{0} sin α_{0}$ montre :

pour $∣ α_{0} ∣ < π /2$ : fonctionnement stable (une petite perturbation crée un couple de rappel) ;
pour $∣ α_{0} ∣ > π /2$ : instable, le rotor décroche. Le couple maximal $E_{0}$ (couple de décrochage) fixe la charge admissible.

AttentionLe démarrage du moteur synchrone

À l'arrêt, $Ω = 0 \neq = Ω_{S}$ : le couple moyen est nul, le moteur synchrone ne démarre pas seul et ne peut suivre une variation brutale de vitesse. On le démarre en montant progressivement la fréquence $ω$ depuis zéro à l'aide d'un convertisseur électronique (variateur), qui asservit en permanence $ω = p Ω$ . C'est l'électronique de puissance (chapitre suivant) qui rend le moteur synchrone pilotable — d'où son essor dans la traction ferroviaire et les véhicules électriques.

3.4.3 Modèle électrique de l'induit et bilan de puissance

Chaque phase de l'induit voit une fem induite $E$ (créée par la rotation de l'inducteur), une résistance de bobinage $R$ (pertes cuivre) et une inductance synchrone $L_{s}$ . En convention récepteur (moteur), la tension d'alimentation d'une phase vérifie :

$V = R I + j L_{s} ω I + E .$

Proposition 3.6Bilan énergétique de l'induit

En ne retenant que les pertes cuivre, la puissance électrique absorbée par la phase se répartit en pertes Joule et puissance transmise à la fem :

$P_{abs} = pertes cuivre R I^{2} + P_{conv} ⟨ e i ⟩ .$

La puissance échangée par la (f)cem est intégralement convertie en puissance mécanique : $⟨ e i ⟩ = Γ Ω = P_{m e ˊ ca}$ . Le terme $j L_{s} ω I$ ne consomme aucune puissance moyenne (déphasage de $π /2$ ).

Proposition 3.7Réversibilité : moteur et alternateur

La même machine se comporte en :

Moteur synchrone : on impose $V$ (réseau/variateur), le rotor est entraîné, la charge freine. La fem est une fcem.
Alternateur : une turbine (vapeur, hydraulique, éolienne) entraîne le rotor à $Ω_{S}$ ; la variation de flux induit dans l'induit une fem qui débite dans le réseau. C'est le convertisseur de production d'électricité par excellence.

Le passage moteur $\leftrightarrow$ alternateur se lit sur le signe de l'angle de charge $α_{0}$ (donc de $Γ$ ).

3.5 La machine à courant continu (MCC)

3.5.1 Structure et rôle du collecteur

La MCC transpose l'idée précédente au courant continu grâce à un organe mécanique astucieux, le collecteur.

ImportantLe collecteur maintient le synchronisme

Le stator (inducteur, aimant ou bobinage continu) crée un champ $B_{S}$ fixe. Le rotor (induit) porte les conducteurs. Le collecteur — un ensemble de lames tournantes frottant sur des balais fixes — commute le sens du courant dans chaque conducteur à chaque demi-tour, de sorte que le champ rotorique $B_{R}$ reste toujours orthogonal à $B_{S}$ , quelle que soit la position angulaire du rotor. Le couple $Γ = - E_{0} sin α$ est ainsi maximal en permanence ( $α = - π /2$ constant) : le collecteur réalise, mécaniquement, le synchronisme entre un champ statorique fixe et un champ rotorique orthogonal. C'est l'analogue « à courant continu » du moteur synchrone, qui démarre seul.

3.5.2 Les deux relations de conversion

◆Théorème 3.8fcem et couple de la MCC

Pour une MCC à excitation constante (flux inducteur $Φ$ fixé), on a :

$e = k Φ Ω (fcem), Γ = k Φ I (couple e ˊ lectromagn e ˊ tique),$

où $I$ est le courant d'induit, $Ω$ la vitesse de rotation et $k$ une constante de construction. En posant $K = k Φ$ (constante de la machine, en $Vs$ ou $Nm / A$ ) : $e = K Ω$ et $Γ = K I$ .

