Filtrage linéaire

Cours complet · électricité (MPSI), chapitre 6 · CPGE MPSI (1re année)

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Un filtre laisse passer certaines fréquences et en atténue d'autres. C'est l'outil central du traitement du signal : extraire une composante, lisser un signal, sélectionner une station radio. On le caractérise par sa fonction de transfert et son diagramme de Bode. L'idée maîtresse : tout signal périodique est une somme de sinusoïdes (Fourier) ; le filtre agit sur chacune indépendamment (linéarité), et l'on reconstitue la sortie.

6.1 Signaux périodiques

Définition 6.1Décomposition de Fourier (fournie)

Un signal périodique de pulsation $ω$ se décompose en une somme de sinusoïdes (le fondamental à $ω$ et les harmoniques à $nω$ ) :

$s (t) = a_{0} + n \geq 1 \sum [a_{n} cos (nω t) + b_{n} sin (nω t)] .$

Définition 6.2Valeur moyenne et valeur efficace

La valeur moyenne est $⟨ s ⟩ = a_{0}$ . La valeur efficace est $S_{eff} = ⟨ s^{2} ⟩$ ; pour un signal sinusoïdal d'amplitude $S_{m}$ , $S_{eff} = \frac{S _{m}}{2}$ . Le carré de la valeur efficace est la somme des carrés des valeurs efficaces des harmoniques : $S_{eff}^{2} = \sum_{k} S_{eff, k}^{2}$ .

6.2 Fonction de transfert et diagramme de Bode

Définition 6.3Fonction de transfert

En régime sinusoïdal forcé, la fonction de transfert est le rapport des amplitudes complexes sortie/entrée :

$H (j ω) = \frac{s _{s}}{s _{e}}, G = ∣ H ∣ (gain), φ = ar g H (d e ˊ phasage) .$

Le gain en décibels est $G_{dB} = 20 lo g_{10} G$ .

Définition 6.4Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode trace $G_{dB}$ et $φ$ en fonction de $lo g ω$ (échelle logarithmique). Les portions rectilignes (asymptotes) se lisent directement : pour un filtre d'ordre 1, la pente est de $\pm 20 dB$ par décade au-delà de la pulsation de coupure $ω_{c}$ (où $G = G_{m a x} / 2$ , soit $- 3 dB$ ).

6.3 Filtres passifs usuels

◆Théorème 6.5Filtres d'ordre 1

$passe-bas (RC) : H = \frac{1}{1 + j ω / ω _{c}}, passe-haut : H = \frac{j ω / ω _{c}}{1 + j ω / ω _{c}},$

avec $ω_{c} = \frac{1}{R C}$ . Le passe-bas laisse passer les basses fréquences ; le passe-haut, les hautes.

ImportantMoyenneur, intégrateur, dérivateur

un passe-bas extrait la valeur moyenne (moyenneur) ; bien au-dessus de $ω_{c}$ , il se comporte en intégrateur ;
un passe-haut bien en dessous de $ω_{c}$ se comporte en dérivateur.

Les filtres d'ordre 2 (RLC) réalisent passe-bas, passe-haut ou passe-bande (sélectif autour de $ω_{0}$ ).

ImportantFiltrage mécanique : sismomètre, amortisseur, accéléromètre

Un système masse--ressort--amortisseur est un filtre du second ordre, analogue exact du RLC (chapitre 4). Selon la bande de fréquence exploitée, un même dispositif mécanique filtre le signal :

la suspension d'un véhicule (amortisseur) est un passe-bas : elle transmet au châssis les ondulations lentes de la route mais atténue les secousses rapides (au-dessus de $ω_{0}$ ) ;
un sismomètre exploite l'inertie de la masse : bien au-dessus de $ω_{0}$ , la masse reste quasi immobile tandis que le bâti suit le sol — le déplacement relatif mesure alors le déplacement du sol (comportement passe-haut en déplacement) ;
un accéléromètre travaille bien en dessous de $ω_{0}$ : le déplacement relatif de la masse y est proportionnel à l'accélération du bâti (comportement passe-bas).

