Les lois de l'induction

Cours complet · électricité (MP2I), chapitre 8 · CPGE MP2I (1re année)

Déplacer un aimant près d'une bobine y fait apparaître un courant, sans aucune pile : c'est l'induction électromagnétique, découverte par Faraday. Elle est à la base des alternateurs, transformateurs et de la quasi-totalité de l'énergie électrique produite. Ce chapitre énonce la loi de Faraday et la loi de Lenz, puis les applique à l'auto-induction (la bobine sur elle-même) et aux circuits couplés (inductance mutuelle, transformateur).

8.1 Le flux magnétique

Définition 8.1Flux

Le flux du champ $B$ à travers une surface $S$ s'appuyant sur un contour fermé orienté est

$Φ = \iint_{S} B \cdot d S (Wb) .$

Pour un champ uniforme et une surface plane : $Φ = B S cos α$ , où $α$ est l'angle entre $B$ et la normale $n$ .

8.2 La loi de Faraday

◆Théorème 8.2Loi de Faraday

Toute variation du flux à travers un circuit y induit une force électromotrice (f.é.m.) :

$e = - \frac{d Φ}{d t}$

Dans un circuit fermé de résistance $R$ , il apparaît un courant induit $i = \frac{e}{R}$ . Le flux peut varier soit parce que le circuit bouge (chapitre 9), soit parce que le champ varie dans le temps (ce chapitre).

8.3 La loi de Lenz

ImportantLoi de modération de Lenz

Les effets de l'induction (courant induit, forces) s'opposent à la cause qui leur donne naissance. Le courant induit crée un flux qui modère la variation de flux. Le signe $-$ de la loi de Faraday traduit la loi de Lenz : elle permet de prédire le sens du courant induit sans calcul.

8.4 L'auto-induction

Définition 8.3Inductance propre

Un circuit parcouru par $i$ crée son propre flux $Φ_{propre} = L i$ , où $L$ est l'inductance propre (en $H$ ). Une variation de $i$ induit alors une f.é.m. d'auto-induction $e = - L \frac{d i}{d t}$ : c'est la relation $u = L \frac{d i}{d t}$ de la bobine (chapitre 2).

Proposition 8.4Énergie

La bobine stocke l'énergie magnétique $E = \frac{1}{2} L i^{2}$ . Le bilan de puissance $u i = L i \frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i^{2})$ confirme que la puissance reçue sert à faire varier cette énergie (la bobine ne dissipe pas).

8.5 Inductance mutuelle et transformateur

Définition 8.5Inductance mutuelle

Deux bobines couplées : le flux créé par la bobine 1 à travers la bobine 2 est $Φ_{2} = M i_{1}$ , où $M$ est l'inductance mutuelle. Une variation de $i_{1}$ induit donc une f.é.m. dans le circuit 2 ( $e_{2} = - M d i_{1} / d t$ ) : les circuits sont couplés.

ImportantTransformateur idéal

Un transformateur couple un primaire ( $N_{1}$ spires) et un secondaire ( $N_{2}$ spires) par un flux commun. Pour un transformateur idéal :

$\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}, \frac{i _{1}}{i _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} (conservation de la puissance u_{1} i_{1} = u_{2} i_{2}) .$

Il élève ou abaisse la tension (transport de l'énergie électrique à haute tension pour limiter les pertes).

Capacité numérique : F.é.m. induite par un flux variable

On calcule $e = - \frac{d Φ}{d t}$ pour un flux sinusoïdal (principe de l'alternateur).


import numpy as np

Phi0, w = 1e-3, 2 * np.pi * 50     # amplitude (Wb), pulsation (50 Hz)
t = np.linspace(0.0, 0.04, 1000)
Phi = Phi0 * np.cos(w * t)         # flux a travers la bobine
e = -np.gradient(Phi, t)           # fem induite = -dPhi/dt
print("fem max (V) :", round(np.max(e), 3),
      " (theorie Phi0*w =", round(Phi0 * w, 3), ")")

La f.é.m. est sinusoïdale, d'amplitude $Φ_{0} ω$ : un flux qui varie vite (haute fréquence, grand $ω$ ) induit une tension élevée.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>8.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Flux (

⋆

)

Une spire d'aire $20 c m^{2}$ est plongée dans un champ uniforme $B = 0.5 T$ perpendiculaire à son plan. Calculer le flux.