Démonstration (Établissement par conservation de l'énergie)

La puissance convertie par la fcem est purement électromécanique, sans stockage ni perte : $P_{conv} = e I = Γ Ω$ . En reportant $Γ = K I$ : $e I = (K I) Ω$ , d'où immédiatement $e = K Ω$ . La même constante $K$ gouverne les deux relations : c'est une conséquence directe de la conservation de l'énergie.

3.5.3 Équations de fonctionnement

Proposition 3.9Équations électrique et mécanique

En convention récepteur (moteur), l'induit de résistance $R$ alimenté sous la tension $U$ et le rotor d'inertie $J$ vérifient :

$e ˊ quation e ˊ lectrique U = e + R I = K Ω + R I, e ˊ quation m e ˊ canique J \frac{d Ω}{d t} = Γ - Γ_{r} = K I - Γ_{r},$

où $Γ_{r}$ est le couple résistant de la charge. En régime permanent ( $d Ω/ d t = 0$ ) : $Γ = Γ_{r}$ et $U = K Ω + R I$ .

Proposition 3.10Caractéristique mécanique

(Ω, Γ)

U

constante

En éliminant $I = Γ/ K$ de l'équation électrique :

$Ω = \frac{U}{K} - \frac{R}{K ^{2}} Γ.$

À tension d'induit $U$ fixée, la caractéristique est une droite décroissante : la vitesse à vide $Ω_{0} = U / K$ (pour $Γ = 0$ ) chute légèrement quand la charge augmente. Faire varier $U$ translate cette droite : $U$ pilote directement la vitesse, atout majeur de la MCC pour l'asservissement.

Méthode : Point de fonctionnement

Le point de fonctionnement P est l'intersection de la caractéristique de la machine $Ω (Γ)$ et de la caractéristique de la charge $Γ_{r} (Ω)$ . Il vérifie simultanément l'équation de la machine et $Γ = Γ_{r}$ . On le détermine graphiquement (intersection) ou en résolvant le système. Sa stabilité s'analyse en dérivant l'équation mécanique autour de P.

AttentionLe courant de démarrage

Au démarrage $Ω = 0$ donc $e = 0$ : l'équation électrique donne $I_{d e ˊ m} = U / R$ . Comme $R$ est très faible, ce courant est énorme (plusieurs fois le courant nominal) et peut détruire l'induit. On le limite en démarrant à tension réduite (rhéostat ou hacheur), $U$ étant progressivement augmentée.

Proposition 3.11Réversibilité de la MCC

La MCC est réversible :

Moteur : $U > e$ , $I > 0$ , la machine absorbe $P_{e ˊ l} = U I$ et fournit $P_{m e ˊ ca} = ΓΩ$ ; $e$ est une fcem.
Génératrice (dynamo) : entraînée mécaniquement, $e > U$ , $I < 0$ (ou change de sens) : la machine débite dans le réseau ; $e$ est une fem. C'est le principe du freinage récupératif (récupération d'énergie au freinage d'un véhicule).

Il faut choisir des conventions d'orientation adaptées : en convention générateur, $U = e - R I$ .

3.6 Bilan de puissance et rendement

Définition 3.12Les pertes d'une machine réelle

Pertes cuivre (Joule) : $P_{J} = R I^{2}$ dans les bobinages, dépendent de la charge.
Pertes fer : hystérésis et courants de Foucault dans les tôles du circuit magnétique, dépendent de la fréquence et de $B$ .
Pertes mécaniques : frottements aux paliers et aux balais, ventilation.

Pertes fer $+$ pertes mécaniques $=$ pertes collectives (constantes à vitesse et flux fixés).

Proposition 3.13Rendement

Pour un moteur, le rendement est le rapport de la puissance utile (mécanique sur l'arbre) à la puissance absorbée :

$η = \frac{P _{u}}{P _{abs}} = \frac{Γ _{u} Ω}{U I} = \frac{P _{abs} - P _{J} - P _{fer} - P _{m e ˊ ca}}{P _{abs}} .$

Une MCC industrielle atteint couramment $η \sim 0, 80$ à $0, 90$ ; un gros alternateur dépasse $98 %$ .

