Dipôles linéaires, énergie et associations

Cours complet · électricité (MPSI), chapitre 2 · CPGE MPSI (1re année)

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Un circuit est un assemblage de dipôles. Ce chapitre présente les dipôles linéaires fondamentaux — résistance, condensateur, bobine, sources — leurs relations entre courant et tension, l'énergie qu'ils dissipent ou stockent, puis les règles d'association (série, parallèle, diviseurs) et la notion de résistances d'entrée et de sortie, essentielle pour comprendre les mesures et les montages en cascade.

2.1 Les dipôles linéaires

Définition 2.1Relations courant-tension (convention récepteur)

$r e ˊ sistance condensateur bobine u = R i i = C \frac{d u}{d t} u = L \frac{d i}{d t} (R en Ω), (C en F), (L en H) .$

Ordres de grandeur : $R \sim Ω$ à $M Ω$ ; $C \sim$ $pF$ à $mF$ ; $L \sim$ $mH$ à $H$ .

Définition 2.2Sources

Une source idéale de tension impose une tension $E$ indépendante du courant ; une source idéale de courant impose un courant indépendant de la tension. Ce sont des modèles linéaires.

2.2 Puissance et énergie

◆Théorème 2.3Effet Joule et énergies stockées

$r e ˊ sistance : P = u i = R i^{2} = \frac{u ^{2}}{R} \geq 0 (dissip e ˊ e, Joule),$

$condensateur : E_{C} = \frac{1}{2} C u^{2}, bobine : E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2} .$

La résistance dissipe (irréversiblement) ; le condensateur et la bobine stockent l'énergie (récupérable).

ImportantContinuités

L'énergie stockée ne peut varier brutalement : la tension d'un condensateur $u_{C}$ et l'intensité dans une bobine $i_{L}$ sont continues (résultat fondamental pour les régimes transitoires, chapitre 3).

2.3 Modèle de Thévenin d'une source réelle

Définition 2.4Modèle de Thévenin

Une source réelle se modélise par une source idéale de f.é.m. $E$ en série avec une résistance interne $r$ . En convention générateur :

$u = E - r i .$

La tension délivrée diminue quand le courant débité augmente.

2.4 Associations et diviseurs

◆Théorème 2.5Associations de résistances

$s e ˊ rie : R_{eq} = R_{1} + R_{2}, parall e ˋ le : \frac{1}{R _{eq}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} (R_{eq} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}) .$

Méthode : Diviseurs

$diviseur de tension (R_{1}, R_{2} en s e ˊ rie) : u_{2} = u \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}},$

$diviseur de courant (R_{1}, R_{2} en parall e ˋ le) : i_{1} = i \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} .$

2.5 Résistances d'entrée et de sortie

Définition 2.6Résistance d'entrée, de sortie

La résistance de sortie caractérise un dispositif qui délivre un signal (la $r$ de Thévenin d'une source, d'un GBF) ; la résistance d'entrée caractérise un dispositif qui reçoit un signal (voltmètre, oscilloscope, étage suivant).

ImportantEffet de charge

Pour mesurer une tension sans perturber le circuit, il faut une résistance d'entrée grande devant les résistances du circuit ; pour délivrer un signal sans qu'il s'effondre sous charge, une résistance de sortie faible. Un appareil réel modifie donc légèrement la grandeur mesurée (effet de charge).

Capacité numérique : Effet de charge d'un voltmètre

On mesure la sortie d'un diviseur de tension avec un voltmètre de résistance d'entrée $R_{v}$ finie : il se met en parallèle sur $R_{2}$ et perturbe la mesure.


E, R1, R2 = 10.0, 1e4, 1e4        # source (V), resistances (ohm)
ideal = E * R2 / (R1 + R2)        # tension sans voltmetre (= 5.0 V)
for Rv in (1e5, 1e6, 1e8):        # resistance d'entree du voltmetre
    R2p = R2 * Rv / (R2 + Rv)     # R2 en parallele avec le voltmetre
    U = E * R2p / (R1 + R2p)      # tension reellement mesuree
    print("Rv =", Rv, "ohm -> U mesuree =", round(U, 3), "V  (ideal", ideal, ")")

Plus $R_{v}$ est grande devant $R_{2}$ , moins le voltmètre perturbe : la mesure tend vers la valeur idéale.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Loi d'Ohm (

⋆

)

Une résistance $R = 220 Ω$ est parcourue par $i = 50 mA$ . Quelle tension à ses bornes ? Quelle puissance dissipée ?