Démonstration

$Φ = B S cos 0 = 0, 5 \times 20 \times 1 0^{- 4} = 1 0^{- 3} Wb = 1 m Wb$ .

Exercice 2 : Loi de Faraday (

⋆

)

Le flux à travers un circuit varie de $2 m Wb$ en $10 ms$ . Quelle f.é.m. moyenne est induite ?

Démonstration

$∣ e ∣ = \frac{∣ ΔΦ ∣}{Δ t} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 3}}{10 \times 1 0 ^{- 3}} = 0.2 V$ .

Exercice 3 : Loi de Lenz (

⋆ ⋆

)

On approche le pôle nord d'un aimant d'une spire. Dans quel sens circule le courant induit ?

Démonstration

Le flux augmente ; par modération (Lenz), le courant induit crée un champ qui s'oppose à cette augmentation, donc dirigé contre le champ de l'aimant : la face de la spire tournée vers l'aimant devient un pôle nord (elle le repousse). Le sens du courant s'en déduit par la règle de la main droite.

Exercice 4 : Auto-induction (

⋆ ⋆

)

Une bobine $L = 50 mH$ voit son courant croître de $0$ à $2 A$ en $4 ms$ . Quelle f.é.m. d'auto-induction ?

Démonstration

$∣ e ∣ = L \frac{∣ Δ i ∣}{Δ t} = 50 \times 1 0^{- 3} \times \frac{2}{4 \times 1 0 ^{- 3}} = 25 V$ . (D'où les surtensions à la coupure d'une bobine.)

Exercice 5 : Énergie (

⋆ ⋆

)

Énergie magnétique stockée dans la bobine précédente ( $L = 50 mH$ ) parcourue par $2 A$ ?

Démonstration

$E = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} \times 50 \times 1 0^{- 3} \times 2^{2} = 0.1 J$ .

Exercice 6 : Alternateur (

⋆ ⋆

)

Une bobine de $N = 200$ spires d'aire $50 c m^{2}$ tourne à $ω = 314 rad / s$ dans $B = 0.1 T$ . Amplitude de la f.é.m. induite ?

Démonstration

Le flux est $Φ = N B S cos (ω t)$ , donc $e = - d Φ/ d t = N B S ω sin (ω t)$ , d'amplitude $E_{m} = N B S ω = 200 \times 0, 1 \times 50 \times 1 0^{- 4} \times 314 \approx 31 V$ .

Exercice 7 : Transformateur (

⋆ ⋆

)

Un transformateur idéal a $N_{1} = 1000$ et $N_{2} = 50$ spires, alimenté sous $u_{1} = 230 V$ . Quelle tension au secondaire ? Si $i_{2} = 2 A$ , quel courant au primaire ?

Démonstration

$u_{2} = u_{1} \frac{N _{2}}{N _{1}} = 230 \times \frac{50}{1000} = 11.5 V$ (abaisseur). Conservation de la puissance : $i_{1} = i_{2} \frac{N _{2}}{N _{1}} = 2 \times 0, 05 = 0.1 A$ .

Exercice 8 : Inductance mutuelle (

⋆ ⋆ ⋆

)

Deux bobines ont une inductance mutuelle $M = 10 mH$ . Le courant dans la première varie au taux $d i_{1} / d t = 500 A / s$ . Quelle f.é.m. induite dans la seconde ?

Démonstration

$∣ e_{2} ∣ = M \frac{d i _{1}}{d t} = 10 \times 1 0^{- 3} \times 500 = 5 V$ . C'est le principe du couplage par mutuelle induction (transformateur, plaque à induction).

8.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Flux : $Φ = \iint B \cdot d S$ ; uniforme $Φ = B S cos α$ ( $Wb$ ).
Faraday : $e = - \frac{d Φ}{d t}$ ; courant induit $i = e / R$ .
Lenz : les effets induits s'opposent à la cause (modération) ; donne le sens du courant.
Auto-induction : $Φ_{propre} = L i$ , $e = - L \frac{d i}{d t}$ , énergie $\frac{1}{2} L i^{2}$ .
Mutuelle : $Φ_{2} = M i_{1}$ ; transformateur idéal $\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}$ , $u_{1} i_{1} = u_{2} i_{2}$ .