Le rôle de filtre n'est donc pas propre à l'électricité : tout système linéaire du second ordre (mécanique compris) filtre, avec les mêmes $ω_{0}$ et $Q$ .

6.4 Action d'un filtre sur un signal

Méthode

Un signal périodique étant une somme d'harmoniques, le filtre multiplie chaque harmonique $nω$ par $H (j nω)$ (gain et déphasage). On reconstruit la sortie harmonique par harmonique. En cascade (étages à forte impédance d'entrée et faible impédance de sortie), les fonctions de transfert se multiplient. Attention : l'apparition de nouvelles fréquences en sortie signale un système non linéaire (un filtre linéaire ne crée jamais de fréquence).

Capacité numérique : Action d'un filtre sur un signal carré

On filtre un signal carré (spectre fourni : harmoniques impaires) par un passe-bas d'ordre 1 et l'on reconstruit la sortie (capacité numérique du programme).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f0, fc = 100.0, 150.0          # frequence du signal et de coupure (Hz)
t = np.linspace(0.0, 0.02, 2000)
s_in = np.zeros_like(t); s_out = np.zeros_like(t)
for n in range(1, 30, 2):              # harmoniques impaires du carre
    fn, amp = n * f0, 4 / (np.pi * n)
    s_in += amp * np.sin(2*np.pi*fn*t)
    G = 1 / np.sqrt(1 + (fn/fc)**2)    # gain du passe-bas ordre 1
    phi = -np.arctan(fn/fc)            # dephasage
    s_out += amp * G * np.sin(2*np.pi*fn*t + phi)
plt.plot(t*1e3, s_in, label="entree (carre)")
plt.plot(t*1e3, s_out, label="sortie filtree")
plt.xlabel("t (ms)"); plt.legend(); plt.show()

Les harmoniques au-dessus de $f_{c}$ sont atténuées : le signal carré est « adouci », sa sortie tend vers le fondamental sinusoïdal.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Valeur efficace (

⋆

)

Une tension sinusoïdale a une amplitude $U_{m} = 325 V$ . Donner sa valeur efficace.

Démonstration

$U_{eff} = \frac{U _{m}}{2} = \frac{325}{2} \approx 230 V$ : c'est la tension efficace du secteur (l'amplitude vaut $2302 \approx 325$ V).

Exercice 2 : Gain en décibels (

⋆

)

Un filtre a un gain $G = 0, 1$ . Donner $G_{dB}$ .

Démonstration

$G_{dB} = 20 lo g_{10} (0, 1) = 20 \times (- 1) = - 20 dB$ : une atténuation d'un facteur 10 correspond à $- 20 dB$ .

Exercice 3 : Passe-bas RC (

⋆ ⋆

)

Établir la fonction de transfert du filtre RC (sortie aux bornes de $C$ ) et donner sa fréquence de coupure.

Démonstration

Diviseur de tension : $H = \frac{Z _{C}}{R + Z _{C}} = \frac{1}{1 + j R C ω}$ . C'est un passe-bas d'ordre 1, $ω_{c} = \frac{1}{R C}$ ( $f_{c} = \frac{1}{2 π R C}$ ).

Exercice 4 : Fréquence de coupure (

⋆ ⋆

)

Pour $R = 1 k Ω$ et $C = 100 nF$ , calculer $f_{c}$ .

Démonstration

$f_{c} = \frac{1}{2 π R C} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{3} \times 1 0 ^{- 7}} \approx 1.6 k Hz$ . En dessous : signal transmis ; au-dessus : atténué.

Exercice 5 : Asymptotes de Bode (

⋆ ⋆

)

Décrire le diagramme de Bode en gain d'un passe-bas d'ordre 1.

