Sources du champ électromagnétique

Cours · électromagnétisme (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le vecteur densité de courant et le flux des charges à travers une surface.

Le champ électromagnétique n'existe pas « en soi » : il est créé par des charges et par des courants. Avant d'écrire les équations de Maxwell qui relient champs et sources, il faut donc décrire précisément ces sources. Or la matière est constituée de particules discrètes (électrons, ions, protons) séparées par un vide immense à l'échelle atomique. Décrire le champ créé par chaque particule serait à la fois impossible et inutile : les instruments de mesure, comme les phénomènes macroscopiques, moyennent naturellement sur un très grand nombre de porteurs.

Ce chapitre introduit donc la description mésoscopique des sources — densité volumique de charge $ρ$ et vecteur densité de courant $j$ — qui lisse la granularité microscopique tout en restant locale à l'échelle des variations des champs. Nous établirons ensuite l'équation de conservation de la charge, principe physique fondamental qui contraint toute distribution de courant. Enfin, le modèle de Drude fournira une interprétation microscopique de la conduction électrique et de la loi d'Ohm locale $j = γ E$ , dont découleront la résistance d'un conducteur filiforme et l'effet Joule.

1.1 Description mésoscopique des sources

1.1.1 Échelle mésoscopique et hypothèse des milieux continus

À l'échelle microscopique, la charge est portée par des particules ponctuelles : la densité de charge y est une somme de distributions de Dirac, extrêmement discontinue. À l'échelle macroscopique (le millimètre, le centimètre), on ne perçoit qu'une matière apparemment continue. L'échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire.

Définition 1.1Volume mésoscopique

Un volume mésoscopique $d τ$ est un volume :

macroscopiquement petit : petit devant l'échelle des variations spatiales des grandeurs physiques (champs, densités), de sorte qu'on puisse le traiter comme un « point » $M$ ;
microscopiquement grand : grand devant la distance interatomique, de sorte qu'il contienne un très grand nombre de particules ( $N ≫ 1$ ) et que les moyennes statistiques y soient bien définies.

iRemarque

Dans un solide, la distance interatomique est de l'ordre de $0, 3 nm$ . Un cube mésoscopique de côté $100 nm$ contient déjà quelques $1 0^{7}$ atomes ( $(100/0, 3)^{3} \approx 4 \times 1 0^{7}$ ) : les fluctuations statistiques relatives, en $1/ N$ , y sont négligeables. On dispose donc d'une large fenêtre d'échelles pour définir des densités locales lisses.

1.1.2 Densité volumique de charge

Définition 1.2Densité volumique de charge

La densité volumique de charge $ρ (M, t)$ au point $M$ et à l'instant $t$ est le rapport

$ρ (M, t) = \frac{d q}{d τ},$

où $d q$ est la charge totale contenue dans le volume mésoscopique $d τ$ entourant $M$ . Elle s'exprime en coulomb par mètre cube ( $C / m^{3}$ ).

La charge totale contenue dans un volume $V$ macroscopique s'obtient par intégration :

$Q = ∭_{V} ρ (M, t) d τ .$

Considérons un milieu contenant plusieurs types de porteurs. Notons $n_{k}$ la densité volumique (nombre de porteurs par unité de volume) et $q_{k}$ la charge de chaque porteur du type $k$ . La densité de charge s'écrit :

$ρ = k \sum n_{k} q_{k} .$

ImportantNeutralité électrique

Un conducteur métallique contient des ions positifs fixes (densité $n_{+} q_{+}$ ) et des électrons de conduction mobiles (densité $n_{-} q_{-}$ , avec $q_{-} = - e$ ). À l'équilibre, ces contributions se compensent quasi exactement : $ρ ≃ 0$ . Un métal parcouru par un courant reste globalement neutre ( $ρ = 0$ ) même si les électrons se déplacent : ce sont les charges positives fixes qui neutralisent en permanence la charge mobile.

1.1.3 Distributions surfaciques et linéiques

Lorsque la charge se concentre sur une épaisseur très faible devant les dimensions du problème (par exemple sur la surface d'un conducteur), il est commode de la modéliser par une distribution surfacique.

Définition 1.3Densités surfacique et linéique

Une densité surfacique de charge $σ$ décrit une charge répartie sur une surface : $d q = σ d S$ , avec $σ$ en $C / m^{2}$ .
Une densité linéique de charge $λ$ décrit une charge répartie sur un fil : $d q = λ d ℓ$ , avec $λ$ en $C / m$ .

Ces modélisations sont des idéalisations : une densité surfacique correspond à la limite d'une densité volumique $ρ$ très grande sur une épaisseur $e$ très petite, telle que $σ = ρ e$ reste fini.

