Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance

Cours complet · électricité (MPSI), chapitre 5 · CPGE MPSI (1re année)

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Alimenté par une source sinusoïdale, un circuit linéaire atteint, après le régime transitoire, un régime sinusoïdal forcé : toutes les grandeurs oscillent à la pulsation imposée. Pour l'étudier sans résoudre d'équation différentielle, on dispose d'un outil très puissant : la représentation complexe, qui transforme les dérivées en multiplications et introduit les impédances. On en déduit le phénomène de résonance.

5.1 Représentation complexe

Définition 5.1Grandeur complexe associée

À une grandeur sinusoïdale $x (t) = X_{m} cos (ω t + φ)$ on associe l'amplitude complexe $X = X_{m} e^{j φ}$ (avec $j^{2} = - 1$ ) et la grandeur complexe $x (t) = X e^{j ω t}$ , telle que $x (t) = Re (x)$ . La dérivation devient une multiplication :

$\frac{d}{d t} ⟶ j ω .$

5.2 Les impédances complexes

Définition 5.2Impédance

L'impédance d'un dipôle est $Z = \frac{u}{i}$ ( $Ω$ ). Pour les trois dipôles linéaires :

$Z_{R} = R, Z_{L} = j L ω, Z_{C} = \frac{1}{j C ω} = - \frac{j}{C ω}$

Le module $∣ Z ∣$ relie les amplitudes, l'argument donne le déphasage entre $u$ et $i$ .

ImportantComportements limites

$∣ Z_{L} ∣ = L ω$ croît avec $ω$ : la bobine bloque les hautes fréquences (équivalente à un interrupteur ouvert en HF, à un fil en continu). $∣ Z_{C} ∣ = \frac{1}{C ω}$ décroît : le condensateur passe les hautes fréquences (équivalent à un fil en HF, à un interrupteur ouvert en continu).

◆Théorème 5.3Associations

Les impédances s'associent comme les résistances : $Z = \sum Z_{k}$ (série), $\frac{1}{Z} = \sum \frac{1}{Z _{k}}$ (parallèle). Les lois de Kirchhoff et les diviseurs s'appliquent en complexe.

5.3 Résonance du circuit RLC série

Le circuit RLC série en régime forcé a pour impédance

$Z = R + j (L ω - \frac{1}{C ω}), ∣ Z ∣ = R^{2} + (L ω - \frac{1}{C ω})^{2} .$

ImportantRésonance d'intensité

L'amplitude du courant $I_{m} = \frac{E _{m}}{∣ Z ∣}$ est maximale quand $∣ Z ∣$ est minimal, c'est-à-dire quand $L ω = \frac{1}{C ω}$ , soit $ω = ω_{0} = \frac{1}{L C}$ : c'est la résonance. Elle a lieu en $ω_{0}$ quel que soit $Q$ . La largeur (bande passante) vaut $Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}$ : plus $Q$ est grand, plus la résonance est aiguë.

La phase du courant par rapport à la tension complète la lecture : elle passe de $+ \frac{π}{2}$ (comportement capacitif, $ω < ω_{0}$ ) à $- \frac{π}{2}$ (comportement inductif, $ω > ω_{0}$ ) en s'annulant exactement à la résonance ( $ω = ω_{0}$ , $u$ et $i$ en phase). La transition est d'autant plus raide que $Q$ est grand.

Méthode : Déterminer $ω_{0}$ et $Q$

Sur une courbe de résonance expérimentale : la position du pic donne $ω_{0}$ ; la largeur à $\frac{I _{m a x}}{2}$ (bande passante) $Δ ω$ donne $Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω}$ .

Capacité numérique : Courbes de résonance selon $Q$


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0.05, 3.0, 800)        # pulsation reduite w/w0
for Q in (1.0, 3.0, 10.0):
    # amplitude reduite du courant dans un RLC serie
    I = 1.0 / np.sqrt(1 + Q**2 * (x - 1 / x)**2)
    plt.plot(x, I, label="Q = %.0f" % Q)
plt.xlabel("w / w0"); plt.ylabel("I / Imax"); plt.legend(); plt.show()

Le pic est en $ω / ω_{0} = 1$ pour tout $Q$ ; il se resserre quand $Q$ augmente (bande passante $Δ ω = ω_{0} / Q$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Impédances (

⋆

)

Calculer les impédances d'une bobine $L = 10 mH$ et d'un condensateur $C = 1 μ F$ à $ω = 1 0^{4} rad / s$ .

Démonstration

$∣ Z_{L} ∣ = L ω = 1 0^{- 2} \times 1 0^{4} = 100 Ω$ ; $∣ Z_{C} ∣ = \frac{1}{C ω} = \frac{1}{1 0 ^{- 6} \times 1 0 ^{4}} = 100 Ω$ . (À cette pulsation $ω = ω_{0}$ , les deux se compensent dans un RLC série.)

