Électrostatique

Cours complet · électromagnétisme (MP), chapitre 2 · CPGE MP (2e année)

L'électrostatique étudie le champ électrique créé par des charges immobiles, ou plus précisément dans l'approximation des régimes stationnaires où les distributions de charges sont indépendantes du temps. Bien que l'électromagnétisme soit gouverné dans le cas général par les quatre équations de Maxwell, le régime statique découple les phénomènes électriques et magnétiques : le champ électrostatique $E$ ne dépend alors que de la distribution de charges, et le champ magnétostatique $B$ que de la distribution de courants (chapitre suivant).

Ce chapitre reprend et approfondit les acquis de PCSI (loi de Coulomb, potentiel, énergie) et introduit deux outils centraux de la deuxième année : l'exploitation systématique des symétries et invariances des sources pour prévoir la structure du champ, et le théorème de Gauss pour en calculer la norme dans les cas de haute symétrie. On termine par les aspects énergétiques et l'analogie formelle avec le champ gravitationnel newtonien.

2.1 Champ et potentiel d'une charge ponctuelle

2.1.1 Loi de Coulomb

L'interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles immobiles est décrite par la loi expérimentale de Coulomb (1785).

Définition 2.1Loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles $q_{1}$ et $q_{2}$ , placées respectivement en $M_{1}$ et $M_{2}$ dans le vide, exercent l'une sur l'autre des forces opposées. La force exercée par $q_{1}$ sur $q_{2}$ s'écrit

$F_{1 \to 2} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} u_{1 \to 2}, r = M_{1} M_{2}, u_{1 \to 2} = \frac{M _{1} M _{2}}{r} .$

La constante $ε_{0} ≃ 8.85 \times 1 0^{- 12} F / m$ est la permittivité du vide et $\frac{1}{4 π ε _{0}} ≃ 9.0 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ .

La force est répulsive pour deux charges de même signe ( $q_{1} q_{2} > 0$ ) et attractive pour des charges de signes opposés. Sa décroissance en $1/ r^{2}$ est identique à celle de la gravitation ; à distance égale, l'interaction électrique entre deux protons est cependant environ $1 0^{36}$ fois plus intense que leur interaction gravitationnelle.

2.1.2 Champ électrostatique d'une charge ponctuelle

On interprète l'action à distance en introduisant un intermédiaire, le champ électrostatique : la charge $q$ placée en $O$ modifie l'espace environnant, et une charge test $q^{'}$ placée en $M$ subit la force $F = q^{'} E (M)$ .

Définition 2.2Champ d'une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle $q$ située en $O$ crée en tout point $M$ (repéré par $O M = r u_{r}$ ) le champ électrostatique

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$

Le champ s'exprime en volts par mètre ( $V / m = N / C$ ). Il est radial, dirigé vers l'extérieur si $q > 0$ , vers la charge si $q < 0$ .

Figure : Lignes de champ d'une charge ponctuelle : divergentes pour

q > 0

, convergentes pour

q < 0

2.1.3 Potentiel électrostatique

Le champ d'une charge ponctuelle dérive d'un potentiel scalaire. En remarquant que $\frac{u _{r}}{r ^{2}} = - grad (\frac{1}{r})$ , il vient $E = - grad V$ avec :

Définition 2.3Potentiel d'une charge ponctuelle

$V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r} + cste,$

la constante étant choisie nulle lorsqu'on prend l'origine des potentiels à l'infini. Le potentiel s'exprime en volts ( $V$ ).

L'énergie potentielle d'une charge $q^{'}$ placée en un point où règne le potentiel $V$ (créé par les autres charges) vaut

$E_{p} = q^{'} V .$

Pour deux charges ponctuelles distantes de $r$ , on retrouve $E_{p} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q q ^{'}}{r}$ .

2.2 Distributions de charges et superposition

2.2.1 Modélisations continues

À l'échelle macroscopique, on renonce à décrire chaque charge élémentaire et on introduit des densités selon la géométrie de la source :

densité volumique $ρ$ (en $C / m^{3}$ ) : $d q = ρ d τ$ ;
densité surfacique $σ$ (en $C / m^{2}$ ) : $d q = σ d S$ ;
densité linéique $λ$ (en $C / m$ ) : $d q = λ d ℓ$ .

2.2.2 Principe de superposition

Les équations de l'électrostatique étant linéaires, le champ (et le potentiel) créé par un ensemble de sources est la somme des champs (et potentiels) créés par chacune séparément.

Proposition 2.4Champ et potentiel d'une distribution

Pour une distribution volumique $ρ$ occupant un volume $V$ , le champ et le potentiel en $M$ s'écrivent

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} ∭_{V} \frac{ρ ( P ) P M}{P M ^{3}} d τ_{P}, V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} ∭_{V} \frac{ρ ( P )}{P M} d τ_{P} .$

Pour une distribution discrète ${q_{i}}$ : $E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{q _{i}}{P _{i} M ^{2}} u_{i}$ et $V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{q _{i}}{P _{i} M}$ .

Le calcul direct de ces intégrales est souvent lourd. On lui préfère, dès que la symétrie le permet, la démarche « symétries $\to$ Gauss » développée plus bas. Un calcul vectoriel se ramène toujours au calcul de composantes scalaires : ne jamais additionner des vecteurs de directions différentes sans les projeter.

2.3 Propriétés de symétrie et d'invariance

L'exploitation des symétries de la distribution source permet, avant tout calcul, de connaître la direction du champ et les variables dont il dépend. C'est l'étape préalable indispensable à l'usage du théorème de Gauss.

2.3.1 Symétries : direction du champ

Le champ $E$ est un vrai vecteur (vecteur polaire). Il se transforme comme le vecteur position dans une symétrie géométrique de la distribution des sources.

ImportantRègles de symétrie

Si un plan $Π$ est plan de symétrie de la distribution de charges, alors en tout point $M$ de $Π$ le champ $E (M)$ appartient à $Π$ .
Si un plan $Π^{*}$ est plan d'antisymétrie (les charges se transforment en charges opposées), alors en tout point $M$ de $Π^{*}$ le champ $E (M)$ est orthogonal à $Π^{*}$ .

