Magnétostatique

Le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers toute surface fermée est nul : il n'existe pas de « charge magnétique » (monopôle) d'où divergeraient les lignes de champ. Conséquence directe : le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers une section d'un tube de champ est le même tout au long du tube. Lorsque la section diminue, $\Vert \overrightarrow{B}\Vert$ augmente : l'évasement des tubes renseigne sur l'intensité du champ.

Symétries. Tout plan contenant l'axe $Oz$ et passant par $M$ est plan de symétrie des courants ; $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire, donc $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ (orthoradial).
Invariances. La distribution est invariante par translation selon $z$ et par rotation d'axe $Oz$ : $B$ ne dépend ni de $z$ ni de $\theta$, donc $B=B(r)$.
Contour d'Ampère. On prend un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $r$, d'axe $Oz$, orienté selon $+{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Sur $\mathcal{C}$, $\overrightarrow{B}$ est tangent et de norme constante :

$${\oint }_{\mathcal{C}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=B(r)\times 2\pi r={\mu }_{0}I.$$

D'où

$$\boxed{\overrightarrow{B}(M)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\overrightarrow{u}}_{\theta }}.$$

Le champ décroît en $1/r$, est orthoradial et respecte la règle de la main droite.

Symétries. On modélise les spires par des courants orthoradiaux répartis continûment. Tout plan contenant l'axe $Oz$ et passant par $M$ est perpendiculaire à ces courants, que la symétrie renverse : plan d'antisymétrie, $\overrightarrow{B}$ y est contenu, donc $B_{\theta }=0$. Le plan passant par $M$ et perpendiculaire à $Oz$ est parallèle aux courants et laisse le solénoïde infini invariant : plan de symétrie, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire, donc $B_r=0$ (on le retrouve par le flux conservatif : à travers un cylindre fermé coaxial, les flux des deux bases se compensent et le flux latéral $2\pi r\ell B_r$ doit être nul).
Invariances. Translation le long de $Oz$ et rotation autour de $Oz$ : $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_z$. Le champ est axial ; son uniformité reste à établir.
Uniformité. Un contour rectangulaire entièrement intérieur, de côtés parallèles à l'axe aux distances $r_1$ et $r_2$, n'enlace aucun courant : $B(r_1)=B(r_2)$, le champ intérieur est uniforme. De même, le champ extérieur est uniforme ; le théorème d'Ampère ne fixe pas sa valeur, et l'on admet qu'il est nul (il s'annule loin du solénoïde).
Contour d'Ampère. On prend un contour rectangulaire $ABCD$ : $AB$ de longueur $L$ à l'intérieur parallèle à l'axe, $CD$ à l'extérieur (où $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$), $BC$ et $DA$ radiaux (perpendiculaires à $\overrightarrow{B}$, circulation nulle).

Seul $AB$ contribue :

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=BL={\mu }_0(nL)I,$$

car $nL$ spires, chacune portant $I$, traversent la surface. D'où

$$\boxed{{\overrightarrow{B}}_{\text{int}}={\mu }_{0}nI{\overrightarrow{u}}_z},{\overrightarrow{B}}_{\text{ext}}=\overrightarrow{0}.$$

Le champ intérieur est uniforme, ce qui fait du solénoïde le générateur de champ magnétique de référence.

Les symétries sont celles du fil : $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_{\theta }$. On applique le théorème d'Ampère sur un cercle de rayon $r$ : $2\pi rB(r)={\mu }_0{I}_{\text{enl}}(r)$.

• $r<a$ (dans l'âme, densité $j=I/\pi a^2$) : $I_{\text{enl}}=I\frac{r^2}{a^2}$, d'où $B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$ (croît linéairement).
• $a<r<b$ (entre les conducteurs) : $I_{\text{enl}}=I$, d'où $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$ (comme un fil).
• $b<r<c$ (dans la gaine) : $I_{\text{enl}}=I(1-\frac{r^2-b^2}{c^2-b^2})$, décroît.
• $r>c$ : $I_{\text{enl}}=I-I=0$, d'où $\boxed{\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}}$.

Le champ est confiné entre les conducteurs : le câble coaxial ne crée aucun champ magnétique à l'extérieur, propriété exploitée pour les liaisons blindées.

La stratégie. On lit chaque carte avec les trois outils du cours : la règle de la main droite pour le sens des courants, les règles du pseudo-vecteur pour les plans, le resserrement des lignes pour l'intensité. Puis on cherche, pour (c) et (d), la surface fermée ou le contour fermé sur lequel la carte contredit une loi.

1) Un champ plan. Le plan de la figure passant par un point $M$ est perpendiculaire aux courants : la symétrie par rapport à ce plan les renverse, c'est un plan d'antisymétrie des courants, et $\overrightarrow{B}(M)$ y est contenu. La distribution est invariante par translation selon $z$ : $\overrightarrow{B}$ ne dépend pas de $z$. Une carte plane décrit donc tout le champ.

2) Sens des courants et plans. Carte (a). Autour du fil de gauche, les lignes tournent dans le sens trigonométrique : par la règle de la main droite, le courant y sort de la feuille, vers le lecteur ; autour du fil de droite, elles tournent dans le sens horaire : le courant entre dans la feuille. Les courants sont opposés, $+I$ et $-I$. Carte (b). Les deux familles tournent dans le sens trigonométrique : les deux courants sortent de la feuille, ils sont de même sens.

