Champ magnétique et forces de Laplace

Cours complet · électricité (MP2I), chapitre 7 · CPGE MP2I (1re année)

Aimants, moteurs, haut-parleurs, IRM : le champ magnétique $B$ est partout. Créé par des aimants ou des courants, il exerce sur les courants la force de Laplace, et sur les boucles de courant un couple qui tend à les aligner — c'est le principe du moteur électrique. Ce chapitre ouvre la partie induction et forces de Laplace : il décrit le champ, ses cartes, le moment magnétique, puis les actions mécaniques qu'il produit.

7.1 Le champ magnétique

Définition 7.1Champ magnétique

Le champ magnétique $B$ (en teslas, $T$ ) est un champ vectoriel créé par des aimants ou des courants. On le visualise par des lignes de champ (cartes de champ) : resserrées là où il est intense.

ImportantCartes et ordres de grandeur

Cartes usuelles : l'aimant droit et la spire ont des lignes qui sortent d'un pôle et entrent dans l'autre ; la bobine longue (solénoïde) crée un champ quasi uniforme à l'intérieur (lignes parallèles). Ordres de grandeur : champ terrestre $\sim 1 0^{- 5} T$ , aimant usuel $\sim 0, 1$ à $1 T$ , IRM $\sim 1$ à $3 T$ . Les symétries et invariances de la distribution de courant se retrouvent dans celles du champ.

Définition 7.2Moment magnétique

Une boucle de courant plane d'aire $S$ parcourue par $I$ possède un moment magnétique

$m = I S n (A m^{2}),$

$n$ étant la normale orientée par la règle de la main droite. À un aimant on associe, par analogie, un moment magnétique dirigé du pôle Sud vers le pôle Nord.

7.2 La force de Laplace

Définition 7.3Force de Laplace

Un élément de circuit $d ℓ$ parcouru par $I$ , placé dans un champ extérieur $B$ , subit la force de Laplace

$d F = I d ℓ \land B$

( $B$ est le champ subi : un courant ne subit pas son propre champ).

Proposition 7.4Barre dans un champ uniforme

Pour une barre rectiligne de longueur $ℓ$ parcourue par $I$ dans un champ uniforme $B$ , la résultante est $F = I ℓ \land B$ , de norme $F = B I ℓ$ si $ℓ ⊥ B$ . Sa puissance (barre en mouvement à $v$ ) est $P = F \cdot v$ .

7.3 Couple sur une spire ; moment magnétique

◆Théorème 7.5Couple de Laplace

Une spire de moment magnétique $m$ dans un champ uniforme $B$ subit un couple

$Γ = m \land B Γ = m B sin θ,$

qui tend à aligner $m$ avec $B$ . C'est le principe du moteur électrique et du galvanomètre.

7.4 Action sur un aimant ; champ tournant

ImportantBoussole et champ tournant

Un aimant (moment $m$ ) dans un champ uniforme s'oriente comme une boussole : position d'équilibre stable quand $m$ est parallèle à $B$ , instable quand il est antiparallèle. Un champ tournant (créé par plusieurs bobines déphasées) entraîne l'aimant en rotation : c'est le principe du moteur synchrone.

Capacité numérique : Couple sur une spire en fonction de l'angle


import numpy as np

m, B = 0.5, 0.2           # moment magnetique (A.m2), champ (T)
for theta_deg in (0, 30, 90, 150, 180):
    theta = np.radians(theta_deg)
    Gamma = m * B * np.sin(theta)        # moment du couple : m B sin(theta)
    print("theta =", theta_deg, "deg -> couple =", round(Gamma, 4), "N.m")

Le couple est nul à $0^{\circ}$ (équilibre stable) et $18 0^{\circ}$ (instable), maximal à $9 0^{\circ}$ : le champ « tire » la spire vers l'alignement.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>7.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Ordres de grandeur (

⋆

)

Classer par intensité croissante : champ terrestre, aimant de réfrigérateur, IRM.

Démonstration

Champ terrestre $\sim 5 \times 1 0^{- 5} T$ $<$ aimant $\sim 0.1 T$ $<$ IRM $\sim 1.5 T$ .