1.2 Vecteur densité de courant et intensité

1.2.1 Vecteur densité de courant volumique

Le déplacement d'ensemble des porteurs de charge constitue un courant électrique. Pour le décrire localement, on introduit un vecteur.

Considérons une seule population de porteurs, de charge $q$ , de densité volumique $n$ , animés en moyenne d'une vitesse $v$ (vitesse d'ensemble, ou vitesse de dérive).

Définition 1.4Vecteur densité de courant

Le vecteur densité de courant volumique est

$j = n q v .$

En présence de plusieurs types de porteurs :

$j = k \sum n_{k} q_{k} v_{k} = k \sum ρ_{k} v_{k} .$

Il s'exprime en ampère par mètre carré ( $A / m^{2}$ ).

Important

Le signe de $j$ est indépendant du signe des porteurs : des charges négatives ( $q < 0$ ) se déplaçant vers la gauche ( $v$ vers la gauche) donnent un vecteur $j = q n v$ dirigé vers la droite. C'est le sens conventionnel du courant, celui du déplacement de charges positives fictives.

1.2.2 Charge traversant une surface, intensité

Cherchons la charge $δ^{2} q$ qui traverse un petit élément de surface fixe $d S = d S n$ pendant $d t$ . Les porteurs qui franchissent $d S$ pendant $d t$ sont ceux contenus dans le cylindre oblique de base $d S$ et de génératrice $v d t$ , de volume $d τ = (v d t) \cdot d S$ .

La charge contenue dans ce cylindre est $δ^{2} q = ρ d τ = ρ v \cdot d S d t = j \cdot d S d t$ . On définit l'intensité comme le débit de charge.

Définition 1.5Intensité et flux de

j

L'intensité du courant $I$ à travers une surface orientée $S$ est le flux du vecteur densité de courant :

$I = \iint_{S} j \cdot d S .$

C'est la charge qui traverse $S$ par unité de temps, exprimée en ampère ( $A$ ).

iRemarque

Pour un fil conducteur de section $S$ dans lequel $j$ est uniforme et parallèle à l'axe, $I = j S$ . On retrouve $j = I / S$ , densité de courant homogène à une intensité surfacique.

Exemple 1.6Ordre de grandeur de la vitesse de dérive

Dans un fil de cuivre de section $S = 1 m m^{2}$ parcouru par $I = 1 A$ , avec $n \approx 8, 5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ électrons libres :

$v = \frac{I}{n e S} \approx \frac{1}{8.5 \times 1 0 ^{28} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 0 ^{- 6}} \approx 7 \times 1 0^{- 5} m / s .$

La vitesse de dérive est minuscule (quelques dizaines de microns par seconde), sans commune mesure avec la vitesse de propagation du signal électrique (proche de $c$ ) ni avec la vitesse d'agitation des électrons (vitesse de Fermi, $\sim 1 0^{6} m / s$ ).

1.3 Conservation de la charge

1.3.1 Principe et bilan intégral

La charge électrique est une grandeur conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, seulement déplacée. Traduisons ce principe par un bilan.

Soit un volume $V$ fixe, délimité par une surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur. La charge qu'il contient est $Q (t) = ∭_{V} ρ d τ$ . Cette charge ne peut varier que par échange à travers la frontière $S$ . Le courant sortant de $V$ vaut $I_{sortant} = \oint \oint_{S} j \cdot d S$ . La conservation impose que toute charge qui sort fait diminuer $Q$ :

$\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S soit \frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d τ = - \oint \oint_{S} j \cdot d S .$

1.3.2 Équation locale de continuité

Passons du bilan intégral à une relation locale. Utilisons le théorème de Green--Ostrogradski (flux--divergence), dont l'expression est fournie :

$\oint \oint_{S} j \cdot d S = ∭_{V} div j d τ .$

Comme le volume $V$ est fixe, la dérivée temporelle passe sous l'intégrale sous forme de dérivée partielle : $\frac{d Q}{d t} = ∭_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d τ$ . Le bilan devient

$∭_{V} (\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j) d τ = 0.$

Cette égalité valant pour tout volume $V$ , l'intégrande est identiquement nul.

◆Théorème 1.7Équation locale de conservation de la charge

En tout point et à tout instant, la densité de charge et le vecteur densité de courant vérifient l'équation de continuité :

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$

Démonstration (Cas unidimensionnel cartésien (exigible))

Considérons un problème à une dimension : $j = j (x, t) u_{x}$ et $ρ = ρ (x, t)$ . Faisons le bilan de charge dans la tranche comprise entre $x$ et $x + d x$ , de section $S$ , donc de volume $S d x$ .