8.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Flux à travers une spire d'aire $0.01 m^{2}$ dans $B = 0.2 T$ à $6 0^{\circ}$ de la normale.

( $⋆$ ) F.é.m. induite si le flux varie de $5 m Wb$ en $0.1 s$ .

( $⋆ ⋆$ ) On éloigne un aimant d'une bobine : sens du courant induit (Lenz) ?

( $⋆ ⋆$ ) Surtension à la coupure d'une bobine $L = 0.1 H$ parcourue par $1 A$ coupé en $1 ms$ .

( $⋆ ⋆$ ) Énergie magnétique d'un solénoïde $L = 0.2 H$ sous $3 A$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un transformateur élève $230 V$ à $20 kV$ : rapport du nombre de spires ?

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi transporte-t-on l'électricité à très haute tension ? (lien pertes Joule)

( $⋆ ⋆$ ) Expliquer le freinage à courants de Foucault à l'aide de Lenz (qualitatif ; détaillé au chapitre 9).

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, doubler la fréquence et observer l'effet sur l'amplitude de la f.é.m.

( $⋆ ⋆$ ) Une plaque à induction chauffe une casserole : par quel mécanisme (mutuelle + Joule) ?

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que la loi de Lenz est cohérente avec la conservation de l'énergie.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Deux bobines couplées en régime sinusoïdal forcé : écrire le système d'équations reliant $u_{1}, u_{2}, i_{1}, i_{2}$ avec $L_{1}, L_{2}, M$ .

8.9 Problèmes contextualisés

L'induction est le cœur de la production et de la distribution électriques : alternateurs, transformateurs, plaques à induction, dynamos, freins magnétiques, badges sans contact, micros de guitare.

Exemple 8.14L'alternateur d'une centrale (

⋆ ⋆

)

Une bobine de $N = 500$ spires d'aire $S = 0.04 m^{2}$ tourne à la pulsation $ω = 314 rad / s$ ( $50 Hz$ ) dans un champ $B = 0.8 T$ .

Exprimer le flux $Φ (t)$ puis la f.é.m. induite $e (t)$ .
Calculer l'amplitude de la f.é.m.
Pourquoi la fréquence du réseau ( $50 Hz$ ) est-elle imposée par la vitesse de rotation ?

Démonstration

1. $Φ = N B S cos (ω t)$ ; $e = - \frac{d Φ}{d t} = N B S ω sin (ω t)$ .

2. $E_{m} = N B S ω = 500 \times 0, 8 \times 0, 04 \times 314 \approx 5.0 \times 1 0^{3} V$ ( $5 kV$ ).

3. La f.é.m. oscille à la fréquence de rotation : pour $50 Hz$ , la machine (une paire de pôles) doit tourner à $50$ tr/s $= 3000 t r / min$ . La fréquence du réseau est la fréquence de rotation des alternateurs.

Exemple 8.15Le transformateur de quartier (

⋆ ⋆

)

Le réseau transporte l'électricité à $20 kV$ ; un transformateur de quartier l'abaisse à $230 V$ pour les usagers.

Quel rapport du nombre de spires $N_{1} / N_{2}$ faut-il ?
Si le quartier consomme $i_{2} = 100 A$ , quel courant au primaire (idéal) ?
Pourquoi élève-t-on la tension pour le transport puis l'abaisse-t-on ?

Démonstration

1. $\frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{u _{1}}{u _{2}} = \frac{20000}{230} \approx 87$ (abaisseur).

2. Conservation de la puissance : $i_{1} = i_{2} \frac{N _{2}}{N _{1}} = 100 \times \frac{1}{87} \approx 1.15 A$ .

3. À haute tension, le courant (donc les pertes Joule $R I^{2}$ ) est faible pour le transport ; on l'abaisse ensuite à une tension sûre pour l'usage. Le transformateur, fondé sur l'induction, rend cela possible (uniquement en alternatif).

Exemple 8.16La plaque à induction (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une plaque à induction contient une bobine parcourue par un courant alternatif ( $\approx 25 k Hz$ ) sous le fond de la casserole.

Par quel mécanisme la casserole chauffe-t-elle (deux étapes) ?
Pourquoi seule une casserole ferromagnétique (acier, fonte) chauffe-t-elle bien ?
Pourquoi la plaque elle-même (le verre) reste-t-elle relativement froide ?