En un point appartenant à deux plans de symétrie, $E$ est porté par leur intersection.

Figure : En un point

M

d'un plan de symétrie des sources, le champ appartient au plan.

2.3.2 Invariances : variables dont dépend le champ

Si la distribution de charges est invariante par une transformation géométrique (translation, rotation), alors les grandeurs $E$ et $V$ le sont aussi : le champ ne dépend pas de la variable associée.

Méthode : Analyse préalable au calcul du champ

Choisir le système de coordonnées adapté à la géométrie (cartésien, cylindrique, sphérique).
Invariances : repérer les translations/rotations laissant la source invariante $\Rightarrow$ variables dont $E$ ne dépend pas.
Symétries : en $M$ , trouver les plans de symétrie/antisymétrie de la source passant par $M$ $\Rightarrow$ direction de $E (M)$ .
En déduire la forme $E = E (variable) u_{direction}$ , puis appliquer Gauss.

Exemple 2.5Trois géométries de référence

Fil infini (axe $O z$ , densité $λ$ ) : invariance par translation selon $z$ et par rotation autour de $z$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Les plans contenant $M$ et l'axe, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$ , sont plans de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).
Plan infini ( $x O y$ , densité $σ$ ) : invariance par translation selon $x$ et $y$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $z$ . Tout plan perpendiculaire au plan chargé est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (z) u_{z}$ .
Distribution à symétrie sphérique (centre $O$ ) : invariance par toute rotation autour de $O$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan passant par $O$ et $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial sphérique).

2.4 Circulation et potentiel

2.4.1 Circulation du champ électrostatique

Proposition 2.6Circulation et existence du potentiel

La circulation du champ électrostatique le long d'un chemin allant de $A$ à $B$ ne dépend que des extrémités :

$\int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = V (A) - V (B),$

et sur tout contour fermé $\oint E \cdot d ℓ = 0$ . Le champ électrostatique est donc à circulation conservative ; il dérive d'un potentiel scalaire :

$E = - grad V ⟺ rot E = 0 .$

La relation locale $rot E = 0$ (équation de Maxwell–Faraday en régime stationnaire) est équivalente à l'existence du potentiel. Le signe « moins » traduit que $E$ pointe vers les potentiels décroissants.

ImportantExpression cartésienne du gradient (exigible)

En coordonnées cartésiennes,

$grad V = \frac{\partial V}{\partial x} u_{x} + \frac{\partial V}{\partial y} u_{y} + \frac{\partial V}{\partial z} u_{z} .$

Les expressions du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques ne sont pas à mémoriser : elles sont fournies si nécessaire.

2.4.2 Lignes de champ et équipotentielles

Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point à $E$ ; une équipotentielle est une surface $V = cste$ .

Proposition 2.7Orthogonalité et orientation

Les lignes de champ électrostatique sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants. En effet, le long d'un déplacement $d ℓ$ sur une équipotentielle, $d V = - E \cdot d ℓ = 0$ , donc $E ⊥ d ℓ$ .

iRemarque

Le resserrement des lignes de champ (tubes de champ étroits) signale un champ intense ; leur évasement loin des sources traduit sa décroissance. Sur une carte de champ, les lignes divergent des charges positives (sources) et convergent vers les charges négatives (puits) ; une carte dont les lignes formeraient des boucles fermées ne peut pas être celle d'un champ électrostatique, puisque sa circulation serait non nulle.

Figure : Champ de deux charges opposées : les lignes partent de

+ q

et aboutissent à

- q

2.5 Théorème de Gauss

2.5.1 Énoncé

◆Théorème 2.8Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée $S$ (orientée vers l'extérieur) est égal à la charge intérieure $Q_{int}$ à cette surface divisée par $ε_{0}$ :

$\oint \oint_{S} E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$

où $Q_{int} = ∭_{V (S)} ρ d τ$ est la charge enfermée par $S$ .

Ce théorème est la forme intégrale de l'équation de Maxwell–Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ (obtenue par le théorème d'Ostrogradski). Seule la charge intérieure contribue au flux, mais les charges extérieures contribuent, elles, au champ $E$ en chaque point de $S$ .

Méthode : Calcul d'un champ par le théorème de Gauss

Applicable seulement lorsque les symétries donnent $E = E (u) u$ avec $E$ constant sur une surface bien choisie :

déterminer par symétrie/invariance la forme de $E$ ;
choisir une surface de Gauss fermée passant par le point $M$ , adaptée à la symétrie (cylindre, sphère) ;
calculer le flux : $E$ sort des intégrales sur les faces où $E ∥ d S$ , le flux est nul là où $E ⊥ d S$ ;
évaluer $Q_{int}$ puis résoudre en $E$ .

2.5.2 Fil infini uniformément chargé

On considère un fil infini d'axe $O z$ portant la densité linéique uniforme $λ$ . L'analyse de symétrie donne $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).

Figure : Surface de Gauss cylindrique (rayon

r

, hauteur

h

) coaxiale au fil.

Proposition 2.9Champ d'un fil infini

$E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} u_{r}, V (r) = - \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln r + cste .$

Démonstration

On prend pour surface de Gauss un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ coaxial au fil. Le flux à travers les deux disques de base est nul ( $E ⊥ d S$ ). Sur la surface latérale $E = E (r) u_{r}$ est parallèle à $d S$ et $E (r)$ y est constant :

$Φ = E (r) \times 2 π r h .$

La charge intérieure est $Q_{int} = λh$ . Le théorème de Gauss donne $E (r) 2 π r h = λh / ε_{0}$ , soit

$E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} .$

Le potentiel s'obtient par $E = - d V / d r$ . La décroissance en $1/ r$ (et non $1/ r^{2}$ ) reflète la géométrie infinie du fil ; on ne peut pas choisir l'origine des potentiels à l'infini.

2.5.3 Plan infini uniformément chargé

Plan $z = 0$ portant la densité surfacique uniforme $σ$ . La symétrie donne $E = E (z) u_{z}$ , avec $E (- z) = - E (z)$ (le plan est plan de symétrie de la source).

