Équations de Maxwell

Cours · électromagnétisme (MP), chapitre 4 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les chapitres précédents ont décrit séparément le champ électrostatique créé par des charges immobiles et le champ magnétostatique créé par des courants permanents, deux domaines qui restent découplés tant que rien ne dépend du temps. James Clerk Maxwell (1831--1879) a réalisé la synthèse de ces domaines en un jeu unique de quatre équations aux dérivées partielles reliant, en tout point et à tout instant, les champs $E$ et $B$ à leurs sources locales, la densité de charge $ρ$ et la densité de courant $j$ . Ces équations constituent un postulat fondamental de la physique classique : on ne les démontre pas, on les admet, et l'on vérifie qu'elles redonnent tous les résultats connus des régimes stationnaires tout en prédisant des phénomènes nouveaux — au premier rang desquels la propagation des ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière.

Ce chapitre énonce les quatre équations de Maxwell, en dégage la cohérence avec les lois déjà rencontrées, introduit la notion cruciale de courant de déplacement, puis développe le bilan énergétique du champ (densité d'énergie, vecteur de Poynting) avant d'aborder l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques (au programme de PT seulement).

4.1 Les postulats de l'électromagnétisme

4.1.1 La force de Lorentz

L'action du champ électromagnétique sur les charges est postulée sous la forme de la force de Lorentz : une particule de charge $q$ , animée de la vitesse $v$ dans un référentiel galiléen où règnent les champs $E$ et $B$ , subit la force

$F = q (E + v \land B) .$

La composante électrique $q E$ travaille et peut modifier l'énergie cinétique ; la composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas. Cette loi définit opérationnellement les champs : $E$ et $B$ sont les grandeurs par lesquelles la matière chargée « ressent » son environnement électromagnétique.

4.1.2 Les quatre équations locales

ImportantLes équations de Maxwell

Dans le vide (au sens : dans un milieu décrit par les seules sources $ρ$ et $j$ ), les champs $E (r, t)$ et $B (r, t)$ vérifient en tout point et à tout instant :

$Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp e ˋ re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Les constantes fondamentales sont la permittivité du vide $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F / m$ et la perméabilité du vide $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Ces quatre équations se répartissent en deux groupes de nature différente :

Les équations de structure (Maxwell--flux et Maxwell--Faraday) ne font pas intervenir les sources : elles traduisent des propriétés intrinsèques des champs. La première interdit tout monopôle magnétique ; la seconde couple variation temporelle de $B$ et rotationnel de $E$ .
Les équations aux sources (Maxwell--Gauss et Maxwell--Ampère) relient les champs à la charge et au courant qui les produisent.

iRemarque

Le produit $μ_{0} ε_{0}$ a la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse. On pose $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ , dont l'évaluation numérique donne $c ≃ 3, 00 \times 1 0^{8} m / s$ : la coïncidence avec la vitesse de la lumière fut l'argument décisif de Maxwell pour identifier lumière et onde électromagnétique.

4.1.3 Le courant de déplacement

Le terme $μ_{0} ε_{0} \partial E / \partial t$ ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère de la magnétostatique est le courant de déplacement. On définit la densité de courant de déplacement

$j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, de sorte que rot B = μ_{0} (j + j_{d}) .$

Sans ce terme, l'équation d'Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge dès que les régimes deviennent variables, comme le montre la figure fig:condensateur.

Figure : Condensateur en charge. Le courant de conduction

j

traverse la

surface plane $S_{1}$ mais non la surface bombée $S_{2}$ passant entre les armatures. Le courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

assure la continuité en traversant

S_{2}

Démonstration (Nécessité du courant de déplacement)

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell--Ampère. Comme $div (rot B) = 0$ identiquement,

$0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} div (\frac{\partial E}{\partial t}) = μ_{0} div j + μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (ε_{0} div E) .$

En remplaçant $ε_{0} div E$ par $ρ$ (Maxwell--Gauss), on obtient

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0,$

qui est exactement l'équation locale de conservation de la charge. Sans le courant de déplacement, on aurait $div j = 0$ en tout régime, ce qui est faux dès qu'une charge s'accumule quelque part (armature d'un condensateur).

4.2 Formes intégrales et cohérence avec les régimes stationnaires

Les quatre équations locales admettent une écriture intégrale équivalente, obtenue par les théorèmes de Green--Ostrogradski (flux--divergence) et de Stokes (circulation--rotationnel).

Proposition 4.1Formes intégrales

Pour une surface fermée $Σ$ délimitant un volume $V$ , et pour un contour fermé orienté $C$ s'appuyant sur une surface $S$ :

$(th e ˊ or e ˋ me de Gauss) (conservation du flux) (loi de Faraday) (Amp e ˋ re g e ˊ n e ˊ ralis e ˊ) \oint \oint_{Σ} E \cdot d S \oint \oint_{Σ} B \cdot d S \oint_{C} E \cdot d ℓ \oint_{C} B \cdot d ℓ = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}, = 0, = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S, = μ_{0} \iint_{S} (j + ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) \cdot d S .$

4.2.1 Retour aux régimes stationnaires

En régime permanent, toutes les dérivées temporelles s'annulent : $\frac{\partial}{\partial t} = 0$ . Les équations de Maxwell se découplent alors en deux groupes indépendants.

