Conversion électro-magnéto-mécanique : machines synchrone et à courant continu

Cours · conversion de puissance (PSI), chapitre 3 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une machine à courant continu : un rotor bobiné tourne dans le champ du stator, sous l'effet de forces de Laplace.

Les machines électriques tournantes réalisent la conversion réversible entre l'énergie électrique et l'énergie mécanique. Elles sont au cœur de la filière PSI : l'alternateur d'une centrale ( $70 %$ de l'électricité mondiale) produit le courant du réseau, le moteur synchrone équipe les trains à grande vitesse et les véhicules électriques, le moteur à courant continu (MCC) reste la référence pour l'asservissement de vitesse. Toutes reposent sur un principe commun : l'interaction entre un champ magnétique statorique et un champ rotorique, dont le moment moyen n'est non nul que si les deux champs tournent à la même vitesse angulaire — la condition de synchronisme. Ce chapitre construit ce principe (champ tournant, théorème de Ferraris), l'applique à la machine synchrone, puis à la MCC par analogie, et clôt sur les bilans de puissance et le rendement.

3.1 Conversion électromécanique réversible

Définition 3.1Conversion électromécanique

Une machine électrique tournante convertit une puissance électrique $P_{e ˊ l}$ en puissance mécanique $P_{m e ˊ ca} = Γ Ω$ (moment du couple $Γ$ , vitesse angulaire $Ω$ ), ou réciproquement. La conversion est réversible : le même dispositif fonctionne

en moteur : $P_{e ˊ l}$ absorbée $⟶$ $P_{m e ˊ ca}$ fournie à la charge ;
en générateur (alternateur, génératrice) : $P_{m e ˊ ca}$ reçue d'un entraînement $⟶$ $P_{e ˊ l}$ fournie au réseau.

Le vecteur de la conversion est le champ magnétique dans l'entrefer, la mince couche d'air ( $e \sim 1 mm$ ) séparant le stator fixe du rotor mobile. On distingue avec rigueur deux forces électromotrices :

Importantfem et fcem

La force électromotrice (fem) est une tension d'origine non électrostatique induite par la variation d'un flux magnétique (loi de Faraday). Dans un générateur elle est motrice et débite le courant. Dans un moteur le courant est imposé de l'extérieur et la fem induite s'oppose à ce courant : on l'appelle alors force contre-électromotrice (fcem). La puissance $e i$ échangée par la (f)cem est exactement la puissance convertie sous forme mécanique : $P_{conv} = e i = Γ Ω$ .

3.2 Champ magnétique tournant

3.2.1 Champ d'une spire dans l'entrefer

On considère un stator cylindrique de rayon interne $R$ , de perméabilité supposée infinie (le fer canalise parfaitement les lignes de champ), portant une spire logée dans deux encoches diamétralement opposées et parcourue par un courant $i$ . Le champ $B$ est radial dans l'entrefer.

La spire divise l'entrefer en deux demi-cylindres. Le théorème d'Ampère appliqué à un contour traversant l'entrefer et le fer (de champ nul car $μ \to \infty$ ) donne un champ radial en créneau : $+ B_{0}$ pour $θ \in] 0, π [$ et $- B_{0}$ pour $θ \in] π, 2 π [$ , avec $B_{0} = \frac{μ _{0} i}{2 e}$ .

Méthode : Obtenir une dépendance angulaire sinusoïdale

Un créneau se décompose en série de Fourier : son fondamental est $\propto cos θ$ . En superposant plusieurs spires décalées angulairement et convenablement alimentées (bobinage réparti dans plusieurs encoches), on annule les harmoniques de rang supérieur et on obtient un champ radial dont la dépendance angulaire est quasiment sinusoïdale :

$B (θ) = B_{m} cos θ .$

Cette forme d'onde sinusoïdale est l'hypothèse de travail de toute la suite.

