Le circuit linéaire du premier ordre

Cours complet · électricité (MPSI), chapitre 3 · CPGE MPSI (1re année)

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Quand on ferme un interrupteur, un circuit ne passe pas instantanément à son état final : il traverse un régime transitoire avant d'atteindre le régime permanent. Les circuits comportant un condensateur ou une bobine (circuits RC, RL) sont régis par une équation différentielle du premier ordre dont la solution est une exponentielle, caractérisée par une constante de temps $τ$ . On apprend à l'établir, à la résoudre, à l'intégrer numériquement (méthode d'Euler) et à dresser le bilan d'énergie.

3.1 Régimes transitoire et permanent

Définition 3.1

Après une modification du circuit (échelon de tension, fermeture d'un interrupteur), les grandeurs évoluent pendant le régime transitoire puis se stabilisent dans le régime permanent (établi). En régime permanent continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert ( $i = 0$ ) et une bobine comme un fil ( $u = 0$ ).

3.2 Mise en équation

Méthode : EDO d'un circuit RC

Un condensateur $C$ se charge à travers une résistance $R$ depuis une source $E$ (échelon). La loi des mailles donne $E = R i + u_{C}$ avec $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ , d'où

$R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E ⟺ τ \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = u_{\infty}, τ = R C .$

Pour un circuit RL, on obtient de même $\frac{L}{R} \frac{d i}{d t} + i = i_{\infty}$ , avec $τ = \frac{L}{R}$ .

ImportantContinuité

La condition initiale vient de la continuité : $u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-})$ (tension du condensateur) et $i_{L} (0^{+}) = i_{L} (0^{-})$ (intensité dans la bobine). Ces grandeurs ne sautent jamais.

3.3 Réponse à un échelon

◆Théorème 3.2Solution

La solution de $τ u ˙ + u = u_{\infty}$ avec la condition initiale $u (0) = u_{0}$ est

$u (t) = u_{\infty} + (u_{0} - u_{\infty}) e^{- t / τ}$

Charge d'un condensateur initialement déchargé ( $u_{0} = 0$ , $u_{\infty} = E$ ) : $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ . Régime libre (décharge, $u_{\infty} = 0$ ) : $u_{C} (t) = u_{0} e^{- t / τ}$ .

ImportantConstante de temps

$τ$ fixe la durée du régime transitoire : à $t = τ$ , la grandeur a effectué $63 %$ de sa variation ; à $t = 5 τ$ , plus de $99 %$ : le régime permanent est quasi atteint. La tangente à l'origine atteint la valeur finale en $t = τ$ .

Capacité numérique : Réponse par la méthode d'Euler

On résout numériquement $\frac{d u}{d t} = \frac{E - u}{τ}$ par le schéma d'Euler explicite $u_{n + 1} = u_{n} + d t \cdot \frac{E - u _{n}}{τ}$ (capacité numérique du programme).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

E, R, C = 5.0, 1e3, 1e-6        # echelon (V), R (ohm), C (F)
tau = R * C                     # constante de temps
dt = tau / 50                   # pas de temps << tau
t = np.arange(0.0, 6 * tau, dt)
u = np.zeros_like(t)            # u[0] = 0 : condensateur decharge
for n in range(len(t) - 1):
    u[n+1] = u[n] + dt * (E - u[n]) / tau      # Euler explicite
plt.plot(t * 1e3, u); plt.axhline(E, linestyle="--")
plt.xlabel("t (ms)"); plt.ylabel("u_C (V)"); plt.show()
print("tau =", tau * 1e3, "ms")

La courbe rejoint $E$ ; diminuer $d t$ rapproche le résultat de la solution exacte $E (1 - e^{- t / τ})$ .

3.4 Bilan d'énergie

ImportantCharge d'un condensateur

Pour charger un condensateur de $0$ à $E$ à travers $R$ , la source fournit $W_{source} = E q = C E^{2}$ . Le condensateur stocke $\frac{1}{2} C E^{2}$ ; le reste, $\frac{1}{2} C E^{2}$ , est dissipé par effet Joule dans $R$ — indépendamment de la valeur de $R$ ! Le rendement de la charge est donc de $50 %$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Constante de temps (

⋆

)

Un circuit RC a $R = 10 k Ω$ et $C = 1 μ F$ . Donner $τ$ et la durée du régime transitoire.