La charge qui entre en $x$ pendant $d t$ est $j (x, t) S d t$ ; celle qui sort en $x + d x$ est $j (x + d x, t) S d t$ . La variation de charge de la tranche est

$d Q = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t = - \frac{\partial j}{\partial x} d x S d t .$

Or $Q = ρ (x, t) S d x$ , donc $d Q = \frac{\partial ρ}{\partial t} d t S d x$ . En égalant :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t = - \frac{\partial j}{\partial x} d x S d t ⟹ \frac{\partial j}{\partial x} + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0.$

En dimension trois, $\frac{\partial j}{\partial x}$ se généralise en $div j$ , d'où l'équation de continuité.

1.3.3 Régime stationnaire et loi des nœuds

Proposition 1.8Caractère conservatif de

j

en régime stationnaire

En régime stationnaire (permanent), toutes les grandeurs sont indépendantes du temps, donc $\frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ et

$div j = 0.$

Le vecteur $j$ est dit à flux conservatif : son flux à travers toute surface fermée est nul, et le flux se conserve le long d'un tube de courant.

ImportantLien avec la loi des nœuds

Entourons un nœud d'un circuit d'une surface fermée $S$ traversée par les fils $1, 2, \dots$

En régime stationnaire $\oint \oint_{S} j \cdot d S = 0$ , or ce flux vaut $\sum_{k} \pm I_{k}$ (signe selon que le courant sort ou entre). On retrouve la loi des nœuds : $\sum_{entrant} I_{k} = \sum_{sortant} I_{k}$ . La loi des nœuds de l'électrocinétique n'est donc rien d'autre que la conservation de la charge en régime permanent.

1.4 Conduction électrique dans un conducteur ohmique

1.4.1 Modèle de Drude

(Aucun modèle de la loi d'Ohm locale n'est exigible : le modèle de Drude est un complément éclairant.)

Pour comprendre la conduction, adoptons un modèle microscopique dû à Paul Drude (1900). On considère les électrons de conduction comme un « gaz » de particules libres, de charge $- e$ et de masse $m$ , densité $n$ , soumis à :

la force électrique $- e E$ due au champ appliqué ;
une force de frottement fluide $- \frac{m}{τ} v$ modélisant en moyenne l'effet des collisions avec les défauts et vibrations du réseau (agitation thermique). Le paramètre $τ$ est le temps de relaxation, ordre de grandeur du temps moyen entre deux collisions (à ne pas confondre avec le temps de relaxation diélectrique $τ_{d} = ε_{0} / γ$ de l'exercice résolu 7, qui décrit l'évacuation d'une charge volumique).

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron « moyen » s'écrit :

$m \frac{d v}{d t} = - e E - \frac{m}{τ} v .$

Démonstration (Régime permanent : conductivité)

En régime stationnaire, $d v / d t = 0$ , d'où la vitesse de dérive :

$v = - \frac{e τ}{m} E .$

Le vecteur densité de courant vaut $j = n (- e) v = \frac{n e ^{2} τ}{m} E$ . On identifie la loi d'Ohm locale $j = γ E$ avec

$γ = \frac{n e ^{2} τ}{m} .$

◆Théorème 1.9Loi d'Ohm locale

Dans un conducteur ohmique, le vecteur densité de courant est proportionnel au champ électrique local :

$j = γ E, γ = \frac{n e ^{2} τ}{m},$

où $γ$ est la conductivité électrique (en $S / m$ ). Son inverse $ρ_{e ˊ l} = 1/ γ$ est la résistivité.

iRemarqueOrdre de grandeur

Pour le cuivre, $γ \approx 5, 9 \times 1 0^{7} S / m$ , ce qui donne $τ \approx 2, 5 \times 1 0^{- 14} s$ : parcourue à la vitesse de Fermi ( $v_{F} \approx 1, 6 \times 1 0^{6} m / s$ ), la distance entre deux collisions (libre parcours moyen) est de l'ordre de la quarantaine de nanomètres. La brièveté de $τ$ justifie que le régime permanent soit atteint quasi instantanément.

1.4.2 Influence de la fréquence

(Complément hors programme à ce stade — repris dans le cours d'ondes.)

Si le champ est alternatif, $E = E_{0} e^{i ω t}$ , la vitesse s'écrit $v = v_{0} e^{i ω t}$ et l'équation de Drude devient $i ω m v = - e E - \frac{m}{τ} v$ . On en tire une conductivité complexe :

$γ (ω) = \frac{n e ^{2} τ / m}{1 + i ω τ} = \frac{γ _{0}}{1 + i ω τ} .$

Proposition 1.10Conductivité en basse fréquence

Tant que $ω τ ≪ 1$ , c'est-à-dire pour toutes les fréquences usuelles ( $f ≪ 1/ τ \sim 1 0^{13} Hz$ , jusqu'à l'infrarouge), la conductivité reste réelle et égale à sa valeur statique $γ ≃ γ_{0}$ . Le modèle statique $j = γ E$ est donc pertinent dans tout le domaine des ondes hertziennes. Ce n'est qu'à très haute fréquence (optique, X) que l'inertie des porteurs ( $ω τ ≳ 1$ ) rend la conductivité complexe et fait chuter son module.