Exercice 2 : Moment magnétique (

⋆

)

Une spire carrée de côté $5 cm$ est parcourue par $2 A$ . Calculer son moment magnétique.

Démonstration

$S = (0, 05)^{2} = 2.5 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ , $m = I S = 2 \times 2, 5 \times 1 0^{- 3} = 5 \times 1 0^{- 3} A m^{2}$ .

Exercice 3 : Force de Laplace (

⋆ ⋆

)

Une barre de $20 cm$ parcourue par $5 A$ est placée perpendiculairement à un champ $B = 0.4 T$ . Calculer la force.

Démonstration

$F = B I ℓ = 0, 4 \times 5 \times 0, 20 = 0.4 N$ , perpendiculaire à la barre et au champ (direction donnée par $ℓ \land B$ ).

Exercice 4 : Couple sur une spire (

⋆ ⋆

)

La spire de l'exercice 2 ( $m = 5 \times 1 0^{- 3} A m^{2}$ ) est dans un champ $B = 0.3 T$ , son moment faisant $3 0^{\circ}$ avec $B$ . Couple subi ?

Démonstration

$Γ = m B sin θ = 5 \times 1 0^{- 3} \times 0, 3 \times sin 3 0^{\circ} = 5 \times 1 0^{- 3} \times 0, 3 \times 0, 5 = 7.5 \times 1 0^{- 4} Nm$ .

Exercice 5 : Lecture d'une carte (

⋆ ⋆

)

Sur une carte de champ, comment repère-t-on une zone de champ uniforme et une zone de champ intense ?

Démonstration

Champ uniforme : lignes de champ parallèles et équidistantes (intérieur d'un solénoïde). Champ intense : lignes resserrées (près des pôles d'un aimant). Les sources sont aux endroits d'où partent/arrivent les lignes.

Exercice 6 : Boussole (

⋆ ⋆

)

Pourquoi l'aiguille d'une boussole s'oriente-t-elle vers le nord ?

Démonstration

L'aiguille est un petit aimant (moment $m$ ) ; le couple $Γ = m \land B_{terrestre}$ l'amène à sa position d'équilibre stable, $m$ aligné sur le champ terrestre, donc pointant vers le nord magnétique.

Exercice 7 : Puissance de Laplace (

⋆ ⋆

)

Une barre soumise à une force de Laplace $F = 0.4 N$ se déplace à $v = 2 m / s$ dans le sens de la force. Quelle puissance reçoit-elle ?

Démonstration

$P = F v = 0, 4 \times 2 = 0.8 W$ : c'est la puissance mécanique fournie à la barre (conversion électrique $\to$ mécanique, chapitre 9).

Exercice 8 : Champ tournant (

⋆ ⋆ ⋆

)

Expliquer comment un champ magnétique tournant peut faire tourner une aiguille aimantée, et le lien avec le moteur synchrone.

Démonstration

À chaque instant, le couple $Γ = m \land B$ tend à aligner l'aiguille sur $B$ . Si $B$ tourne, l'aiguille le suit pour rester alignée : elle tourne à la même vitesse (synchrone). En créant un champ tournant avec plusieurs bobines alimentées en courants déphasés, on entraîne ainsi un rotor : c'est le moteur synchrone.

7.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Champ magnétique $B$ (T) : cartes (aimant, spire, solénoïde uniforme) ; OG (terrestre $1 0^{- 5}$ , aimant $0, 1$ – $1$ , IRM $1$ – $3$ T).
Moment magnétique d'une boucle : $m = I S n$ .
Force de Laplace : $d F = I d ℓ \land B$ ; barre $F = B I ℓ$ ; puissance $F \cdot v$ .
Couple sur une spire/aimant : $Γ = m \land B$ ( $Γ = m B sin θ$ ), aligne $m$ sur $B$ (équilibre stable parallèle).
Champ tournant $\Rightarrow$ entraînement (moteur synchrone).

7.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Moment magnétique d'une bobine de $N = 100$ spires d'aire $10 c m^{2}$ parcourue par $0.5 A$ ( $m = N I S$ ).

( $⋆$ ) Donner la direction de la force de Laplace sur un fil vertical parcouru vers le haut, dans un champ horizontal.