Démonstration

$τ = R C = 1 0^{4} \times 1 0^{- 6} = 1 0^{- 2} s = 10 ms$ . Le régime permanent est atteint après $\approx 5 τ = 50 ms$ .

Exercice 2 : Continuité (

⋆

)

Un condensateur déchargé est brusquement relié à une source $E$ via $R$ . Que vaut $u_{C} (0^{+})$ et $i (0^{+})$ ?

Démonstration

Continuité : $u_{C} (0^{+}) = u_{C} (0^{-}) = 0$ . La loi des mailles donne alors $i (0^{+}) = \frac{E - u _{C} ( 0 ^{+} )}{R} = \frac{E}{R}$ (courant maximal à l'instant initial).

Exercice 3 : Charge (

⋆ ⋆

)

Donner $u_{C} (t)$ pour la charge d'un condensateur initialement déchargé sous un échelon $E$ , et le temps pour atteindre $0, 90 E$ .

Démonstration

$u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ . On veut $1 - e^{- t / τ} = 0, 90$ , soit $e^{- t / τ} = 0, 10$ , $t = τ ln 10 \approx 2, 3 τ$ .

Exercice 4 : Décharge (

⋆ ⋆

)

Un condensateur chargé à $u_{0} = 6 V$ se décharge dans $R$ . Donner $u_{C} (t)$ et sa valeur à $t = 2 τ$ .

Démonstration

Régime libre : $u_{C} (t) = u_{0} e^{- t / τ} = 6 e^{- t / τ}$ . À $t = 2 τ$ : $u_{C} = 6 e^{- 2} \approx 6 \times 0, 135 \approx 0.81 V$ .

Exercice 5 : Circuit RL (

⋆ ⋆

)

Une bobine $L = 0.1 H$ en série avec $R = 50 Ω$ est soumise à un échelon de tension. Donner la constante de temps et la loi $i (t)$ .

Démonstration

$τ = \frac{L}{R} = \frac{0 , 1}{50} = 2 ms$ . Avec $i (0) = 0$ (continuité) et $i_{\infty} = E / R$ : $i (t) = \frac{E}{R} (1 - e^{- t / τ})$ .

Exercice 6 : Temps de réponse (

⋆ ⋆

)

Au bout de combien de constantes de temps la grandeur atteint-elle $99 %$ de sa valeur finale ?

Démonstration

$1 - e^{- t / τ} = 0, 99 \Rightarrow e^{- t / τ} = 0, 01 \Rightarrow t = τ ln 100 \approx 4, 6 τ$ . On retient $\approx 5 τ$ .

Exercice 7 : Bilan énergétique (

⋆ ⋆

)

Lors de la charge d'un condensateur $C$ sous $E$ à travers $R$ , quelle fraction de l'énergie fournie par la source est dissipée dans $R$ ?

Démonstration

La source fournit $W = C E^{2}$ , le condensateur stocke $\frac{1}{2} C E^{2}$ ; la résistance dissipe $W - \frac{1}{2} C E^{2} = \frac{1}{2} C E^{2}$ , soit la moitié — quelle que soit $R$ . Le rendement de charge est de $50 %$ .

Exercice 8 : Échelon avec condition initiale (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un condensateur est à $u_{0} = 2 V$ quand on applique un échelon portant la tension finale à $E = 8 V$ . Donner $u_{C} (t)$ .

Démonstration

Formule générale : $u_{C} (t) = u_{\infty} + (u_{0} - u_{\infty}) e^{- t / τ} = 8 + (2 - 8) e^{- t / τ} = 8 - 6 e^{- t / τ}$ . À $t = 0$ : $u_{C} = 2$ ; à $t \to \infty$ : $u_{C} \to 8$ (cohérent).

3.6 Synthèse du chapitre

À retenir

EDO 1er ordre : $τ u ˙ + u = u_{\infty}$ , $τ = R C$ (ou $L / R$ ).
Continuité : $u_{C}$ et $i_{L}$ continues $\Rightarrow$ condition initiale.
Solution : $u (t) = u_{\infty} + (u_{0} - u_{\infty}) e^{- t / τ}$ ; charge $E (1 - e^{- t / τ})$ , décharge $u_{0} e^{- t / τ}$ .
Constante de temps $τ$ : $63 %$ en $τ$ , $\approx 99 %$ en $5 τ$ ; tangente à l'origine atteint la valeur finale en $τ$ .
Euler : $u_{n + 1} = u_{n} + d t (u_{\infty} - u_{n}) / τ$ .
Bilan : charger un condensateur à travers $R$ dissipe $50 %$ de l'énergie (indépendamment de $R$ ).