Démonstration

Pour $ω ≪ ω_{c}$ : $G \approx 1$ , $G_{dB} \approx 0$ (asymptote horizontale). Pour $ω ≫ ω_{c}$ : $G \approx ω_{c} / ω$ , $G_{dB} \approx - 20 lo g_{10} (ω / ω_{c})$ (pente $- 20 dB$ / décade). À $ω_{c}$ : $G_{dB} = - 3 dB$ .

Exercice 6 : Identifier un filtre (

⋆ ⋆

)

Un filtre transmet le continu mais coupe les hautes fréquences. De quel type s'agit-il ? Et l'inverse ?

Démonstration

Transmet le continu, coupe les HF : passe-bas. Coupe le continu, transmet les HF : passe-haut (par exemple, sortie aux bornes de $R$ dans un circuit RC).

Exercice 7 : Moyenneur et intégrateur (

⋆ ⋆

)

À quelle condition un passe-bas se comporte-t-il en moyenneur ? en intégrateur ?

Démonstration

Moyenneur : il ne transmet que la composante continue (valeur moyenne) si la fréquence du signal est très au-dessus de $f_{c}$ (les harmoniques sont fortement atténuées). Intégrateur : pour $ω ≫ ω_{c}$ , $H \approx \frac{ω _{c}}{j ω}$ , ce qui correspond à une intégration ( $1/ j ω$ ).

Exercice 8 : Action sur un signal (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un signal carré de fondamental $100 Hz$ traverse un passe-bas de fréquence de coupure $150 Hz$ . Décrire la sortie.

Démonstration

Le carré contient les harmoniques impaires (100, 300, 500… Hz). Le fondamental ( $100 Hz$ $< f_{c}$ ) passe presque intact ; les harmoniques (300, 500… Hz $> f_{c}$ ) sont atténuées (en $1/ n$ pour le spectre, encore en $\sim f_{c} / (n f_{0})$ pour le filtre). La sortie est un signal adouci, proche du fondamental sinusoïdal : le filtre a « arrondi » les fronts du carré.

6.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Fourier : signal périodique = fondamental + harmoniques. Valeur moyenne $a_{0}$ ; efficace $S_{eff}$ , $S_{eff}^{2} = \sum S_{eff, k}^{2}$ ; sinusoïde $S_{m} / 2$ .
Fonction de transfert $H (j ω)$ , gain $G = ∣ H ∣$ , $G_{dB} = 20 lo g_{10} G$ . Bode : asymptotes, $- 3$ dB à $ω_{c}$ , $\pm 20$ dB/décade (ordre 1).
Filtres : passe-bas $\frac{1}{1 + j ω / ω _{c}}$ , passe-haut, et ordre 2 (passe-bande). Moyenneur/intégrateur (passe-bas), dérivateur (passe-haut).
Action : le filtre agit harmonique par harmonique ( $\times H (j nω)$ ) ; cascades $\Rightarrow$ produit des $H$ . Un filtre linéaire ne crée pas de nouvelle fréquence.

6.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Valeur efficace d'un signal carré d'amplitude $\pm A$ (sans composante continue).

( $⋆$ ) Convertir en gain les valeurs $G_{dB} = 0$ , $- 3$ , $- 20$ , $- 40 dB$ .

( $⋆ ⋆$ ) Établir la fonction de transfert d'un passe-haut RC (sortie sur $R$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain) d'un passe-haut d'ordre 1.

( $⋆ ⋆$ ) Fréquence de coupure d'un RC avec $R = 10 k Ω$ , $C = 10 nF$ .

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi la valeur efficace est-elle la grandeur pertinente pour la puissance dissipée ?

( $⋆ ⋆$ ) Un signal contient des fréquences 50, 150 et $5000 Hz$ . Quel filtre garder pour ne conserver que le $50 Hz$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Montrer qu'un passe-bas très en deçà de sa coupure laisse passer le signal sans déformation.

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, augmenter $f_{c}$ et observer que la sortie ressemble de plus en plus au carré d'entrée.