Démonstration

$u = R i = 220 \times 50 \times 1 0^{- 3} = 11 V$ . $P = R i^{2} = 220 \times (0, 05)^{2} = 0.55 W$ .

Exercice 2 : Énergie d'un condensateur (

⋆

)

Quelle énergie stocke un condensateur $C = 100 μ F$ chargé sous $u = 12 V$ ?

Démonstration

$E_{C} = \frac{1}{2} C u^{2} = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 0^{- 6} \times 1 2^{2} = 7.2 \times 1 0^{- 3} J = 7.2 mJ$ .

Exercice 3 : Associations (

⋆ ⋆

)

Calculer la résistance équivalente à $R_{1} = 300 Ω$ et $R_{2} = 600 Ω$ (a) en série, (b) en parallèle.

Démonstration

(a) Série : $R_{eq} = 300 + 600 = 900 Ω$ . (b) Parallèle : $R_{eq} = \frac{300 \times 600}{300 + 600} = \frac{180000}{900} = 200 Ω$ (toujours inférieure à la plus petite).

Exercice 4 : Diviseur de tension (

⋆ ⋆

)

Un diviseur $R_{1} = 1 k Ω$ , $R_{2} = 3 k Ω$ est alimenté sous $u = 12 V$ . Quelle tension aux bornes de $R_{2}$ ?

Démonstration

$u_{2} = u \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 12 \times \frac{3}{1 + 3} = 9 V$ .

Exercice 5 : Diviseur de courant (

⋆ ⋆

)

Un courant $i = 6 mA$ se partage entre $R_{1} = 200 Ω$ et $R_{2} = 100 Ω$ en parallèle. Quel courant dans $R_{1}$ ?

Démonstration

$i_{1} = i \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 6 \times \frac{100}{200 + 100} = 2 mA$ (le courant se répartit en faveur de la plus petite résistance : $R_{2}$ reçoit $4 mA$ ).

Exercice 6 : Source réelle (

⋆ ⋆

)

Une pile de f.é.m. $E = 4.5 V$ et de résistance interne $r = 0.5 Ω$ débite $i = 2 A$ . Quelle tension à ses bornes ?

Démonstration

$u = E - r i = 4, 5 - 0, 5 \times 2 = 3.5 V$ : la tension chute sous charge, d'autant plus que $r$ et $i$ sont grands.

Exercice 7 : Énergie dans une bobine (

⋆ ⋆

)

Une bobine $L = 10 mH$ est parcourue par $i = 2 A$ . Énergie stockée ? Pourquoi ne peut-on pas couper brutalement ce courant ?

Démonstration

$E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} \times 10 \times 1 0^{- 3} \times 2^{2} = 2 \times 1 0^{- 2} J = 20 mJ$ . Couper brutalement imposerait $d i / d t$ infini, donc $u = L d i / d t$ infini (étincelle de rupture) : l'intensité dans une bobine est continue.

Exercice 8 : Effet de charge (

⋆ ⋆ ⋆

)

On mesure $u_{2} = 5 V$ aux bornes de $R_{2} = 10 k Ω$ (diviseur avec $R_{1} = 10 k Ω$ , $E = 10 V$ ) avec un voltmètre de $R_{v} = 100 k Ω$ . Quelle valeur lit-on réellement ?

Démonstration

$R_{2} ∥ R_{v} = \frac{10 \times 100}{110} \approx 9.1 k Ω$ . La tension mesurée est $u = E \frac{9 , 1}{10 + 9 , 1} \approx 4.76 V$ , au lieu de $5 V$ : l'erreur ( $\approx 5 %$ ) vient de la résistance d'entrée finie. Avec $R_{v} ≫ R_{2}$ , elle deviendrait négligeable.

2.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Relations : $u = R i$ ; $i = C \frac{d u}{d t}$ ; $u = L \frac{d i}{d t}$ .
Énergie : résistance dissipe $P = R i^{2}$ (Joule) ; condensateur stocke $\frac{1}{2} C u^{2}$ ; bobine $\frac{1}{2} L i^{2}$ . Continuité de $u_{C}$ et $i_{L}$ .
Source réelle (Thévenin) : $u = E - r i$ .
Associations : série $R_{1} + R_{2}$ ; parallèle $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ . Diviseurs de tension ( $u_{2} = u \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ ) et de courant.
Mesure : résistance d'entrée grande (voltmètre) / résistance de sortie faible (source) pour limiter l'effet de charge.