3.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Constante de temps d'un circuit RL avec $L = 50 mH$ , $R = 100 Ω$ .

( $⋆$ ) Tracer la charge et la décharge d'un condensateur sur un même graphe.

( $⋆ ⋆$ ) Établir l'EDO d'un circuit RC en décharge (sans source).

( $⋆ ⋆$ ) Temps pour qu'un condensateur perde $90 %$ de sa charge.

( $⋆ ⋆$ ) Pour un circuit RL, que vaut $i$ juste après la fermeture, et en régime permanent ?

( $⋆ ⋆$ ) Déterminer $τ$ à partir d'un relevé expérimental (méthode de la tangente à l'origine, ou du temps à $63 %$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Énergie dissipée lors de la décharge complète d'un condensateur chargé sous $E$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi le courant dans une bobine ne peut-il pas être discontinu à la fermeture d'un interrupteur ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, comparer la solution d'Euler à la solution exacte pour $d t = τ /5$ puis $τ /100$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un circuit RC est soumis à un créneau de période $T$ . Que se passe-t-il si $T ≫ τ$ ? si $T ≪ τ$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Établir le bilan énergétique de l'établissement du courant dans un circuit RL.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Montrer que le rendement de $50 %$ de la charge d'un condensateur ne dépend ni de $R$ ni de $C$ , et discuter comment l'améliorer (charge progressive).

3.8 Problèmes contextualisés

La constante de temps $τ$ règle une foule de dispositifs : minuteries, flashs, clignotants, anti-rebond, relais, sauvegardes d'horloge.

Exemple 3.11La minuterie d'escalier (

⋆ ⋆

)

Une minuterie éteint la lumière quand la tension d'un condensateur, en décharge dans une résistance, passe sous un seuil. On veut une durée d'éclairage d'environ $3 min$ avec $C = 100 μ F$ .

La décharge suit $u (t) = u_{0} e^{- t / τ}$ . Si le seuil d'extinction est à $u_{0} / e$ (soit après une constante de temps), quelle valeur de $τ$ faut-il ?
En déduire la résistance $R$ .
Comment régler une durée plus longue sans changer $C$ ?

Démonstration

1. Extinction à $u_{0} / e$ correspond à $t = τ$ : il faut $τ = 180 s$ .

2. $τ = R C \Rightarrow R = \frac{τ}{C} = \frac{180}{100 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.8 \times 1 0^{6} Ω = 1.8 M Ω$ .

3. On augmente $R$ (ou $C$ ) : $τ = R C$ croît, la décharge est plus lente, l'éclairage dure plus longtemps.

Exemple 3.12Le temps de recharge d'un flash (

⋆ ⋆

)

Le flash d'un appareil photo charge un condensateur $C = 300 μ F$ à travers une résistance $R = 2 k Ω$ depuis la pile.

Calculer la constante de temps de charge.
Au bout de combien de temps le flash est-il « prêt » (charge à $99 %$ ) ?
Pourquoi un témoin « flash prêt » s'allume-t-il avec un délai après la photo ?

Démonstration

1. $τ = R C = 2000 \times 300 \times 1 0^{- 6} = 0.6 s$ .

2. À $99 %$ : $t \approx 5 τ = 3 s$ .

3. Après un flash, le condensateur est vidé : il faut $\approx 5 τ$ pour le recharger. Le témoin s'allume à la fin de cette recharge, d'où le délai entre deux flashs.

Exemple 3.13Le clignotant (

⋆ ⋆

)

Un clignotant utilise un oscillateur de relaxation RC : le condensateur se charge puis se décharge en commutant, avec une période de l'ordre de $τ = R C$ .

Pour une fréquence de clignotement de $1.5 Hz$ , estimer l'ordre de grandeur de $τ$ .
Avec $C = 10 μ F$ , quelle résistance ?
Pourquoi un clignotant « bat plus vite » quand une ampoule est grillée (sur les anciens véhicules) ?

Démonstration

1. $T = 1/ f \approx 0.67 s$ , du même ordre que $τ$ : $τ \sim 0.3 s$ (à un facteur près selon le montage).

2. $R = \frac{τ}{C} \approx \frac{0 , 3}{10 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 3 \times 1 0^{4} Ω = 30 k Ω$ .