Démonstration

1. (i) Le courant alternatif crée un champ variable qui induit des courants de Foucault dans le fond de la casserole (Faraday) ; (ii) ces courants dissipent de l'énergie par effet Joule dans le métal : la casserole chauffe.

2. Un matériau ferromagnétique concentre le champ et présente une résistivité qui maximise les pertes Joule : l'induction y est efficace. Un récipient amagnétique (aluminium, verre) chauffe mal.

3. Le verre n'est pas conducteur : aucun courant induit, donc pas d'effet Joule. Il ne s'échauffe que par contact avec la casserole.

Exemple 8.17La dynamo de vélo (

⋆ ⋆

)

Une dynamo de vélo contient un aimant entraîné en rotation par la roue, près d'une bobine.

Quel phénomène produit la tension qui alimente la lampe ?
Pourquoi la lampe brille-t-elle plus fort quand on pédale vite ?
Pourquoi la dynamo « freine »-t-elle légèrement le vélo (Lenz) ?

Démonstration

1. La rotation de l'aimant fait varier le flux à travers la bobine : par Faraday, une f.é.m. $e = - d Φ/ d t$ apparaît et alimente la lampe.

2. Plus on pédale vite, plus $Φ$ varie vite ( $ω$ grand), donc plus la f.é.m. (et la luminosité) est grande.

3. Le courant induit, par Lenz, s'oppose à la cause (la rotation) : il crée un couple résistant. Produire de l'électricité « coûte » de l'énergie mécanique — d'où la résistance ressentie au pédalage.

Exemple 8.18Le frein par courants de Foucault (

⋆ ⋆ ⋆

)

Certains trains et manèges freinent sans contact : un disque (ou un rail) conducteur se déplace dans un champ magnétique fixe.

Pourquoi des courants induits apparaissent-ils dans le conducteur en mouvement ?
Dans quel sens agit la force qui en résulte (Lenz) ?
Quels avantages (et un inconvénient) par rapport à un frein à disque classique ?

Démonstration

1. En se déplaçant dans le champ, le conducteur voit un flux variable : des courants de Foucault y sont induits (Faraday).

2. Par Lenz, ces courants créent une force qui s'oppose au mouvement : un freinage. L'énergie cinétique est dissipée en chaleur (Joule).

3. Avantages : aucun contact (pas d'usure, pas d'échauffement de plaquettes, silencieux). Inconvénient : la force diminue avec la vitesse et s'annule à l'arrêt (il ne peut pas maintenir le véhicule immobile).

Exemple 8.19Le badge sans contact (RFID) (

⋆ ⋆

)

Un badge d'accès sans pile s'active en l'approchant d'un lecteur.

Comment le badge, dépourvu de pile, est-il alimenté ?
Quel rôle joue l'inductance mutuelle entre la bobine du lecteur et celle du badge ?
Pourquoi faut-il approcher le badge très près du lecteur ?

Démonstration

1. Le lecteur émet un champ magnétique alternatif ; par induction, il fait apparaître une f.é.m. dans la bobine du badge, qui alimente sa puce.

2. Le couplage par inductance mutuelle $M$ transfère l'énergie du lecteur au badge (et permet l'échange d'information par modulation).

3. Le couplage $M$ décroît rapidement avec la distance : au-delà de quelques centimètres, la f.é.m. induite devient insuffisante pour alimenter la puce.

Exemple 8.20Le micro de guitare électrique (

⋆ ⋆

)

Sous chaque corde (en acier) d'une guitare électrique, un aimant entouré d'une bobine constitue le « micro ».

L'aimant aimante la corde ; pourquoi la vibration de la corde induit-elle une tension dans la bobine ?
À quelle fréquence est la tension induite, par rapport à la corde ?
Pourquoi une corde en nylon ne produit-elle aucun signal ?

Démonstration

1. La corde aimantée vibre : le flux magnétique qu'elle envoie à travers la bobine varie ; par Faraday, une f.é.m. $e = - d Φ/ d t$ apparaît.

2. Le flux varie à la fréquence de vibration de la corde : la tension induite a donc la même fréquence que la note jouée (transformée ensuite en son par l'ampli).

3. Le nylon n'est pas ferromagnétique : il ne modifie pas le flux de l'aimant, aucune f.é.m. n'est induite. D'où l'usage de cordes en acier sur les guitares électriques.

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