Champ tournant (Ferraris) : bobinages en quadrature spatiale $+$ courants en quadrature temporelle $\Rightarrow$ champ de module constant tournant à $Ω_{S} = ω / p$ .
Synchronisme : $⟨ Γ ⟩ = - E_{0} sin α \neq = 0$ seulement si rotor et champ statorique tournent à la même vitesse. Stable si $∣ α_{0} ∣ < π /2$ , décrochage au-delà.
Machine synchrone : rotor = inducteur (aimant/électroaimant), stator = induit ; alternateur (production) $\leftrightarrow$ moteur (traction) ; ne démarre pas seul (variateur de fréquence).
MCC : le collecteur maintient $B_{R} ⊥ B_{S}$ $\Rightarrow$ couple maximal permanent, démarre seul.
Relations MCC : $e = K Ω$ , $Γ = K I$ (même $K = k Φ$ par conservation d'énergie) ; $U = K Ω + R I$ ; $J Ω ˙ = K I - Γ_{r}$ .
Caractéristique $Ω = U / K - (R / K^{2}) Γ$ : droite décroissante, $U$ pilote la vitesse. Point de fonctionnement = intersection machine/charge.
Réversibilité : moteur $\leftrightarrow$ générateur ; distinguer fem (motrice) et fcem (résistante). $P_{conv} = e I = ΓΩ$ .
Pertes : cuivre ( $R I^{2}$ ), fer, mécaniques ; $η = P_{u} / P_{abs}$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.7 Exercices résolus

Exemple 3.14Vitesse de synchronisme

Un alternateur triphasé de centrale possède $p = 2$ paires de pôles et débite sur le réseau à $f = 50 Hz$ . Déterminer sa vitesse de rotation en $t r / min$ . Combien de paires de pôles faut-il pour tourner à $3000 t r / min$ ?

Démonstration (Solution)

$Ω_{S} = ω / p = 2 π f / p = 2 π \times 50/2 = 157 rad / s$ , soit $n = Ω_{S} \times 60/ (2 π) = 60 f / p = 60 \times 50/2 = 1500 t r / min$ . Pour $n = 3000 t r / min = 60 f / p$ , il faut $p = 60 \times 50/3000 = 1$ paire de pôles. Les turboalternateurs rapides ont donc $p = 1$ .

Exemple 3.15Champ glissant par Ferraris

Deux bobines en quadrature créent $B_{1} = k I_{m} cos (ω t) cos θ$ et $B_{2} = k I_{m} sin (ω t) sin θ$ . Montrer que le champ résultant tourne et donner sa vitesse. Que se passe-t-il si l'on inverse le signe de $i_{2}$ ?

Démonstration (Solution)

$B = k I_{m} [cos ω t cos θ + sin ω t sin θ] = k I_{m} cos (θ - ω t)$ : maximum en $θ = ω t$ , champ tournant à $+ ω$ (sens direct). Si $i_{2} \to - i_{2}$ : $B = k I_{m} cos (θ + ω t)$ , champ tournant à $- ω$ (sens inverse). Inverser une phase inverse le sens de rotation — principe du changement de sens d'un moteur.

Exemple 3.16Point de fonctionnement d'une MCC

Une MCC a $K = 0.5 Vs$ , $R = 1 Ω$ , alimentée sous $U = 24 V$ . La charge impose un couple résistant constant $Γ_{r} = 2 Nm$ . Déterminer en régime permanent le courant, la vitesse et la puissance utile.

Démonstration (Solution)

Régime permanent : $Γ = Γ_{r}$ donc $I = Γ_{r} / K = 2/0, 5 = 4 A$ . Équation électrique : $U = K Ω + R I \Rightarrow Ω = (U - R I) / K = (24 - 1 \times 4) /0, 5 = 40 rad / s$ ( $\approx 382 t r / min$ ). $P_{u} = Γ_{r} Ω = 2 \times 40 = 80 W$ . Puissance absorbée $U I = 24 \times 4 = 96 W$ , pertes Joule $R I^{2} = 16 W$ , rendement $η = 80/96 = 0, 83$ .

Exemple 3.17Courant de démarrage

Même machine ( $U = 24 V$ , $R = 1 Ω$ ). Calculer le courant à l'instant du démarrage et le comparer au courant nominal $4 A$ . Quelle tension appliquer pour limiter le courant de démarrage à $8 A$ ?