3. Une ampoule grillée change le courant donc la « charge » du circuit, ce qui modifie la constante de temps effective : la cadence s'accélère, signalant la panne.

Exemple 3.14L'anti-rebond d'un bouton (

⋆ ⋆

)

À la pression, le contact d'un bouton « rebondit » pendant $\approx 1 ms$ , créant de fausses impulsions. On lisse avec un circuit RC.

Quelle condition sur $τ$ pour « gommer » des rebonds de $1 ms$ tout en restant réactif (< $50 ms$ ) ?
Proposer un couple $(R, C)$ pour $τ = 10 ms$ .
Pourquoi la continuité de $u_{C}$ est-elle exactement ce qui lisse le signal ?

Démonstration

1. Il faut $1 ms ≪ τ ≪ 50 ms$ : un $τ$ de l'ordre de $10 ms$ convient (lent devant les rebonds, rapide à l'échelle humaine).

2. $τ = R C = 10 ms$ : par exemple $R = 10 k Ω$ , $C = 1 μ F$ .

3. La tension du condensateur ne peut pas sauter : les brèves impulsions de rebond n'ont pas le temps de la faire varier notablement (durée $≪ τ$ ), elle suit une exponentielle douce, que la logique interprète comme un seul front.

Exemple 3.15La diode de roue libre d'un relais (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un relais contient une bobine ( $L$ ) commandée par un transistor. À l'ouverture, le courant $i_{L}$ est brutalement coupé.

Pourquoi cette coupure menace-t-elle de détruire le transistor ?
On place une diode de roue libre en parallèle sur la bobine : comment permet-elle au courant de « continuer » à circuler ?
Relier cela à la continuité de $i_{L}$ .

Démonstration

1. Couper $i_{L}$ impose $d i / d t$ très grand, donc $u = L d i / d t$ une surtension qui claque sur le transistor (le détruit).

2. La diode offre un chemin où le courant de la bobine s'écoule et décroît progressivement ( $τ = L / R$ du circuit de roue libre), au lieu d'être interrompu.

3. $i_{L}$ devant rester continu, il faut bien lui offrir un chemin à l'ouverture : la diode de roue libre matérialise cette continuité et protège le circuit.

Exemple 3.16Le condensateur de sauvegarde d'horloge (

⋆ ⋆

)

Lorsqu'on change la pile d'un appareil, un condensateur maintient l'alimentation de l'horloge interne. Il se décharge dans la consommation de l'horloge, modélisée par $R = 1 M Ω$ , avec $C = 0.47 F$ (supercondensateur).

Calculer la constante de temps.
Pendant combien de temps (ordre de grandeur) la tension reste-t-elle « suffisante » (disons $> u_{0} / e$ ) ?
Pourquoi un supercondensateur (grande $C$ ) plutôt qu'un condensateur ordinaire ?

Démonstration

1. $τ = R C = 1 0^{6} \times 0, 47 \approx 4.7 \times 1 0^{5} s$ (plusieurs jours !).

2. La tension reste au-dessus de $u_{0} / e$ pendant $\approx τ$ , soit $\approx 5 j$ : largement de quoi changer la pile.

3. Une grande capacité $C$ donne un grand $τ = R C$ : la décharge est lente. Un condensateur ordinaire ( $μ F$ ) se viderait en une fraction de seconde.

Exemple 3.17Pourquoi recharger vite « gaspille » (

⋆ ⋆ ⋆

)

Charger un condensateur à travers une simple résistance dissipe toujours $50 %$ de l'énergie fournie.

Rappeler le bilan : énergie fournie par la source, stockée, dissipée.
Ce rendement dépend-il de $R$ ? Que se passe-t-il si l'on diminue $R$ pour charger plus vite ?
Comment les chargeurs modernes dépassent-ils ce rendement de $50 %$ ?

Démonstration

1. Source : $C E^{2}$ ; stockée : $\frac{1}{2} C E^{2}$ ; dissipée dans $R$ : $\frac{1}{2} C E^{2}$ (la moitié).

2. Le rendement ( $50 %$ ) est indépendant de $R$ : charger plus vite (petit $R$ ) ne change rien à l'énergie gaspillée, seulement à la durée.

3. On remplace la résistance par un convertisseur à découpage (alimentation à inductance), qui transfère l'énergie sans la dissiper dans une résistance : le rendement dépasse alors largement $50 %$ .

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