Exercice 2 : Comportements limites (

⋆

)

Que devient un condensateur en très haute fréquence ? Une bobine en continu ?

Démonstration

En HF, $∣ Z_{C} ∣ \to 0$ : le condensateur se comporte comme un fil. En continu ( $ω = 0$ ), $∣ Z_{L} ∣ = 0$ : la bobine est un fil (et le condensateur un interrupteur ouvert).

Exercice 3 : Impédance d'un RLC série (

⋆ ⋆

)

Donner le module de l'impédance d'un RLC série à la résonance.

Démonstration

À $ω_{0}$ , $L ω_{0} = \frac{1}{C ω _{0}}$ , donc la partie imaginaire s'annule : $Z = R$ , $∣ Z ∣ = R$ (minimal). Le courant est alors maximal et en phase avec la tension.

Exercice 4 : Amplitude et phase (

⋆ ⋆

)

Un dipôle d'impédance $Z = R + j L ω$ est soumis à $U = U_{m}$ . Donner l'amplitude et le déphasage du courant.

Démonstration

$I = \frac{U _{m}}{R + j L ω}$ , donc $I_{m} = \frac{U _{m}}{R ^{2} + ( L ω ) ^{2}}$ et $ar g I = - arctan \frac{L ω}{R}$ : le courant est en retard sur la tension (caractère inductif).

Exercice 5 : Résonance (

⋆ ⋆

)

À quelle pulsation l'intensité d'un RLC série ( $L = 0.1 H$ , $C = 1 μ F$ ) est-elle maximale ?

Démonstration

$ω_{0} = \frac{1}{L C} = \frac{1}{0 , 1 \times 1 0 ^{- 6}} = 3.16 \times 1 0^{3} rad / s$ ( $f_{0} \approx 503 Hz$ ). C'est la résonance d'intensité, indépendante de $R$ .

Exercice 6 : Bande passante (

⋆ ⋆

)

Pour le circuit précédent avec $R = 100 Ω$ , calculer $Q$ et la bande passante.

Démonstration

$Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{100} \frac{0 , 1}{1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{100} \times 316 \approx 3, 16$ . Bande passante $Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q} = \frac{3 , 16 \times 1 0 ^{3}}{3 , 16} = 1 0^{3} rad / s$ .

Exercice 7 : Diviseur de tension complexe (

⋆ ⋆

)

Dans un circuit série R-C alimenté par $U_{e}$ , exprimer la tension complexe aux bornes de $C$ .

Démonstration

Diviseur de tension : $U_{C} = U_{e} \frac{Z _{C}}{R + Z _{C}} = U_{e} \frac{1/ ( j C ω )}{R + 1/ ( j C ω )} = U_{e} \frac{1}{1 + j R C ω}$ . C'est la fonction de transfert d'un filtre passe-bas (chapitre 6).

Exercice 8 : Lecture d'une résonance (

⋆ ⋆ ⋆

)

Sur une courbe de résonance d'intensité, le pic est à $1000 Hz$ et la bande passante (à $I_{m a x} / 2$ ) vaut $50 Hz$ . Déterminer $ω_{0}$ et $Q$ .

Démonstration

$f_{0} = 1000 Hz \Rightarrow ω_{0} = 2 π f_{0} \approx 6.28 \times 1 0^{3} rad / s$ . $Q = \frac{f _{0}}{Δ f} = \frac{1000}{50} = 20$ : résonance aiguë (peu amortie).

5.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Représentation complexe : $x \to X = X_{m} e^{j φ}$ , $\frac{d}{d t} \to j ω$ .
Impédances : $Z_{R} = R$ , $Z_{L} = j L ω$ , $Z_{C} = \frac{1}{j C ω}$ ; L bloque les HF, C les passe ; associations comme les résistances.
RLC série : $Z = R + j (L ω - \frac{1}{C ω})$ ; résonance d'intensité en $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ (quel que soit $Q$ ), $∣ Z ∣ = R$ , $u$ et $i$ en phase.
Acuité : bande passante $Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}$ ; pic d'autant plus étroit que $Q$ est grand. On lit $ω_{0}$ (position) et $Q$ (largeur) sur le graphe.

5.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Impédance d'un condensateur $100 nF$ à $1 k Hz$ .

( $⋆$ ) Que vaut l'impédance d'une bobine en continu ? d'un condensateur ?

( $⋆ ⋆$ ) Module et phase de l'impédance d'un RLC série en fonction de $ω$ .

( $⋆ ⋆$ ) Caractère inductif ou capacitif d'un RLC série pour $ω < ω_{0}$ et $ω > ω_{0}$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pulsation de résonance d'un RLC avec $L = 1 mH$ , $C = 10 nF$ .