Démonstration (Solution)

À $Ω = 0$ : $e = 0$ , $I_{d e ˊ m} = U / R = 24/1 = 24 A$ , soit 6 fois le courant nominal — inacceptable. Pour $I_{d e ˊ m} = 8 A$ : $U_{d e ˊ m} = R I_{d e ˊ m} = 1 \times 8 = 8 V$ . On démarre donc sous $8 V$ puis on augmente $U$ progressivement (hacheur).

Exemple 3.18Freinage récupératif

Un tramway descend une pente : sa MCC ( $K = 2 Vs$ , $R = 0.4 Ω$ ), reliée à une caténaire de $U = 600 V$ , est entraînée à $Ω = 320 rad / s$ . La machine est-elle motrice ou génératrice ? Calculer le courant et la puissance renvoyée au réseau.

Démonstration (Solution)

fem $e = K Ω = 2 \times 320 = 640 V > U = 600 V$ . En convention récepteur, $I = (U - e) / R = (600 - 640) /0, 4 = - 100 A < 0$ : le courant s'inverse, la machine débite : elle est génératrice. Puissance renvoyée au réseau $P \approx U ∣ I ∣ = 600 \times 100 = 60 kW$ (aux pertes près). Le tramway freine tout en rechargeant le réseau.

Exemple 3.19Bilan de puissance complet

Une MCC absorbe $P_{abs} = 2.4 kW$ sous $U = 200 V$ . On mesure $R = 0.8 Ω$ et des pertes collectives (fer + mécaniques) $P_{c} = 150 W$ . Déterminer le courant, la puissance utile et le rendement.

Démonstration (Solution)

$I = P_{abs} / U = 2400/200 = 12 A$ . Pertes cuivre $P_{J} = R I^{2} = 0, 8 \times 1 2^{2} = 115 W$ . Puissance convertie $P_{conv} = P_{abs} - P_{J} = 2400 - 115 = 2285 W$ . Puissance utile $P_{u} = P_{conv} - P_{c} = 2285 - 150 = 2135 W$ . Rendement $η = P_{u} / P_{abs} = 2135/2400 = 0, 89$ .

Exemple 3.20Angle de charge et décrochage

Un moteur synchrone a un couple de décrochage $E_{0} = 50 Nm$ . Il entraîne une charge de couple $30 Nm$ . Déterminer l'angle de charge $α_{0}$ . Quel est le couple maximal que la machine peut fournir avant décrochage ?

Démonstration (Solution)

En régime : $∣Γ∣ = E_{0} ∣ sin α_{0} ∣ = 30 \Rightarrow sin α_{0} = 30/50 = 0, 6$ , $α_{0} = 37°$ (solution stable, $< 90°$ ). Le couple maximal est $E_{0} = 50 Nm$ atteint pour $α_{0} = 90°$ ; au-delà la machine décroche. La marge de couple est $50 - 30 = 20 Nm$ .

Capacité numérique : Tracé de la caractéristique $(Ω, Γ)$

On simule la caractéristique mécanique d'une MCC à tension d'induit constante à l'aide de l'expression $Ω = U / K - (R / K^{2}) Γ$ et l'on cherche le point de fonctionnement.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

U, K, R = 24.0, 0.5, 1.0          # V, V.s, ohm
Gamma = np.linspace(0, 6, 200)    # couple en N.m
Omega = U/K - (R/K**2)*Gamma      # vitesse en rad/s

# couple resistant de la charge : frottement visqueux Gamma_r = f*Omega
f = 0.02
Omega_charge = np.linspace(0, 50, 200)
Gamma_charge = f*Omega_charge

plt.plot(Gamma, Omega, label="machine (U=24 V)")
plt.plot(Gamma_charge, Omega_charge, '--', label="charge f.Omega")
plt.xlabel("Couple (N.m)"); plt.ylabel("Vitesse (rad/s)")
plt.legend(); plt.grid(True); plt.show()

Le point de fonctionnement est l'intersection des deux courbes.

3.8 Exercices d'entraînement

Synchronisme. Un moteur synchrone bipolaire ( $p = 1$ ) est alimenté à $60 Hz$ . Donner sa vitesse en $t r / min$ . Peut-il tourner à $2500 t r / min$ sous cette fréquence ?