Proposition 2.10Champ d'un plan infini

De part et d'autre du plan,

$E = \frac{σ}{2 ε _{0}} u_{z} (z > 0), E = - \frac{σ}{2 ε _{0}} u_{z} (z < 0) .$

Le champ est uniforme de chaque côté et subit une discontinuité $σ / ε_{0}$ à la traversée du plan.

Démonstration

On choisit une surface de Gauss cylindrique droite (« pilulier »), d'axe $O z$ , de section $S$ , débordant symétriquement de part et d'autre du plan entre les cotes $- z$ et $+ z$ .

Le flux latéral est nul ( $E ⊥ d S$ ). Sur les deux bases, $E$ est parallèle à la normale sortante et de même norme $E (z)$ par symétrie :

$Φ = 2 E (z) S .$

La charge intérieure est $Q_{int} = σ S$ . Gauss donne $2 E (z) S = σ S / ε_{0}$ , d'où $E (z) = σ / (2 ε_{0})$ , indépendant de $z$ .

2.5.4 Sphère et boule uniformément chargées

Figure : Surface de Gauss sphérique concentrique (

r > R

) à une distribution à symétrie sphérique.

Considérons une boule de rayon $R$ chargée uniformément en volume, de densité $ρ$ , de charge totale $Q = \frac{4}{3} π R^{3} ρ$ . Le champ est radial $E = E (r) u_{r}$ .

Proposition 2.11Boule uniformément chargée

$E (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} (r \geq R), E (r) = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}} = \frac{ρ r}{3 ε _{0}} (r \leq R) .$

À l'extérieur, tout se passe comme si la charge était concentrée au centre.

Démonstration

Surface de Gauss : sphère de rayon $r$ centrée en $O$ . Par symétrie $E (r)$ est constant sur cette sphère et $E ∥ d S$ , donc $Φ = E (r) 4 π r^{2}$ .

Pour $r \geq R$ : $Q_{int} = Q$ , d'où $E (r) 4 π r^{2} = Q / ε_{0}$ et $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ .
Pour $r \leq R$ : $Q_{int} = ρ \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = Q r^{3} / R^{3}$ , d'où $E (r) = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ , croissant linéairement de $0$ (au centre) à sa valeur en surface.

Le champ est continu en $r = R$ (pas de charge surfacique). Pour une sphère creuse chargée en surface, on aurait $E = 0$ à l'intérieur et $E = Q / (4 π ε_{0} r^{2})$ à l'extérieur, avec discontinuité $σ / ε_{0}$ .

2.5.5 Condensateur plan

Un condensateur plan est formé de deux plaques parallèles, de surface $S$ , distantes de $e$ (avec $e ≪ S$ pour négliger les effets de bord), portant les charges $+ Q$ et $- Q$ , soit les densités $\pm σ$ avec $σ = Q / S$ .

Figure : Champ uniforme entre les armatures d'un condensateur plan.

Proposition 2.12Condensateur plan

Entre les armatures, les champs des deux plans s'ajoutent ; à l'extérieur, ils se compensent :

$E_{int} = \frac{σ}{ε _{0}}, E_{ext} = 0.$

La différence de potentiel et la capacité valent

$U = E e = \frac{σ e}{ε _{0}} = \frac{Q e}{ε _{0} S}, C = \frac{Q}{U} = \frac{ε _{0} S}{e} .$

Démonstration

Chaque plan crée un champ uniforme de norme $σ / (2 ε_{0})$ dirigé de la plaque $+$ vers la plaque $-$ . Entre les armatures les deux contributions sont de même sens : $E = 2 \times σ / (2 ε_{0}) = σ / ε_{0}$ . À l'extérieur elles sont opposées : $E = 0$ . La d.d.p. entre armatures vaut $U = \int E \cdot d ℓ = E e = σ e / ε_{0}$ . Avec $Q = σ S$ , on obtient $C = Q / U = ε_{0} S / e$ .

iRemarqueOrdres de grandeur de champs électriques

Le champ ne peut croître indéfiniment : au-delà du champ disruptif de l'air ( $E_{d} ≃ 3 \times 1 0^{6} V / m$ ), une étincelle (claquage) court-circuite le condensateur. C'est ce qui limite en pratique la tension applicable. Pour situer cette valeur : le champ électrique atmosphérique au sol par beau temps vaut $\sim 100 V / m$ , tandis que le champ régnant au niveau de l'électron dans l'atome d'hydrogène atteint $\sim 5 \times 1 0^{11} V / m$ — hors de portée de tout dispositif macroscopique.

2.6 Le dipôle électrostatique

De nombreuses molécules (eau, chlorure d'hydrogène, …) sont globalement neutres mais possèdent des barycentres des charges positives et négatives distincts : à distance, elles se comportent comme un dipôle électrostatique. Ce modèle, analogue exact du dipôle magnétique du chapitre suivant, décrit le potentiel et le champ créés par une telle molécule et les actions qu'un champ extérieur exerce sur elle.

2.6.1 Moment dipolaire

Définition 2.13Doublet et moment dipolaire

Un doublet électrostatique est l'ensemble de deux charges opposées $+ q$ et $- q$ ( $q > 0$ ) séparées d'une distance $d$ . Son moment dipolaire est le vecteur

$p = q d (Cm),$

où $d$ est le vecteur allant de la charge $- q$ vers la charge $+ q$ . On parle de dipôle lorsqu'on observe ce doublet à grande distance devant $d$ (approximation dipolaire, $r ≫ d$ ).

iRemarque

À l'échelle moléculaire on exprime souvent $p$ en debye : $1 D ≃ 3.34 \times 1 0^{- 30} Cm$ . La molécule d'eau a un moment $p ≃ 1, 85 D$ , ce qui, avec $d \sim 0.1 nm$ , correspond à une charge partielle de l'ordre de $0, 4 e$ sur chaque atome.

2.6.2 Potentiel et champ créés à grande distance

On place le dipôle à l'origine, $p = p u_{z}$ porté par l'axe $O z$ , et on repère le point $M$ par ses coordonnées sphériques $(r, θ)$ d'axe $O z$ .