Le plan $\Pi$ qui contient les deux fils (trace : la droite qui joint les points noirs) contient les courants, que la symétrie laisse inchangés : c'est un plan de symétrie dans les deux cas. Sur $\Pi$, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire : les lignes coupent la droite des fils à angle droit, ce que montrent les deux cartes. Le plan médiateur. La symétrie par rapport à lui échange les deux fils. En (b), elle échange deux courants égaux : plan de symétrie ${\Pi }_2$, et les lignes coupent la médiatrice à angle droit (les ovales sont symétriques). En (a), elle envoie le courant $+I$ sur la position du courant $-I$ : la distribution devient son opposée, c'est un plan d'antisymétrie ${\Pi }^{\prime }$ ; le champ y est contenu, et la médiatrice est elle-même une ligne de champ, celle qui sépare les deux familles de cercles.

Intensité. Les lignes se resserrent au voisinage de chaque fil, où domine le champ en ${\mu }_{0}I/2\pi r$. Entre les fils de (a), les deux contributions sont de même sens et s'ajoutent : les lignes y sont serrées ; à l'extérieur de la paire elles s'opposent, et les lignes s'écartent vite. En (b), elles s'opposent entre les fils : au milieu $N$, les deux champs sont égaux et opposés, $\overrightarrow{B}(N)=\overrightarrow{0}$, c'est un point neutre. La ligne en huit s'y croise : deux lignes ne peuvent se couper qu'en un point où le champ est nul, puisque ailleurs sa direction est unique. Loin des deux fils, la carte (b) ressemble à celle d'un fil unique portant $2I$ (les ovales deviennent des cercles) ; la carte (a) s'efface beaucoup plus vite (question 5).

3) La carte (c) viole le flux conservatif. La carte est plane et invariante selon $z$ : les lignes divergent en fait d'une droite perpendiculaire à la figure. Prenons pour surface fermée $\Sigma$ un cylindre d'axe cette droite, de rayon $\rho$ et de hauteur $h$. Le champ est radial et sortant sur la face latérale, parallèle aux deux bases : le flux sortant vaut $\oint {\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=2\pi \rho hB(\rho )>0$. Or le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul : la carte (c) est impossible, il n'existe pas de « source » de lignes de champ magnétique. Elle respecte pourtant le théorème d'Ampère : un champ radial a une circulation nulle sur tout cercle centré sur la droite, et sur tout contour (c'est la carte du champ électrique d'un fil chargé, permise pour $\overrightarrow{E}$, interdite pour $\overrightarrow{B}$).

4) La carte (d) viole le théorème d'Ampère. Le champ s'écrit $\overrightarrow{B}=B(y){\overrightarrow{u}}_x$, avec $B$ croissant vers le haut puisque les lignes s'y resserrent. Prenons un contour rectangulaire $\mathcal{C}$ de côtés $L$ parallèles aux lignes, aux hauteurs $y_1<y_2$, parcouru dans le sens trigonométrique. Les côtés verticaux sont perpendiculaires au champ et ne contribuent pas ; le côté du bas est parcouru dans le sens du champ, celui du haut à contre-sens :

$${\oint }_{\mathcal{C}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=L[B(y_1)-B(y_2)]<0.$$

Or aucun courant ne traverse le rectangle : la circulation devrait être nulle. La carte (d) est impossible. Elle respecte en revanche la conservation du flux : $B$ ne dépend pas de $x$, et ce qui entre par une face $x=\text{cte}$ d'une surface fermée ressort par la face opposée. Règle à retenir : dans une région sans courant, des lignes de champ rectilignes et parallèles sont équidistantes ; un resserrement transversal exige un courant entre les lignes (c'est le cas dans la plaque de l'exercice 2).

5) Le câble domestique. Au milieu, chaque conducteur est à $2,5\mathrm{mm}$ et les deux champs s'ajoutent (carte (a)) :

$$\begin{array}{rl}B& =2\times \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d/2)}\\ & =2\times \frac{2\times 10^{-7}\times 16}{2,5\times 10^{-3}}\\ & =2,56\mathrm{mT},\end{array}$$

cinquante fois le champ terrestre. À la distance $y$ dans le plan médiateur, chaque fil est à $\sqrt{y^2+d^2/4}$ ; par le plan d'antisymétrie, seules les composantes portées par la médiatrice subsistent, chacune valant $\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \sqrt{y^2+d^2/4}}\times \frac{d/2}{\sqrt{y^2+d^2/4}}$. Donc

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_{0}Id}{2\pi (y^2+d^2/4)}\approx \frac{{\mu }_{0}Id}{2\pi y^2}\\ & =\frac{2\times 10^{-7}\times 16\times 5\times 10^{-3}}{1^2}\\ & =1,6\times 10^{-8}\mathrm{T}\\ & =16\mathrm{nT}.\end{array}$$

Un fil seul donnerait ${\mu }_{0}I/2\pi y=3,2\mu \mathrm{T}$, deux cents fois plus ; le champ terrestre vaut $47\mu \mathrm{T}$, trois mille fois plus. Les deux courants opposés se compensent au loin : le champ de la paire décroît en $1/y^2$ et non en $1/y$. C'est pourquoi l'aller et le retour d'un courant cheminent toujours ensemble (câbles, paires torsadées) : le champ reste confiné près des conducteurs.

Ce que l'exercice installe. Lire une carte : la main droite donne le sens des courants ; les lignes coupent un plan de symétrie à angle droit et suivent un plan d'antisymétrie ; le resserrement dit l'intensité ; deux lignes ne se croisent qu'en un point neutre. Et deux tests de rejet : le flux conservatif interdit qu'une famille de lignes diverge d'un point ; le théorème d'Ampère interdit, sans courant, que des lignes parallèles se resserrent. Ordre de grandeur : une paire aller-retour ne crée au loin qu'un champ en $1/r^2$.