( $⋆ ⋆$ ) Calculer $Q$ et la bande passante pour $R = 50 Ω$ dans le circuit précédent.

( $⋆ ⋆$ ) Exprimer la fonction de transfert $U_{C} / U_{e}$ d'un circuit R-L série (sortie sur $L$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi le courant et la tension sont-ils en phase à la résonance d'intensité ?

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, mesurer la largeur à mi-hauteur (en intensité au carré) et vérifier $Δ ω = ω_{0} / Q$ .

( $⋆ ⋆$ ) Une radio sélectionne une station par résonance : pourquoi un grand $Q$ est-il souhaitable ?

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que la résonance en intensité a toujours lieu en $ω_{0}$ , alors que la résonance en tension aux bornes de $C$ dépend de $Q$ .

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir l'expression de l'amplitude réduite du courant, avec $x = ω / ω_{0}$ :

$\frac{I}{I _{m a x}} = \frac{1}{1 + Q ^{2} ( x - \frac{1}{x} ) ^{2}} .$

5.7 Problèmes contextualisés

Impédances et résonance gouvernent la sélectivité radio, les circuits bouchons, la recharge sans fil, l'IRM, le découplage des alimentations.

Exemple 5.12Séparer deux stations radio (

⋆ ⋆

)

Deux stations AM émettent à $1000 k Hz$ et $1050 k Hz$ . On veut capter l'une sans entendre l'autre avec un circuit accordé à $1000 k Hz$ .

Quelle largeur de bande passante (au maximum) le circuit doit-il avoir ?
En déduire le facteur de qualité minimal $Q$ .
Pourquoi un $Q$ trop grand poserait-il problème pour une station de musique (largeur du signal) ?

Démonstration

1. Pour rejeter la station à $1050 k Hz$ , la bande passante doit être bien plus étroite que l'écart : $Δ f ≲ 50 k Hz$ .

2. $Q = \frac{f _{0}}{Δ f} ≳ \frac{1000}{50} = 20$ .

3. Un $Q$ trop grand rend la bande trop étroite : il coupe les fréquences latérales qui portent le signal (musique), dégradant la qualité sonore. Il faut un compromis entre sélectivité et fidélité.

Exemple 5.13Le circuit bouchon (réjecteur) (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un circuit LC parallèle présente une impédance maximale à sa fréquence propre $f_{0}$ (au lieu de minimale pour le série).

Pourquoi, placé en série dans une ligne, bloque-t-il le signal à $f_{0}$ ?
On veut éliminer un ronflement secteur à $50 Hz$ avec $L = 1 H$ : quelle capacité accorder ?
Comment ce « circuit bouchon » se comporte-t-il loin de $f_{0}$ ?

Démonstration

1. À $f_{0}$ , l'impédance du bouchon est très grande : placé en série, il bloque le courant à cette fréquence (comme un interrupteur quasi ouvert).

2. $f_{0} = \frac{1}{2 π L C} \Rightarrow C = \frac{1}{( 2 π f _{0} ) ^{2} L} = \frac{1}{( 2 π \times 50 ) ^{2} \times 1} \approx 1.0 \times 1 0^{- 5} F = 10 μ F$ .

3. Loin de $f_{0}$ , son impédance redevient faible : il laisse passer les autres fréquences. Il ne « bouche » qu'une bande étroite autour de $50 Hz$ .

Exemple 5.14La recharge sans fil par résonance (

⋆ ⋆

)

Un chargeur à induction (norme Qi) couple une bobine émettrice et une bobine réceptrice, toutes deux accordées à la même fréquence $f_{0} \approx 150 k Hz$ .

Pourquoi accorder les deux circuits sur la même fréquence de résonance ?
Que se passe-t-il si le téléphone est mal positionné (désaccord, distance) ?
Pourquoi cette fréquence (centaines de $k Hz$ ) et pas le continu ?

Démonstration

1. À la résonance commune, le transfert d'énergie entre les deux circuits est maximal (forte réponse à $f_{0}$ ) : la recharge est efficace.

2. Un désaccord (ou un éloignement) réduit le couplage : on s'écarte de la résonance, le transfert chute, la recharge ralentit ou cesse.

3. L'induction exige un champ variable : seule une tension alternative (haute fréquence) induit un courant dans la bobine réceptrice. En continu, aucune induction (chapitre 8).

Exemple 5.15La surtension à la résonance (

⋆ ⋆ ⋆

)

À la résonance d'un RLC série, les tensions aux bornes de $L$ et de $C$ peuvent dépasser largement celle de la source. On a $U_{C} = Q E$ à la résonance.