Proposition 2.14Potentiel et champ dipolaires

Dans l'approximation dipolaire ( $r ≫ d$ ), le potentiel créé en $M$ vaut

$V (r, θ) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{p cos θ}{r ^{2}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{p \cdot u _{r}}{r ^{2}},$

et le champ électrique qui en dérive s'écrit, en coordonnées sphériques,

$E (r, θ) = \frac{p}{4 π ε _{0} r ^{3}} (2 cos θ u_{r} + sin θ u_{θ}) .$

Démonstration

Le point $M$ est vu des deux charges $+ q$ (en $z = + d /2$ ) et $- q$ (en $z = - d /2$ ) à des distances $r_{+}$ et $r_{-}$ . Par superposition,

$V = \frac{q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{r _{+}} - \frac{1}{r _{-}}) .$

Au premier ordre en $d / r$ , $r_{\pm} ≃ r \mp \frac{d}{2} cos θ$ , d'où $\frac{1}{r _{\pm}} ≃ \frac{1}{r} (1 \pm \frac{d cos θ}{2 r})$ et

$V ≃ \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{d cos θ}{r ^{2}} = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}} .$

Le champ s'obtient par $E = - grad V$ en sphérique : $E_{r} = - \partial_{r} V = \frac{2 p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ et $E_{θ} = - \frac{1}{r} \partial_{θ} V = \frac{p sin θ}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ .

ImportantDécroissance caractéristique

Le potentiel et le champ d'un dipôle décroissent plus vite que ceux d'une charge ponctuelle (monopôle) :

$monop o ˆ le : V \propto \frac{1}{r}, E \propto \frac{1}{r ^{2}} contre dip o ˆ le : V \propto \frac{1}{r ^{2}}, E \propto \frac{1}{r ^{3}} .$

Cette décroissance plus rapide traduit la neutralité globale du dipôle : de loin, les deux charges opposées se « masquent » partiellement. De plus $V$ et $E$ dépendent de l'orientation $θ$ : le champ est maximal dans l'axe ( $θ = 0$ ) et minimal dans le plan équatorial ( $θ = π /2$ ).

Figure : Lignes de champ d'un dipôle électrostatique : elles partent de

+ q

, contournent le doublet et rejoignent

- q

, avec la symétrie de révolution autour de l'axe

p

2.6.3 Actions d'un champ extérieur sur un dipôle rigide

On considère un dipôle rigide (moment $p$ de norme fixée) plongé dans un champ extérieur $E$ .

ImportantRésultante, moment et énergie potentielle

Moment (couple) : $Γ = p \land E$ , qui tend à aligner $p$ sur $E$ .
Résultante : en champ uniforme, les forces $+ q E$ et $- q E$ se compensent, $F = 0$ : le dipôle ne subit qu'un couple. En champ non uniforme,

$F = (p \cdot \nabla) E = grad (p \cdot E),$

qui attire le dipôle (aligné) vers les zones de champ intense.

Énergie potentielle : $E_{p} = - p \cdot E$ , minimale quand $p ∥ E$ (équilibre stable), maximale en position antiparallèle (équilibre instable).

Démonstration (Couple et énergie)

Notons $α$ l'angle $(p, E)$ . Les deux forces $\pm q E$ forment un couple de moment $Γ = q E d sin α = pE sin α$ , soit vectoriellement $Γ = p \land E$ . Le travail de rotation $d W = - Γ d α = - pE sin α d α$ dérive de l'énergie $E_{p} = - pE cos α = - p \cdot E$ . On vérifie $Γ = - \partial E_{p} / \partial α u$ et l'équilibre stable en $α = 0$ .

2.6.4 Exemples résolus sur le dipôle

Exemple 2.15Champ dans l'axe et dans le plan équatorial

Comparer la norme du champ dipolaire à distance $r$ dans l'axe ( $θ = 0$ ) et dans le plan équatorial ( $θ = π /2$ ).

Démonstration

Dans l'axe, $E = \frac{2 p}{4 π ε _{0} r ^{3}} u_{r}$ (colinéaire à $p$ , même sens) : $E_{axe} = \frac{2 p}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ . Dans le plan équatorial, $E = \frac{p}{4 π ε _{0} r ^{3}} u_{θ}$ (opposé à $p$ ) : $E_{eq} = \frac{p}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ . Le champ axial est deux fois plus intense que le champ équatorial, à même distance.

Exemple 2.16Oscillations d'une molécule polaire

Une molécule de moment $p$ et de moment d'inertie $J$ est placée dans un champ uniforme $E$ . Étudier son mouvement autour de l'équilibre.

Démonstration

Le couple $Γ = p \land E$ donne $J α ¨ = - pE sin α$ , où $α = (p, E)$ . Pour les petits angles, $α ¨ + \frac{pE}{J} α = 0$ : oscillations harmoniques de pulsation $ω = pE / J$ autour de $p ∥ E$ ( $E_{p}$ minimale, équilibre stable). C'est le mécanisme de l'orientation des molécules d'eau dans un four à micro-ondes.

2.7 Aspects énergétiques

2.7.1 Énergie d'un condensateur et densité d'énergie

L'énergie stockée dans un condensateur de capacité $C$ chargé sous la tension $U$ est

$E_{p} = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} Q U .$

En l'exprimant à l'aide du champ $E = U / e$ et du volume $V = S e$ occupé par le champ :

$E_{p} = \frac{1}{2} \frac{ε _{0} S}{e} (E e)^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} (S e) ⟹ u_{e} = \frac{E _{p}}{V} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$

$u_{e}$ est la densité volumique d'énergie électrostatique ( $J / m^{3}$ ). Bien qu'établie sur le condensateur plan, cette expression est générale : l'énergie est « stockée dans le champ » lui-même, en tout point de l'espace.

2.7.2 Énergie de constitution d'une boule chargée

(Complément hors programme.)