( $⋆ ⋆$ ) Force sur une barre de $30 cm$ , $10 A$ , dans $B = 0.2 T$ à $6 0^{\circ}$ de la barre.

( $⋆ ⋆$ ) Couple maximal sur une spire de moment $0.01 A m^{2}$ dans $B = 0.5 T$ .

( $⋆ ⋆$ ) Tracer l'allure des lignes de champ d'un aimant droit et d'un solénoïde.

( $⋆ ⋆$ ) Positions d'équilibre d'un aimant dans un champ uniforme : lesquelles sont stables ?

( $⋆ ⋆$ ) Puissance reçue par une barre se déplaçant à $1.5 m / s$ sous une force de $0.6 N$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi un courant ne subit-il pas son propre champ magnétique ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, déterminer l'angle pour lequel le couple vaut la moitié de sa valeur maximale.

( $⋆ ⋆$ ) Décrire le principe du haut-parleur (force de Laplace sur une bobine mobile).

( $⋆ ⋆$ ) Expliquer pourquoi un moteur a besoin que le couple change de signe au bon moment (rôle du collecteur).

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Énergie potentielle d'un moment magnétique dans un champ : montrer que $E_{p} = - m \cdot B$ et retrouver les positions d'équilibre.

7.8 Problèmes contextualisés

La force et le couple de Laplace font fonctionner haut-parleurs, moteurs, lanceurs électromagnétiques, boussoles et galvanomètres.

Exemple 7.14Le haut-parleur (

⋆ ⋆

)

Une bobine mobile de $N = 50$ spires de rayon $r = 2 cm$ , parcourue par $I = 0.5 A$ , baigne dans un champ radial $B = 1.0 T$ créé par un aimant. Elle est solidaire de la membrane.

Calculer la longueur totale de fil dans le champ, puis la force de Laplace.
Dans quel sens agit la force, et comment produit-elle un son ?
Pourquoi le son suit-il fidèlement le courant (donc le signal audio) ?

Démonstration

1. Longueur $ℓ = N \times 2 π r = 50 \times 2 π \times 0, 02 \approx 6.3 m$ . Force $F = B I ℓ = 1, 0 \times 0, 5 \times 6, 3 \approx 3.1 N$ .

2. La force, axiale, déplace la bobine et la membrane d'avant en arrière : la membrane comprime/détend l'air, créant une onde sonore.

3. $F = B I ℓ \propto I$ : la force (donc le déplacement) est proportionnelle au courant. Le signal audio (courant) est ainsi reproduit fidèlement en mouvement, donc en son.

Exemple 7.15Le moteur à courant continu (

⋆ ⋆

)

Une spire parcourue par un courant, dans un champ uniforme, subit le couple $Γ = m \land B$ .

Pourquoi, sans dispositif particulier, la spire s'arrêterait-elle en position d'équilibre au lieu de tourner ?
Quel est le rôle du collecteur (inversion du courant à chaque demi-tour) ?
Où le couple est-il maximal, où est-il nul ?

Démonstration

1. Le couple amène $m$ parallèle à $B$ (équilibre stable) puis s'annule : la spire oscillerait et s'arrêterait là.

2. Le collecteur inverse le sens du courant juste après le passage par l'équilibre : le couple repart dans le même sens de rotation, entretenant le mouvement.

3. $Γ = m B sin θ$ : maximal à $θ = 9 0^{\circ}$ ( $m ⊥ B$ ), nul à $0^{\circ}$ et $18 0^{\circ}$ .

Exemple 7.16Le canon électromagnétique (railgun) (

⋆ ⋆ ⋆

)

Deux rails distants de $L = 1.0 m$ portent un projectile conducteur ; un courant $I = 1.0 \times 1 0^{6} A$ le traverse, dans un champ $B = 10 T$ .

Calculer la force de Laplace propulsant le projectile.
Pour une masse $m = 2 kg$ , estimer l'accélération.
Pourquoi de telles intensités sont-elles nécessaires, et difficiles à maintenir ?

Démonstration

1. $F = B I L = 10 \times 1 0^{6} \times 1, 0 = 1 0^{7} N$ ( $10 MN$ ).