Pour $E = 10 V$ et $Q = 20$ , calculer la tension aux bornes du condensateur à la résonance.
Pourquoi parle-t-on de « surtension » ? Est-ce un danger ?
Comment l'expliquer alors que la source ne fournit que $10 V$ ?

Démonstration

1. $U_{C} = Q E = 20 \times 10 = 200 V$ !

2. La tension aux bornes de $C$ (et de $L$ ) est $Q$ fois la source : c'est une surtension, qui peut claquer le condensateur ou la bobine si on ne la prévoit pas. C'est un danger réel dans les circuits à fort $Q$ .

3. À la résonance, $Z_{L}$ et $Z_{C}$ se compensent dans la maille, mais prises séparément elles sont grandes ( $L ω_{0} = 1/ (C ω_{0}) = QR$ ) : le courant ( $= E / R$ ) y développe une tension $QR \times I = QE$ . La source ne « voit » que $R$ , mais en interne les tensions s'amplifient.

Exemple 5.16Mesurer une bobine inconnue (

⋆ ⋆

)

On veut mesurer l'inductance $L$ d'une bobine (de résistance négligeable). On lui applique une tension sinusoïdale de fréquence $f = 1 k Hz$ et on mesure $U_{m} = 5.0 V$ , $I_{m} = 8.0 mA$ .

Calculer le module de l'impédance.
En déduire $L$ .
Pourquoi mesurer à une fréquence ni trop basse ni trop haute ?

Démonstration

1. $∣ Z ∣ = \frac{U _{m}}{I _{m}} = \frac{5 , 0}{8 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 625 Ω$ .

2. $∣ Z_{L} ∣ = L ω = L \times 2 π f \Rightarrow L = \frac{∣ Z ∣}{2 π f} = \frac{625}{2 π \times 1000} \approx 99 mH$ .

3. Trop basse, $L ω$ est faible (mesure noyée dans la résistance résiduelle) ; trop haute, les capacités parasites faussent tout. Une fréquence intermédiaire donne une impédance bien mesurable.

Exemple 5.17L'IRM et la résonance (

⋆ ⋆

)

L'imagerie par résonance magnétique (IRM) excite les noyaux d'hydrogène, qui n'absorbent l'onde radio qu'à une fréquence précise (fréquence de résonance, proportionnelle au champ magnétique).

En quoi est-ce analogue à la résonance d'un circuit RLC ?
Pourquoi un grand facteur de qualité (résonance étroite) améliore-t-il la sélectivité (donc la résolution spatiale) ?
Que se passe-t-il si l'on émet à une fréquence éloignée de la résonance ?

Démonstration

1. Comme le RLC ne répond fortement qu'autour de $ω_{0}$ , les noyaux n'absorbent qu'autour de leur fréquence de résonance : système résonnant sélectif en fréquence.

2. Une résonance étroite (grand $Q$ ) signifie qu'une petite variation de champ (donc de position, car le champ varie dans l'espace) suffit à sortir de la résonance : on distingue mieux les points $\Rightarrow$ meilleure résolution.

3. Hors résonance, l'absorption est négligeable : les noyaux ne « répondent » pas, exactement comme un RLC peu excité loin de $ω_{0}$ .

Exemple 5.18Le condensateur de découplage (

⋆ ⋆

)

Sur une carte électronique, on place un condensateur entre l'alimentation et la masse, près de chaque puce, pour « filtrer » le bruit haute fréquence.

Quelle est l'impédance d'un condensateur en continu ? en haute fréquence ?
Comment cela permet-il d'évacuer le bruit HF vers la masse sans court-circuiter l'alimentation continue ?
Pourquoi le placer près de la puce ?

Démonstration

1. En continu ( $ω = 0$ ), $∣ Z_{C} ∣ \to \infty$ (interrupteur ouvert) ; en HF, $∣ Z_{C} ∣ = \frac{1}{C ω} \to 0$ (quasi-fil).

2. Le bruit HF voit une impédance faible et s'écoule vers la masse à travers le condensateur ; l'alimentation continue, elle, voit une impédance infinie et n'est pas court-circuitée. Le découplage filtre le HF sans toucher le continu.

3. Près de la puce, les fils sont courts : on minimise l'inductance parasite des pistes, qui sinon limiterait l'efficacité du découplage en très haute fréquence.

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Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance

5.1 Représentation complexe

5.2 Les impédances complexes

5.3 Résonance du circuit RLC série

Méthode : Déterminer ω0​ et Q

Capacité numérique : Courbes de résonance selon Q

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.4 Exercices résolus

5.5 Synthèse du chapitre

5.6 Exercices d'entraînement

5.7 Problèmes contextualisés

Méthode : Déterminer $ω_{0}$ et $Q$

Capacité numérique : Courbes de résonance selon $Q$