Exemple 2.17Énergie d'un noyau modélisé par une boule uniformément chargée

On construit la boule finale (rayon $R$ , charge $Q$ , densité $ρ$ ) en amenant depuis l'infini des couches successives. Lorsque la boule a le rayon $r$ et la charge $q (r) = \frac{4}{3} π r^{3} ρ$ , ajouter la couche $d r$ (charge $d q = 4 π r^{2} ρ d r$ ) coûte

$d W = \frac{q ( r ) d q}{4 π ε _{0} r} = \frac{1}{4 π ε _{0} r} (\frac{4}{3} π r^{3} ρ) (4 π r^{2} ρ d r) = \frac{4 π ρ ^{2}}{3 ε _{0}} r^{4} d r .$

En intégrant de $0$ à $R$ et en réexprimant avec $Q = \frac{4}{3} π R^{3} ρ$ :

$W = \frac{4 π ρ ^{2}}{3 ε _{0}} \frac{R ^{5}}{5} = \frac{3}{5} \frac{Q ^{2}}{4 π ε _{0} R} .$

Cette énergie d'auto-construction rend compte, en physique nucléaire, du terme coulombien qui déstabilise les gros noyaux.

2.8 Analogie avec le champ gravitationnel

Les lois de Coulomb et de Newton ont la même structure en $1/ r^{2}$ . On passe formellement de l'une à l'autre par les correspondances :