1.4.3 Résistance d'un conducteur filiforme

Méthode : De la loi locale à la loi d'Ohm intégrale

Considérons un cylindre conducteur de longueur $L$ , de section $S$ , de conductivité $γ$ , parcouru par un courant uniforme selon son axe $u_{x}$ .

Le courant vaut $I = j S = γ E S$ , donc $E = \frac{I}{γ S}$ (champ uniforme).
La tension entre les extrémités est $U = \int_{0}^{L} E d x = E L = \frac{L}{γ S} I$ .
Par identification avec $U = R I$ :

$R = \frac{L}{γ S} = \frac{ρ _{e ˊ l} L}{S} .$

1.4.4 Effet Joule volumique

Le champ électrique fournit un travail aux porteurs de charge. Évaluons la puissance cédée dans un volume mésoscopique $d τ$ contenant $n d τ$ électrons.

Démonstration (Puissance volumique)

La force de Lorentz sur un porteur est $f = q (E + v \land B)$ . Sa composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas : seule la composante électrique cède de la puissance, $f \cdot v = q E \cdot v$ — c'est ce qui rend le résultat général, valable même en présence d'un champ magnétique. Pour l'ensemble des porteurs du volume $d τ$ :

$d P = n d τ \times q E \cdot v = (n q v) \cdot E d τ = j \cdot E d τ .$

La puissance volumique cédée aux porteurs est donc $p = j \cdot E$ .

iRemarqueForce électromagnétique volumique

En sommant la force de Lorentz sur les porteurs d'un volume mésoscopique $d τ$ , on obtient la force électromagnétique volumique exercée par le champ sur la matière :

$f_{v} = ρ E + j \land B (N / m^{3}) .$

Sa puissance volumique se réduit bien à $p = j \cdot E$ , la partie magnétique ne travaillant pas.

◆Théorème 1.11Loi de Joule locale

La puissance volumique cédée par le champ électrique aux porteurs de charge est

$p = j \cdot E (W / m^{3}) .$

Dans un conducteur ohmique ( $j = γ E$ ), cette puissance est toujours positive :

$p = γ E^{2} = \frac{j ^{2}}{γ} \geq 0.$

Important

En régime permanent, la vitesse de dérive des porteurs est constante : l'énergie qu'ils reçoivent du champ n'est pas convertie en énergie cinétique mais intégralement transférée au réseau lors des collisions, sous forme de chaleur. C'est l'effet Joule : $p = j \cdot E > 0$ traduit une dissipation irréversible. La puissance totale dissipée dans le conducteur filiforme précédent vaut $P = ∭ p d τ = γ E^{2} (S L) = R I^{2}$ , en accord avec l'électrocinétique.

iRemarqueComplément hors-programme

Placé de surcroît dans un champ magnétique transverse, un conducteur parcouru par un courant développe une tension transversale (effet Hall), dont le signe renseigne sur celui des porteurs majoritaires. Ce phénomène n'est pas au programme et n'est pas abordé ici.

1.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Description des sources (échelle mésoscopique).

Densité volumique de charge : $ρ = \frac{d q}{d τ} = \sum_{k} n_{k} q_{k}$ ; charge $Q = ∭_{V} ρ d τ$ .
Distributions surfacique ( $d q = σ d S$ ) et linéique ( $d q = λ d ℓ$ ).
Vecteur densité de courant : $j = \sum_{k} n_{k} q_{k} v_{k}$ ; intensité $I = \iint_{S} j \cdot d S$ (flux de $j$ ).

Conservation de la charge.

Bilan intégral : $\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S$ .
Équation locale de continuité : $div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ .
Régime stationnaire : $div j = 0$ ( $j$ à flux conservatif) $\Rightarrow$ loi des nœuds.

Conduction ohmique (modèle de Drude).

Loi d'Ohm locale : $j = γ E$ , avec $γ = \frac{n e ^{2} τ}{m}$ (conductivité, $S / m$ ).
Résistance d'un fil : $R = \frac{L}{γ S} = \frac{ρ _{e ˊ l} L}{S}$ .
Effet Joule local : $p = j \cdot E = γ E^{2} = \frac{j ^{2}}{γ} \geq 0$ .

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