2. $a = \frac{F}{m} = \frac{1 0 ^{7}}{2} = 5 \times 1 0^{6} m / s^{2}$ ( $\approx 5 \times 1 0^{5} g$ ) : le projectile atteint plusieurs $km / s$ en quelques millisecondes.

3. La force $\propto I$ : il faut des courants colossaux, qui échauffent et érodent les rails par effet Joule — d'où la difficulté technologique des railguns.

Exemple 7.17La boussole et la déclinaison (

⋆ ⋆

)

L'aiguille d'une boussole (moment $m$ ) s'aligne sur la composante horizontale du champ terrestre.

Quel couple oriente l'aiguille, et vers quelle position d'équilibre ?
Le « nord magnétique » coïncide-t-il avec le « nord géographique » ?
Pourquoi une masse métallique (voiture, ferraille) perturbe-t-elle la boussole ?

Démonstration

1. Le couple $Γ = m \land B$ amène $m$ aligné sur $B$ (équilibre stable) : l'aiguille pointe vers le nord magnétique.

2. Non : l'écart angulaire est la déclinaison magnétique (variable selon le lieu et l'époque), car les pôles magnétique et géographique diffèrent.

3. Une masse ferromagnétique déforme localement les lignes de champ : le champ subi par l'aiguille n'est plus celui de la Terre seule, d'où une déviation.

Exemple 7.18Le galvanomètre à cadre mobile (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un cadre de $N$ spires d'aire $S$ , parcouru par $I$ , dans un champ radial $B$ , subit un couple de Laplace équilibré par un ressort de constante $k$ (couple de rappel $k θ$ ).

Écrire l'équilibre des couples et en déduire l'angle $θ$ .
Montrer que la déviation est proportionnelle au courant.
Pourquoi un champ radial est-il important pour la linéarité ?

Démonstration

1. À l'équilibre, couple de Laplace $=$ couple de rappel : $N B S I = k θ$ , d'où $θ = \frac{N B S}{k} I$ .

2. $θ \propto I$ : la déviation de l'aiguille est proportionnelle au courant $\Rightarrow$ graduation linéaire.

3. Un champ radial garde le couple $= N B S I$ indépendant de l'angle (le $sin θ$ est éliminé car $m$ reste perpendiculaire à $B$ ) : sans cela, la graduation ne serait pas linéaire.

Exemple 7.19Le moteur synchrone et le champ tournant (

⋆ ⋆

)

Un moteur synchrone possède un rotor aimanté entraîné par un champ tournant créé par des bobines alimentées par le secteur ( $f = 50 Hz$ ).

À quelle condition le rotor « suit »-il le champ ?
Pour une machine à une paire de pôles, quelle est la vitesse de rotation (en tours par minute) ?
Que se passe-t-il si on charge trop le moteur (couple résistant trop grand) ?

Démonstration

1. Le couple $m \land B$ maintient le rotor aligné sur le champ : il tourne à la même vitesse que le champ (vitesse synchrone).

2. Le champ tourne à $f = 50 Hz$ , soit $50$ tours/s $= 3000 t r / min$ (une paire de pôles).

3. Si le couple résistant dépasse le couple maximal, le rotor « décroche » : il ne suit plus le champ et s'arrête (perte de synchronisme).

Exemple 7.20La balance de courant et la définition de l'ampère (

⋆ ⋆

)

Deux fils parallèles parcourus par des courants exercent l'un sur l'autre une force de Laplace. Pour deux fils distants de $1 m$ parcourus par $1 A$ , la force par unité de longueur vaut $2 \times 1 0^{- 7} N / m$ .

Les courants étant de même sens, les fils s'attirent-ils ou se repoussent-ils ?
Pourquoi cette expérience a-t-elle servi à définir l'ampère ?
Que devient la force si l'on double les deux courants ?

Démonstration

1. Deux courants de même sens s'attirent (la force de Laplace exercée par le champ de l'un sur l'autre est attractive) ; de sens contraires, ils se repoussent.

2. La force est parfaitement reproductible et mesurable (balance de courant) : elle reliait l'ampère à des grandeurs mécaniques, d'où l'ancienne définition de l'ampère.

3. La force $\propto I_{1} I_{2}$ : en doublant les deux courants, elle est multipliée par $4$ .

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