( $⋆ ⋆$ ) Justifier que les fonctions de transfert se multiplient en cascade (sous condition d'impédances).

( $⋆ ⋆$ ) Comment reconnaître expérimentalement qu'un montage est non linéaire à partir de son spectre de sortie ?

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Filtre passe-bande d'ordre 2 (RLC) : exprimer sa fonction de transfert et relier sa sélectivité au facteur de qualité $Q$ .

6.8 Problèmes contextualisés

Le filtrage est partout en audio et en électronique : enceintes, alimentations, numérisation, égaliseurs, suppression du ronflement.

Exemple 6.14Le filtre d'enceinte (

⋆ ⋆

)

Dans une enceinte, un filtre de répartition envoie les graves au woofer et les aigus au tweeter. Le tweeter ( $R = 8 Ω$ ) est protégé par un passe-haut RC de fréquence de coupure $f_{c} = 2 k Hz$ .

Pourquoi protéger le tweeter des basses fréquences ?
Calculer la capacité $C$ du filtre.
Quel type de filtre alimente le woofer ?

Démonstration

1. Les basses fréquences demandent de grandes excursions de membrane : elles endommageraient le petit tweeter, conçu pour les aigus. Le passe-haut les bloque.

2. $f_{c} = \frac{1}{2 π R C} \Rightarrow C = \frac{1}{2 π R f _{c}} = \frac{1}{2 π \times 8 \times 2000} \approx 9.9 μ F$ .

3. Le woofer est alimenté par un passe-bas (il ne reçoit que les graves).

Exemple 6.15Le lissage d'une alimentation (

⋆ ⋆

)

Après redressement, une tension présente une forte ondulation à $100 Hz$ (secteur $50 Hz$ redressé double alternance). On la lisse avec un passe-bas RC.

Quelle condition sur $f_{c}$ pour atténuer fortement l'ondulation à $100 Hz$ tout en gardant le continu ?
Proposer $R$ et $C$ pour $f_{c} \approx 1 Hz$ .
Pourquoi reste-t-il toujours une légère ondulation résiduelle ?

Démonstration

1. Il faut $f_{c} ≪ 100 Hz$ : le continu ( $f = 0$ ) passe ( $G = 1$ ), l'ondulation à $100 Hz ≫ f_{c}$ est fortement atténuée.

2. $f_{c} = \frac{1}{2 π R C} = 1 Hz$ : par exemple $R = 160 Ω$ , $C = 1 mF$ ( $R C \approx 0, 16$ s).

3. Le filtre n'atténue pas infiniment : l'harmonique à $100 Hz$ est réduite (d'un facteur $\sim f_{c} /100$ ) mais jamais nulle, d'où une ondulation résiduelle.

Exemple 6.16L'anti-repliement avant numérisation (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un CD audio échantillonne le son à $f_{e} = 44.1 k Hz$ . Avant le convertisseur, on place un passe-bas (filtre anti-repliement).

Le théorème de l'échantillonnage impose de ne garder que les fréquences inférieures à $f_{e} /2$ . Que vaut cette limite ?
Quelle fréquence de coupure choisir pour le filtre anti-repliement ?
Que se passe-t-il si une fréquence supérieure à $f_{e} /2$ n'est pas filtrée (repliement) ?

Démonstration

1. $f_{e} /2 = \frac{44 , 1}{2} = 22.05 k Hz$ (fréquence de Nyquist), au-delà de l'audible ( $\approx 20 k Hz$ ).

2. Un passe-bas de coupure $\approx 20 k Hz$ : il garde l'audible et coupe au-dessus de $f_{e} /2$ .

3. Une fréquence $> f_{e} /2$ non filtrée se « replie » et apparaît comme une fausse fréquence basse (aliasing), parasitant le son. D'où l'indispensable filtre amont.