$\frac{1}{4 π ε _{0}} ⟷ - G, q ⟷ m .$

	Électrostatique	Gravitation
Force	$\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} u$	$- G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}} u$
[1.2ex] Champ</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $G = - G \frac{m}{r ^{2}} u_{r}$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.2ex] Potentiel</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $Φ = - G \frac{m}{r}$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.2ex] Th. de Gauss</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint G \cdot d S = - 4 π G M_{int}$ </td></tr></table></div> iRemarque La différence essentielle : les masses sont toujours positives et la gravitation est toujours attractive ( $- G < 0$ ), alors que les charges des deux signes rendent l'interaction électrique tantôt attractive tantôt répulsive. L'analogie permet d'importer directement les résultats : le champ gravitationnel d'un astre à symétrie sphérique de masse $M$ vaut $G (r) = GM / r^{2}$ à l'extérieur ( $r \geq R$ ) et croît en $G = GM r / R^{3}$ à l'intérieur, exactement comme la boule chargée. 2.9 Synthèse du chapitre À retenir Charge ponctuelle : $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$ , $V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r}$ , $E_{p} = q^{'} V$ . Structure du champ : $E = - grad V$ ; $rot E = 0$ ; circulation conservative ; lignes de champ $⊥$ équipotentielles, orientées vers les potentiels décroissants. Méthode : invariances $\Rightarrow$ variables ; symétries (plan de sym. $\Rightarrow$ $E$ dans le plan, antisym. $\Rightarrow$ $E ⊥$ plan) $\Rightarrow$ direction ; puis Gauss $\oint \oint E \cdot d S = Q_{int} / ε_{0}$ . Résultats de référence : Fil infini : $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ (décroît en $1/ r$ ). Plan infini : $E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$ (uniforme, discontinuité $σ / ε_{0}$ ). Boule uniforme : $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ ( $r \geq R$ ), $E = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ ( $r \leq R$ ). Condensateur plan : $E = \frac{σ}{ε _{0}}$ , $C = \frac{ε _{0} S}{e}$ . Énergie : $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ ; $E_{p} = \frac{1}{2} C U^{2}$ . Analogie gravitationnelle : $\frac{1}{4 π ε _{0}} \leftrightarrow - G$ , $q \leftrightarrow m$ . <i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.10 Exercices résolus Exemple 2.18Champ sur l'axe d'un anneau chargé Un anneau de rayon $R$ , de charge totale $Q$ uniformément répartie, est centré en $O$ dans le plan $x O y$ . Déterminer $E$ en un point $M$ de l'axe $O z$ , à la cote $z$ . Démonstration L'axe $O z$ est axe de symétrie : par superposition, les composantes radiales des contributions se compensent et $E = E (z) u_{z}$ . Un élément $d q$ situé à la distance $d = R^{2} + z^{2}$ de $M$ crée un champ dont la projection sur $O z$ est $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{d q}{d ^{2}} cos α$ avec $cos α = z / d$ . En sommant : $E (z) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{z}{( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} \int d q = \frac{Q z}{4 π ε _{0} ( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .$ Vérifications : $E (0) = 0$ (par symétrie) ; pour $z ≫ R$ , $E ≃ Q / (4 π ε_{0} z^{2})$ (charge ponctuelle vue de loin). Exemple 2.19Ordre de grandeur d'un champ Estimer le champ créé à $1 cm$ par une charge ponctuelle $q = 1 nC$ . Démonstration $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} = 9, 0 \times 1 0^{9} \times \frac{1 0 ^{- 9}}{( 1 0 ^{- 2} ) ^{2}} = 9 \times 1 0^{4} V / m$ . C'est bien inférieur au champ disruptif de l'air ( $\sim 3 \times 1 0^{6} V / m$ ) : pas de claquage. Exemple 2.20Cylindre plein uniformément chargé Un cylindre infini de rayon $R$ , chargé uniformément en volume ( $ρ$ ), d'axe $O z$ . Déterminer $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur. Démonstration Symétrie cylindrique : $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss cylindrique de rayon $r$ , hauteur $h$ : $Φ = E (r) 2 π r h$ . $r \leq R$ : $Q_{int} = ρ π r^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ r}{2 ε _{0}}$ (croissance linéaire). $r \geq R$ : $Q_{int} = ρ π R^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ R ^{2}}{2 ε _{0} r} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ avec $λ = ρ π R^{2}$ . On retrouve à l'extérieur le champ du fil infini de charge linéique équivalente $λ$ . Exemple 2.21Deux plans parallèles opposés Deux plans infinis parallèles portent $+ σ$ et $- σ$ . Montrer que le champ est nul à l'extérieur et vaut $σ / ε_{0}$ entre eux. Démonstration Chaque plan crée $σ / (2 ε_{0})$ dirigé de $+ σ$ vers $- σ$ . Par superposition : entre les plans les deux champs s'ajoutent ( $E = σ / ε_{0}$ ) ; à l'extérieur ils s'opposent ( $E = 0$ ). C'est le modèle du condensateur plan idéal. Exemple 2.22Énergie d'un condensateur chargé Un condensateur plan a des armatures de surface $S = 100 c m^{2}$ distantes de $e = 1 mm$ , sous $U = 100 V$ . Calculer $C$ , $Q$ et l'énergie stockée. Démonstration $C = \frac{ε _{0} S}{e} = \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 3}} ≃ 8.85 \times 1 0^{- 11} F (\approx 89 pF)$ . $Q = C U ≃ 8.85 \times 1 0^{- 9} C$ . Énergie $E_{p} = \frac{1}{2} C U^{2} ≃ \frac{1}{2} \times 8, 85 \times 1 0^{- 11} \times 1 0^{4} ≃ 4.4 \times 1 0^{- 7} J$ . On vérifie $E = U / e = 1 \times 1 0^{5} V / m$ et $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} ≃ 4.4 \times 1 0^{- 2} J / m^{3}$ , cohérent avec $E_{p} = u_{e} S e$ . Exemple 2.23Potentiel d'une sphère chargée en surface Une sphère de rayon $R$ porte la charge $Q$ uniformément répartie en surface. Établir $V (r)$ pour $r \geq R$ et $r \leq R$ , origine à l'infini. Démonstration À l'extérieur, $E = Q / (4 π ε_{0} r^{2})$ donne $V (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r}$ ( $r \geq R$ ). À l'intérieur $E = 0$ donc $V$ y est uniforme, égal à sa valeur en surface par continuité : $V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}$ ( $r \leq R$ ). Le potentiel est continu partout ; seul $E$ est discontinu en $r = R$ . Exemple 2.24Vitesse de libération électrostatique Une charge $q > 0$ de masse $m$ est lâchée sans vitesse depuis la surface d'une sphère de charge $Q > 0$ et de rayon $R$ . Quelle vitesse atteint-elle à l'infini ? Démonstration Conservation de l'énergie mécanique, l'extérieur étant équivalent à une charge ponctuelle $Q$ : $\frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} = q (V (R) - V (\infty)) = \frac{q Q}{4 π ε _{0} R}$ , d'où $v_{\infty} = \frac{q Q}{2 π ε _{0} m R} .$ Analogue exact de la vitesse de libération gravitationnelle, avec $q Q / (4 π ε_{0}) \leftrightarrow G m M$ . 2.11 Exercices d'entraînement Deux charges. Deux charges $+ q$ et $+ q$ sont placées en $(- a, 0)$ et $(a, 0)$ . Déterminer le champ et le potentiel en un point de l'axe $O y$ ; où le champ est-il nul ? Dipôle. Deux charges $+ q$ et $- q$ distantes de $a$ forment un dipôle de moment $p = q a$ . Établir le potentiel $V = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ dans l'approximation dipolaire ( $r ≫ a$ ) et comparer la décroissance de $V$ et de $E$ à celle d'une charge ponctuelle. Segment chargé. Un segment de longueur $2 L$ porte la densité linéique $λ$ . Calculer le champ en un point de son plan médiateur à la distance $d$ , et vérifier la limite $L \to \infty$ . Disque chargé. Un disque de rayon $R$ porte $σ$ uniforme. Établir $E (z) = \frac{σ}{2 ε _{0}} (1 - \frac{z}{z ^{2} + R ^{2}})$ sur son axe ; retrouver le plan infini quand $R \to \infty$ . Sphère creuse. Tracer $E (r)$ et $V (r)$ pour une sphère de rayon $R$ chargée en surface, et repérer la discontinuité de $E$ . Cavité. Une boule de densité $ρ$ contient une cavité sphérique vide décentrée (vecteur centre à centre $d$ ). Montrer, par superposition, que le champ dans la cavité est uniforme et vaut $E = ρ d / (3 ε_{0})$ . Condensateur cylindrique. Deux cylindres coaxiaux de rayons $R_{1} < R_{2}$ et longueur $ℓ$ portent $\pm Q$ . Établir $C = \frac{2 π ε _{0} ℓ}{ln ( R _{2} / R _{1} )}$ . Condensateur sphérique. Deux sphères concentriques de rayons $R_{1} < R_{2}$ . Établir $C = 4 π ε_{0} \frac{R _{1} R _{2}}{R _{2} - R _{1}}$ et retrouver le condensateur plan quand $R_{2} - R_{1} ≪ R_{1}$ . Énergie et force. Pour un condensateur plan isolé (charge $Q$ constante), calculer $E_{p} (e)$ et en déduire la force d'attraction entre armatures $F = - d E_{p} / d e = Q^{2} / (2 ε_{0} S)$ . Champ à partir d'équipotentielles. On donne un réseau d'équipotentielles espacées de $Δ V = 10 V$ , distantes localement de $2 mm$ . Estimer la norme du champ ; dans quel sens pointe $E$ ? Modèle de l'atome. Une charge ponctuelle $+ e$ (noyau) est au centre d'une boule uniformément chargée $- e$ de rayon $R$ (nuage électronique). Déterminer $E (r)$ pour $r \leq R$ et montrer qu'une force de rappel élastique apparaît si le noyau est déplacé de sa position d'équilibre. Analogie gravitationnelle. En exploitant l'analogie, établir le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur d'une planète homogène de masse $M$ et de rayon $R$ , et localiser le maximum de $G (r)$ . Équipotentielles d'un dipôle. À partir de $V = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , établir l'équation des surfaces équipotentielles $r^{2} = K cos θ$ et esquisser leur allure ; vérifier qu'elles sont orthogonales aux lignes de champ. Dipôle dans un gradient. Un dipôle $p = p u_{z}$ est placé sur l'axe d'un champ non uniforme $E = E (z) u_{z}$ . Exprimer la force $F_{z} = p \frac{d E}{d z}$ et discuter le sens du déplacement selon l'orientation de $p$ . Interaction ion--dipôle. Un ion de charge $Q$ est à distance $r$ d'une molécule d'eau ( $p = 1, 85 D$ ) dont le moment pointe vers l'ion. Exprimer l'énergie d'interaction $E_{p} = - p \cdot E$ et estimer sa valeur pour $r = 0.3 nm$ ; comparer à l'agitation thermique $k_{B} T$ à $300 K$ . Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices ← Sources du champ électromagnétique Magnétostatique → Adloun — cours, exercices corrigés et annales du bac, du lycée aux classes préparatoires. Découvrir la plateforme · Tous les chapitres d'électromagnétisme (MP) · Tous les cours · Exercices corrigés · Annales du bac Mentions légales · CGV · Confidentialité