Ferraris triphasé. Trois bobinages décalés de $120°$ , parcourus par $i_{k} = I_{m} cos (ω t - 2 k π /3)$ , créent chacun $B_{k} = c i_{k} cos (θ - 2 k π /3)$ . Montrer que le champ résultant vaut $\frac{3}{2} c I_{m} cos (θ - ω t)$ .

Constante de machine. Une MCC tourne à vide ( $Γ \approx 0$ ) à $1500 t r / min$ sous $U = 220 V$ ( $R$ négligé à vide). Déterminer $K$ .

Point de fonctionnement. MCC : $K = 0.8 Vs$ , $R = 2 Ω$ , $U = 40 V$ , couple résistant constant $Γ_{r} = 3 Nm$ . Calculer $I$ , $Ω$ , $P_{u}$ et $η$ (pertes collectives négligées).

Charge à frottement visqueux. Même machine ( $K = 0, 8$ , $R = 2$ , $U = 40$ ) mais charge $Γ_{r} = f Ω$ avec $f = 0.05 Nms$ . Déterminer le point de fonctionnement $(Ω, Γ)$ en résolvant le système.

Démarrage. Une MCC $U = 150 V$ , $R = 0.5 Ω$ . Calculer $I_{d e ˊ m}$ . Quelle résistance additionnelle $R_{d}$ placer en série pour limiter le courant de démarrage à $30 A$ ?

Réversibilité. MCC $K = 1.5 Vs$ , $R = 0.6 Ω$ , $U = 300 V$ . Pour $Ω = 180 rad / s$ puis $Ω = 220 rad / s$ , préciser dans chaque cas le signe de $I$ et le mode (moteur / génératrice).

Bilan de puissance. Un moteur absorbe $5 kW$ sous $230 V$ , $R = 0.5 Ω$ , pertes collectives $200 W$ . Calculer $I$ , $P_{J}$ , $P_{u}$ et $η$ .

fem d'un alternateur. Un alternateur tourne à $1500 t r / min$ et délivre une fem efficace de $230 V$ . À $1800 t r / min$ (excitation inchangée), que devient la fem ? (la fem est proportionnelle à $Ω$ ).

Couple de décrochage. Moteur synchrone de couple de décrochage $E_{0} = 80 Nm$ entraînant une charge de $60 Nm$ . Calculer l'angle de charge $α_{0}$ et la marge avant décrochage. Que se passe-t-il si la charge passe à $90 Nm$ ?

Pilotage par la tension. Pour une MCC ( $K = 0.4 Vs$ , $R = 1 Ω$ ) entraînant un couple constant $Γ_{r} = 1.2 Nm$ , quelle tension $U$ appliquer pour tourner à $50 rad / s$ ? à $100 rad / s$ ?

Rendement d'un moteur de traction. Un moteur de $50 kW$ utile a un rendement de $0, 92$ . Calculer la puissance absorbée et la puissance totale dissipée en pertes. Si les pertes cuivre valent $2.5 kW$ , quelle est la part des pertes collectives ?

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Conversion électro-magnéto-mécanique : machines synchrone et à courant continu

3.1 Conversion électromécanique réversible

3.2 Champ magnétique tournant

3.2.1 Champ d'une spire dans l'entrefer

Méthode : Obtenir une dépendance angulaire sinusoïdale

3.2.2 Champ glissant statorique : théorème de Ferraris

3.2.3 Champ glissant rotorique

3.3 Contacteur électromagnétique en translation

3.3.1 Énergie magnétique et entrefer variable

3.3.2 Force électromagnétique

3.3.3 Fonctionnement du relais

3.4 La machine synchrone

3.4.1 Structure

3.4.2 Couple et condition de synchronisme

3.4.3 Modèle électrique de l'induit et bilan de puissance

3.5 La machine à courant continu (MCC)

3.5.1 Structure et rôle du collecteur

3.5.2 Les deux relations de conversion

3.5.3 Équations de fonctionnement

Méthode : Point de fonctionnement

3.6 Bilan de puissance et rendement

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.7 Exercices résolus

Capacité numérique : Tracé de la caractéristique (Ω,Γ)

3.8 Exercices d'entraînement

Capacité numérique : Tracé de la caractéristique $(Ω, Γ)$