2.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Puissance dissipée par $R = 1 k Ω$ sous $5 V$ .

( $⋆$ ) Charge stockée par $C = 47 μ F$ sous $9 V$ ( $q = C u$ ).

( $⋆$ ) Trois résistances de $100 Ω$ en série puis en parallèle : $R_{eq}$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Diviseur de tension pour obtenir $2 V$ à partir de $10 V$ avec $R_{1} = 4 k Ω$ : valeur de $R_{2}$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Une source réelle a $E = 12 V$ , $r = 2 Ω$ . Tracer $u (i)$ et donner le courant de court-circuit.

( $⋆ ⋆$ ) Énergie stockée par un condensateur $C = 1 mF$ chargé à $50 V$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi un oscilloscope a-t-il une grande résistance d'entrée ( $1 M Ω$ ) ?

( $⋆ ⋆$ ) Deux condensateurs en parallèle : montrer que les capacités s'ajoutent.

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, déterminer la résistance d'entrée minimale pour une erreur de mesure inférieure à $1 %$ .

( $⋆ ⋆$ ) Établir la formule du diviseur de courant à partir des lois de Kirchhoff.

( $⋆ ⋆$ ) Deux résistances en série dissipent-elles plus ou moins de puissance qu'en parallèle, sous la même tension ?

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Théorème de Thévenin : déterminer le générateur de Thévenin équivalent vu entre deux bornes d'un réseau simple (source + deux résistances).

2.9 Problèmes contextualisés

Résistances, condensateurs, bobines et sources réelles sont les briques des objets électriques : grille-pain, flash, capteurs, guirlandes, piles, bobines d'allumage, amplis.

Exemple 2.15Le grille-pain (

⋆ ⋆

)

Un grille-pain dissipe $P = 1000 W$ par effet Joule sous $U = 230 V$ .

Calculer la résistance du fil chauffant et le courant qui le traverse.
Pour chauffer plus, faut-il une résistance plus grande ou plus petite (à $U$ fixé) ?
Pourquoi le fil rougeoie-t-il alors que les fils d'alimentation, eux, restent froids ?

Démonstration

1. $R = \frac{U ^{2}}{P} = \frac{23 0 ^{2}}{1000} \approx 52.9 Ω$ ; $I = \frac{P}{U} = \frac{1000}{230} \approx 4.3 A$ .

2. À $U$ fixé, $P = U^{2} / R$ : une résistance plus petite dissipe plus de puissance.

3. La puissance dissipée se concentre là où la résistance est grande : le fil chauffant ( $52.9 Ω$ ) rougeoie, tandis que les fils d'amenée (très faible $R$ ) dissipent peu et restent froids.

Exemple 2.16Le flash et le défibrillateur (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un défibrillateur charge lentement un condensateur $C = 32 μ F$ sous $U = 5000 V$ , puis le décharge dans le patient en $τ \approx 5 ms$ .

Calculer l'énergie stockée.
Estimer la puissance moyenne délivrée pendant la décharge.
Pourquoi charger lentement mais décharger vite ?

Démonstration

1. $E_{C} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \times 32 \times 1 0^{- 6} \times (5000)^{2} = 400 J$ .

2. $P = \frac{E _{C}}{τ} = \frac{400}{5 \times 1 0 ^{- 3}} = 8 \times 1 0^{4} W = 80 kW$ .

3. La pile ne peut fournir que peu de puissance : on accumule l'énergie lentement dans le condensateur, qui la restitue en bloc (forte puissance brève), nécessaire pour « relancer » le cœur.

Exemple 2.17Le capteur à pont diviseur (

⋆ ⋆

)

Une thermistance (résistance qui diminue quand la température monte) de résistance $R_{2}$ est placée dans un diviseur avec $R_{1} = 10 k Ω$ , alimenté sous $E = 5 V$ . On lit $u_{2}$ aux bornes de la thermistance.

Exprimer $u_{2}$ en fonction de $R_{2}$ .
À froid $R_{2} = 20 k Ω$ , à chaud $R_{2} = 2 k Ω$ . Calculer $u_{2}$ dans les deux cas.
Comment ce montage transforme-t-il une température en tension mesurable ?

Démonstration

1. $u_{2} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ .

2. Froid : $u_{2} = 5 \times \frac{20}{30} \approx 3.3 V$ . Chaud : $u_{2} = 5 \times \frac{2}{12} \approx 0.83 V$ .

3. La température fait varier $R_{2}$ , donc $u_{2}$ : une mesure de tension renseigne sur la température. C'est le principe de la plupart des capteurs (thermistance, photorésistance, jauge de contrainte).

Exemple 2.18La guirlande de Noël (

⋆ ⋆

)

Dans une guirlande série, une ampoule grille (circuit ouvert). Que deviennent les autres ?
Dans une guirlande parallèle, même question.
Sous $230 V$ , pourquoi monter $50$ petites ampoules en série plutôt qu'en parallèle ?

Démonstration

1. En série, le courant est commun : une ampoule grillée ouvre le circuit, toutes s'éteignent (d'où les « shunts » modernes qui court-circuitent l'ampoule morte).

2. En parallèle, chaque ampoule est indépendante : les autres restent allumées.

3. En série, la tension $230 V$ se répartit : chaque ampoule ne voit que $230/50 \approx 4.6 V$ , donc des ampoules basse tension, bon marché et plus sûres.

Exemple 2.19La pile usée (résistance interne) (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une pile neuve a $E = 1.5 V$ , $r = 0.5 Ω$ ; usée, sa résistance interne monte à $r = 5 Ω$ .

À vide (courant nul), quelle tension lit un voltmètre dans les deux cas ?
Sous une charge demandant $i = 0.30 A$ , calculer la tension réelle aux bornes (pile neuve / usée).
Expliquer le paradoxe « la pile teste bonne mais l'appareil ne marche pas ».

Démonstration

1. À vide $i = 0$ : $u = E = 1.5 V$ dans les deux cas (le voltmètre ne débite quasiment rien).

2. $u = E - r i$ . Neuve : $1, 5 - 0, 5 \times 0, 30 \approx 1.35 V$ . Usée : $1, 5 - 5 \times 0, 30 = 0 V$ : la tension s'effondre sous charge.

3. À vide la pile usée semble bonne ( $1.5 V$ ) ; mais dès qu'on tire du courant, la chute $r i$ (grande $r$ ) annule la tension utile : l'appareil ne fonctionne pas. Il faut tester sous charge.

Exemple 2.20La bobine d'allumage (

⋆ ⋆

)

Dans une voiture à essence, une bobine ( $L$ ) produit l'étincelle de la bougie. On coupe brutalement le courant qui la traverse.

Pourquoi la coupure brutale du courant engendre-t-elle une forte tension ?
Relier qualitativement la tension produite à $L$ et à la rapidité de coupure.
Pourquoi l'intensité dans une bobine ne peut-elle pas être réellement discontinue ?

Démonstration

1. $u = L \frac{d i}{d t}$ : une variation très rapide de $i$ (coupure) produit un $d i / d t$ énorme, donc une tension très élevée (plusieurs $kV$ ) qui claque en étincelle.

2. $u$ est d'autant plus grande que $L$ est grand et que la coupure est rapide ( $d t$ petit).

3. Une discontinuité de $i$ exigerait $d i / d t$ infini, donc une tension infinie et une énergie $\frac{1}{2} L i^{2}$ dissipée en un instant : physiquement, l'étincelle (arc) écoule cette énergie. La continuité de $i_{L}$ traduit cette impossibilité d'une coupure idéale.

Exemple 2.21L'adaptation d'impédance (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une source réelle ( $E$ , résistance interne $r$ ) alimente une charge $R$ . La puissance reçue par la charge est $P = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ .

Pour quelle valeur de $R$ cette puissance est-elle maximale ? (on pourra dériver)
Que vaut alors le rendement (fraction de la puissance totale reçue par la charge) ?
Pourquoi « adapte-t-on » l'impédance d'un haut-parleur à celle de l'ampli ?

Démonstration

1. $\frac{d P}{d R} = 0$ donne $R = r$ (adaptation d'impédance) : la puissance transmise à la charge est maximale quand sa résistance égale la résistance interne.

2. En $R = r$ : la moitié de la puissance est dissipée dans $r$ , l'autre dans $R$ : rendement $= 50 %$ (maximum de puissance, pas de rendement).

3. Pour tirer le maximum de puissance sonore, on choisit un haut-parleur dont l'impédance est adaptée à la sortie de l'ampli ; une charge mal adaptée délivre moins de puissance (ou surcharge l'ampli).

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