Électrostatique

Gravitation

Force

\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} u

- G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}} u

[1.2ex]

Champ</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $G = - G \frac{m}{r ^{2}} u_{r}$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.2ex] Potentiel</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $Φ = - G \frac{m}{r}$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.2ex] Th. de Gauss</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\oint \oint G \cdot d S = - 4 π G M_{int}$ </td></tr></table></div>

iRemarque

La différence essentielle : les masses sont toujours positives et la gravitation est toujours attractive ( $- G < 0$ ), alors que les charges des deux signes rendent l'interaction électrique tantôt attractive tantôt répulsive. L'analogie permet d'importer directement les résultats : le champ gravitationnel d'un astre à symétrie sphérique de masse $M$ vaut $G (r) = GM / r^{2}$ à l'extérieur ( $r \geq R$ ) et croît en $G = GM r / R^{3}$ à l'intérieur, exactement comme la boule chargée.

2.9 Synthèse du chapitre

À retenir

Charge ponctuelle : $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$ , $V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r}$ , $E_{p} = q^{'} V$ .

Structure du champ : $E = - grad V$ ; $rot E = 0$ ; circulation conservative ; lignes de champ $⊥$ équipotentielles, orientées vers les potentiels décroissants.

Méthode : invariances $\Rightarrow$ variables ; symétries (plan de sym. $\Rightarrow$ $E$ dans le plan, antisym. $\Rightarrow$ $E ⊥$ plan) $\Rightarrow$ direction ; puis Gauss $\oint \oint E \cdot d S = Q_{int} / ε_{0}$ .

Résultats de référence :

Fil infini : $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ (décroît en $1/ r$ ).
Plan infini : $E = \frac{σ}{2 ε _{0}}$ (uniforme, discontinuité $σ / ε_{0}$ ).
Boule uniforme : $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ ( $r \geq R$ ), $E = \frac{Q r}{4 π ε _{0} R ^{3}}$ ( $r \leq R$ ).
Condensateur plan : $E = \frac{σ}{ε _{0}}$ , $C = \frac{ε _{0} S}{e}$ .

Énergie : $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ ; $E_{p} = \frac{1}{2} C U^{2}$ .

Analogie gravitationnelle : $\frac{1}{4 π ε _{0}} \leftrightarrow - G$ , $q \leftrightarrow m$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.10 Exercices résolus

Exemple 2.18Champ sur l'axe d'un anneau chargé

Un anneau de rayon $R$ , de charge totale $Q$ uniformément répartie, est centré en $O$ dans le plan $x O y$ . Déterminer $E$ en un point $M$ de l'axe $O z$ , à la cote $z$ .

Démonstration

L'axe $O z$ est axe de symétrie : par superposition, les composantes radiales des contributions se compensent et $E = E (z) u_{z}$ . Un élément $d q$ situé à la distance $d = R^{2} + z^{2}$ de $M$ crée un champ dont la projection sur $O z$ est $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{d q}{d ^{2}} cos α$ avec $cos α = z / d$ . En sommant :

$E (z) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{z}{( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} \int d q = \frac{Q z}{4 π ε _{0} ( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .$

Vérifications : $E (0) = 0$ (par symétrie) ; pour $z ≫ R$ , $E ≃ Q / (4 π ε_{0} z^{2})$ (charge ponctuelle vue de loin).

Exemple 2.19Ordre de grandeur d'un champ

Estimer le champ créé à $1 cm$ par une charge ponctuelle $q = 1 nC$ .

Démonstration

$E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} = 9, 0 \times 1 0^{9} \times \frac{1 0 ^{- 9}}{( 1 0 ^{- 2} ) ^{2}} = 9 \times 1 0^{4} V / m$ . C'est bien inférieur au champ disruptif de l'air ( $\sim 3 \times 1 0^{6} V / m$ ) : pas de claquage.

Exemple 2.20Cylindre plein uniformément chargé

Un cylindre infini de rayon $R$ , chargé uniformément en volume ( $ρ$ ), d'axe $O z$ . Déterminer $E (r)$ à l'intérieur et à l'extérieur.

Démonstration

Symétrie cylindrique : $E = E (r) u_{r}$ . Surface de Gauss cylindrique de rayon $r$ , hauteur $h$ : $Φ = E (r) 2 π r h$ .

$r \leq R$ : $Q_{int} = ρ π r^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ r}{2 ε _{0}}$ (croissance linéaire).
$r \geq R$ : $Q_{int} = ρ π R^{2} h$ , d'où $E (r) = \frac{ρ R ^{2}}{2 ε _{0} r} = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ avec $λ = ρ π R^{2}$ .

On retrouve à l'extérieur le champ du fil infini de charge linéique équivalente $λ$ .

Exemple 2.21Deux plans parallèles opposés

Deux plans infinis parallèles portent $+ σ$ et $- σ$ . Montrer que le champ est nul à l'extérieur et vaut $σ / ε_{0}$ entre eux.

Démonstration

Chaque plan crée $σ / (2 ε_{0})$ dirigé de $+ σ$ vers $- σ$ . Par superposition : entre les plans les deux champs s'ajoutent ( $E = σ / ε_{0}$ ) ; à l'extérieur ils s'opposent ( $E = 0$ ). C'est le modèle du condensateur plan idéal.

Exemple 2.22Énergie d'un condensateur chargé

Un condensateur plan a des armatures de surface $S = 100 c m^{2}$ distantes de $e = 1 mm$ , sous $U = 100 V$ . Calculer $C$ , $Q$ et l'énergie stockée.