Exemple 6.17L'égaliseur audio (

⋆ ⋆

)

Un égaliseur graphique permet d'amplifier ou d'atténuer des bandes de fréquences (graves, médiums, aigus) autour de $60 Hz$ , $1 k Hz$ , $10 k Hz$ .

Quel type de filtre est associé à chaque curseur ?
Pourquoi chaque bande a-t-elle une « largeur » (facteur de qualité) ?
En montant le curseur des graves, agit-on sur le fondamental d'une grosse caisse ( $60 Hz$ ) ou sur une cymbale ( $10 k Hz$ ) ?

Démonstration

1. Un filtre passe-bande centré sur chaque fréquence, dont on règle le gain.

2. Une bande de largeur finie ( $Q$ modéré) agit sur une plage de fréquences voisines, pas une seule : on façonne le timbre sans « trous ».

3. Sur la grosse caisse ( $60 Hz$ ) : le curseur des graves amplifie la bande basse, renforçant les sons graves, pas les cymbales.

Exemple 6.18Supprimer le ronflement secteur (

⋆ ⋆

)

Un signal d'électrocardiogramme (ECG) est pollué par un ronflement à $50 Hz$ (secteur).

Quel type de filtre élimine spécifiquement le $50 Hz$ sans toucher le reste ?
Pourquoi ne pas utiliser un simple passe-bas ou passe-haut ?
Quel inconvénient si le filtre réjecteur est trop large ?

Démonstration

1. Un filtre réjecteur (coupe-bande / notch) centré sur $50 Hz$ : il n'atténue qu'une bande étroite autour de cette fréquence.

2. L'ECG contient des fréquences de part et d'autre de $50 Hz$ (utiles) : un passe-bas ou passe-haut en supprimerait une partie. Le réjecteur ne retire que le $50 Hz$ .

3. Trop large, il enlèverait aussi des composantes utiles du signal cardiaque proches de $50 Hz$ , déformant l'ECG.

Exemple 6.19Valeur efficace et puissance (

⋆ ⋆

)

Le secteur est donné pour $U_{eff} = 230 V$ .

Quelle est l'amplitude $U_{m}$ de la tension sinusoïdale ?
Pourquoi la puissance dissipée dans une résistance s'exprime-t-elle avec la valeur efficace ( $P = U_{eff}^{2} / R$ ) ?
Une tension continue de $230 V$ chaufferait-elle autant la même résistance ?

Démonstration

1. $U_{m} = U_{eff} 2 = 2302 \approx 325 V$ .

2. La puissance instantanée est $u^{2} / R$ ; sa moyenne fait intervenir $⟨ u^{2} ⟩ = U_{eff}^{2}$ : la valeur efficace est précisément définie pour que $P = U_{eff}^{2} / R$ .

3. Oui : par définition de la valeur efficace, une sinusoïde de $230 V$ efficaces chauffe autant qu'un continu de $230 V$ .

Exemple 6.20Pourquoi un filtre ne « distord » pas (et la fuzz, si) (

⋆ ⋆ ⋆

)

On envoie une sinusoïde pure dans un filtre linéaire, puis dans une pédale de distorsion (guitare).

En sortie du filtre linéaire, quelles fréquences trouve-t-on ?
En sortie de la distorsion, le spectre contient de nouvelles fréquences (harmoniques). Qu'en conclut-on sur la nature du dispositif ?
Pourquoi un filtre, lui, ne peut-il que modifier l'amplitude et la phase des harmoniques existantes ?

Démonstration

1. Uniquement la même fréquence (avec un gain et un déphasage) : un filtre linéaire ne crée aucune fréquence.

2. L'apparition d'harmoniques nouvelles signale un système non linéaire (écrêtage) : c'est ce qui donne le son saturé de la « fuzz ».

3. La linéarité (et le régime sinusoïdal forcé) impose qu'à une entrée sinusoïdale réponde une sortie sinusoïdale de même fréquence : le filtre agit fréquence par fréquence ( $\times H (j ω)$ ), sans en inventer.

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