3.2.2 Champ glissant statorique : théorème de Ferraris

Le stator porte deux bobinages identiques décalés de $90°$ dans l'espace (machine diphasée, bipolaire), créant chacun un champ sinusoïdal d'axe respectivement $θ = 0$ et $θ = π /2$ . On les alimente par deux courants en quadrature :

$i_{1} (t) = I_{m} cos (ω t), i_{2} (t) = I_{m} cos (ω t - \frac{π}{2}) = I_{m} sin (ω t) .$

◆Théorème 3.2Théorème de Ferraris

Deux bobinages en quadrature spatiale, alimentés par des courants en quadrature temporelle, créent dans l'entrefer un champ magnétique de module constant qui tourne à la vitesse angulaire $ω$ (pulsation des courants) : un champ glissant (ou tournant).

Démonstration (Démonstration)

Chaque bobine crée $B_{1} (θ, t) = k i_{1} (t) cos θ$ et $B_{2} (θ, t) = k i_{2} (t) cos (θ - \frac{π}{2}) = k i_{2} (t) sin θ$ . Par superposition :

$B (θ, t) = k I_{m} [cos ω t cos θ + sin ω t sin θ] = k I_{m} cos (θ - ω t) .$

À l'instant $t$ , le champ est maximal en $θ = ω t$ : le maximum de l'onde tourne à la vitesse $θ ˙ = ω$ . L'amplitude $B_{S} = k I_{m}$ est constante. C.Q.F.D.

iRemarque

En triphasé (trois bobinages décalés de $120°$ , courants déphasés de $2 π /3$ ), le théorème de Ferraris donne un champ tournant d'amplitude $B_{S} = \frac{3}{2} k I_{m}$ . C'est le principe de toutes les machines du réseau industriel. Une machine à $p$ paires de pôles produit un champ tournant à la vitesse $Ω_{S} = ω / p$ : la vitesse de synchronisme se règle par construction.

3.2.3 Champ glissant rotorique

Le rotor porte l'inducteur : soit un aimant permanent, soit un bobinage alimenté en courant continu (excitation séparée). Il crée un champ $B_{R}$ d'amplitude $B_{R}$ fixe, lié au rotor. Si le rotor tourne à la vitesse mécanique $Ω$ , son axe magnétique fait un angle $θ_{R} (t) = Ω t + θ_{0}$ : vu du stator, $B_{R}$ est lui aussi un champ glissant, tournant à la vitesse $Ω$ .

3.3 Contacteur électromagnétique en translation

Avant d'aborder les machines tournantes, considérons le dispositif de conversion le plus simple : une partie mobile en translation, attirée par un électroaimant. C'est le principe du relais et du contacteur, où un faible courant de commande actionne mécaniquement un circuit de puissance. Il illustre la méthode générale de ce chapitre : calculer une action électromagnétique en dérivant l'énergie magnétique par rapport à un paramètre de position.

3.3.1 Énergie magnétique et entrefer variable

On considère un enroulement de $N$ spires, parcouru par un courant $i$ , enlaçant un circuit magnétique (fer doux, perméabilité $μ_{r} \to \infty$ ) refermé sur une palette mobile. Entre le noyau fixe et la palette subsiste un entrefer de largeur variable $x$ , seul siège d'une réluctance non négligeable (le fer, très perméable, se comporte comme un « court-circuit magnétique »).

Le milieu magnétique étant supposé linéaire, le flux propre est proportionnel au courant : $Φ = L (x) i$ , et l'énergie magnétique stockée vaut

$E (x, i) = \frac{1}{2} L (x) i^{2} .$

L'inductance dépend de l'entrefer : la réluctance d'un entrefer équivalent de largeur $x$ et de section $S$ vaut $R (x) = \frac{x}{μ _{0} S}$ , d'où

$L (x) = \frac{N ^{2}}{R ( x )} = \frac{μ _{0} N ^{2} S}{x}, E (x, i) = \frac{μ _{0} N ^{2} S i ^{2}}{2 x} .$

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