Démonstration

$C = \frac{ε _{0} S}{e} = \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 3}} ≃ 8.85 \times 1 0^{- 11} F (\approx 89 pF)$ . $Q = C U ≃ 8.85 \times 1 0^{- 9} C$ . Énergie $E_{p} = \frac{1}{2} C U^{2} ≃ \frac{1}{2} \times 8, 85 \times 1 0^{- 11} \times 1 0^{4} ≃ 4.4 \times 1 0^{- 7} J$ . On vérifie $E = U / e = 1 \times 1 0^{5} V / m$ et $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} ≃ 4.4 \times 1 0^{- 2} J / m^{3}$ , cohérent avec $E_{p} = u_{e} S e$ .

Exemple 2.23Potentiel d'une sphère chargée en surface

Une sphère de rayon $R$ porte la charge $Q$ uniformément répartie en surface. Établir $V (r)$ pour $r \geq R$ et $r \leq R$ , origine à l'infini.

Démonstration

À l'extérieur, $E = Q / (4 π ε_{0} r^{2})$ donne $V (r) = \frac{Q}{4 π ε _{0} r}$ ( $r \geq R$ ). À l'intérieur $E = 0$ donc $V$ y est uniforme, égal à sa valeur en surface par continuité : $V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}$ ( $r \leq R$ ). Le potentiel est continu partout ; seul $E$ est discontinu en $r = R$ .

Exemple 2.24Vitesse de libération électrostatique

Une charge $q > 0$ de masse $m$ est lâchée sans vitesse depuis la surface d'une sphère de charge $Q > 0$ et de rayon $R$ . Quelle vitesse atteint-elle à l'infini ?

Démonstration

Conservation de l'énergie mécanique, l'extérieur étant équivalent à une charge ponctuelle $Q$ : $\frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} = q (V (R) - V (\infty)) = \frac{q Q}{4 π ε _{0} R}$ , d'où

$v_{\infty} = \frac{q Q}{2 π ε _{0} m R} .$

Analogue exact de la vitesse de libération gravitationnelle, avec $q Q / (4 π ε_{0}) \leftrightarrow G m M$ .

2.11 Exercices d'entraînement

Deux charges. Deux charges $+ q$ et $+ q$ sont placées en $(- a, 0)$ et $(a, 0)$ . Déterminer le champ et le potentiel en un point de l'axe $O y$ ; où le champ est-il nul ?
Dipôle. Deux charges $+ q$ et $- q$ distantes de $a$ forment un dipôle de moment $p = q a$ . Établir le potentiel $V = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ dans l'approximation dipolaire ( $r ≫ a$ ) et comparer la décroissance de $V$ et de $E$ à celle d'une charge ponctuelle.
Segment chargé. Un segment de longueur $2 L$ porte la densité linéique $λ$ . Calculer le champ en un point de son plan médiateur à la distance $d$ , et vérifier la limite $L \to \infty$ .
Disque chargé. Un disque de rayon $R$ porte $σ$ uniforme. Établir $E (z) = \frac{σ}{2 ε _{0}} (1 - \frac{z}{z ^{2} + R ^{2}})$ sur son axe ; retrouver le plan infini quand $R \to \infty$ .
Sphère creuse. Tracer $E (r)$ et $V (r)$ pour une sphère de rayon $R$ chargée en surface, et repérer la discontinuité de $E$ .
Cavité. Une boule de densité $ρ$ contient une cavité sphérique vide décentrée (vecteur centre à centre $d$ ). Montrer, par superposition, que le champ dans la cavité est uniforme et vaut $E = ρ d / (3 ε_{0})$ .
Condensateur cylindrique. Deux cylindres coaxiaux de rayons $R_{1} < R_{2}$ et longueur $ℓ$ portent $\pm Q$ . Établir $C = \frac{2 π ε _{0} ℓ}{ln ( R _{2} / R _{1} )}$ .
Condensateur sphérique. Deux sphères concentriques de rayons $R_{1} < R_{2}$ . Établir $C = 4 π ε_{0} \frac{R _{1} R _{2}}{R _{2} - R _{1}}$ et retrouver le condensateur plan quand $R_{2} - R_{1} ≪ R_{1}$ .
Énergie et force. Pour un condensateur plan isolé (charge $Q$ constante), calculer $E_{p} (e)$ et en déduire la force d'attraction entre armatures $F = - d E_{p} / d e = Q^{2} / (2 ε_{0} S)$ .
Champ à partir d'équipotentielles. On donne un réseau d'équipotentielles espacées de $Δ V = 10 V$ , distantes localement de $2 mm$ . Estimer la norme du champ ; dans quel sens pointe $E$ ?
Modèle de l'atome. Une charge ponctuelle $+ e$ (noyau) est au centre d'une boule uniformément chargée $- e$ de rayon $R$ (nuage électronique). Déterminer $E (r)$ pour $r \leq R$ et montrer qu'une force de rappel élastique apparaît si le noyau est déplacé de sa position d'équilibre.
Analogie gravitationnelle. En exploitant l'analogie, établir le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur d'une planète homogène de masse $M$ et de rayon $R$ , et localiser le maximum de $G (r)$ .
Équipotentielles d'un dipôle. À partir de $V = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , établir l'équation des surfaces équipotentielles $r^{2} = K cos θ$ et esquisser leur allure ; vérifier qu'elles sont orthogonales aux lignes de champ.
Dipôle dans un gradient. Un dipôle $p = p u_{z}$ est placé sur l'axe d'un champ non uniforme $E = E (z) u_{z}$ . Exprimer la force $F_{z} = p \frac{d E}{d z}$ et discuter le sens du déplacement selon l'orientation de $p$ .
Interaction ion--dipôle. Un ion de charge $Q$ est à distance $r$ d'une molécule d'eau ( $p = 1, 85 D$ ) dont le moment pointe vers l'ion. Exprimer l'énergie d'interaction $E_{p} = - p \cdot E$ et estimer sa valeur pour $r = 0.3 nm$ ; comparer à l'agitation thermique $k_{B} T$ à $300 K$ .

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