Électrostatique. $div E = ρ / ε_{0}$ et $rot E = 0$ : le champ électrique est à circulation conservative, d'où l'existence d'un potentiel scalaire $E = - grad V$ , et l'on retrouve le théorème de Gauss.
Magnétostatique. $div B = 0$ et $rot B = μ_{0} j$ : on retrouve le flux conservatif du champ magnétique et le théorème d'Ampère.

La grande nouveauté du régime variable est le couplage : Maxwell--Faraday montre qu'une variation de $B$ engendre un champ $E$ à circulation non nulle (induction), tandis que Maxwell--Ampère montre qu'une variation de $E$ engendre un champ $B$ .

Exemple 4.2Cohérence avec la loi de Faraday

La forme intégrale de Maxwell--Faraday, pour un contour fixe, s'écrit $e = \oint_{C} E \cdot d ℓ = - \frac{d Φ}{d t}$ avec $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ : c'est exactement la loi de Faraday de l'induction, où la f.é.m. induite est l'opposée de la variation du flux magnétique. L'équation locale contient donc l'induction comme cas particulier.

Attention

Le champ électrique en régime variable n'est plus, en général, à circulation conservative ( $rot E \neq = 0$ ) : on ne peut plus lui associer un simple potentiel scalaire, contrairement au cas de l'électrostatique. C'est précisément le couplage entre $E$ et $B$ qui rend possible la propagation des ondes électromagnétiques.

4.2.2 Équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique

En régime stationnaire, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire, $E = - grad V$ , et vérifie l'équation de Maxwell--Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ . En combinant ces deux relations,

$div E = div (- grad V) = - Δ V = \frac{ρ}{ε _{0}},$

où $Δ = div grad$ désigne l'opérateur laplacien. Le potentiel obéit donc à une équation aux dérivées partielles du second ordre.

◆Théorème 4.3Équations de Poisson et de Laplace

Le potentiel électrostatique $V$ vérifie en tout point l'équation de Poisson

$Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0 c’est- a ˋ -dire Δ V = - \frac{ρ}{ε _{0}} .$

Dans une région vide de charges ( $ρ = 0$ ), elle se réduit à l'équation de Laplace

$Δ V = 0 .$

Ces équations déterminent entièrement le potentiel — donc le champ $E = - grad V$ — dans un domaine, dès que sont fixées les conditions aux limites (valeur de $V$ , ou de sa dérivée normale, sur la frontière). Elles sont le point de départ de la résolution, notamment numérique, des problèmes d'électrostatique.

ImportantAnalogie gravitationnelle

Le champ de gravitation $G$ créé par une distribution de masse de densité volumique $μ$ dérive lui aussi d'un potentiel, $G = - grad ϕ$ , et vérifie un théorème de Gauss gravitationnel de forme locale $div G = - 4 π G μ$ , analogue de Maxwell--Gauss avec les correspondances $\frac{1}{ε _{0}} \leftrightarrow - 4 π G$ et $ρ \leftrightarrow μ$ . En y reportant $G = - grad ϕ$ , le potentiel gravitationnel obéit à l'équation de Poisson gravitationnelle

$Δ ϕ = 4 π G μ,$

qui se réduit à $Δ ϕ = 0$ (Laplace) dans le vide. La structure est identique à celle de l'électrostatique, au signe près : les masses étant toujours positives, la gravitation est toujours attractive.

Exemple 4.4Potentiel entre les armatures d'un condensateur plan

Entre les armatures planes d'un condensateur (plans $z = 0$ et $z = e$ ), l'espace est vide de charges. Déterminer $V (z)$ , sachant que le potentiel ne dépend que de $z$ , avec $V (0) = U$ et $V (e) = 0$ .

Démonstration

L'espace inter-armatures étant vide de charges, $V$ vérifie l'équation de Laplace. Comme $V = V (z)$ , elle se réduit à

$Δ V = \frac{d ^{2} V}{d z ^{2}} = 0,$

dont la solution est affine : $V (z) = A z + B$ . Les conditions aux limites $V (0) = U$ et $V (e) = 0$ donnent $B = U$ et $A = - U / e$ , soit $V (z) = U (1 - z / e)$ . On en déduit le champ

$E = - grad V = - \frac{d V}{d z} u_{z} = \frac{U}{e} u_{z},$

uniforme et dirigé de l'armature portée à $U$ vers celle portée à $0$ , en accord avec le résultat de l'électrostatique.

4.3 Aspects énergétiques

Le champ électromagnétique transporte et stocke de l'énergie. On postule pour cette énergie une densité volumique locale et un flux, dont la cohérence est assurée par un bilan directement déduit des équations de Maxwell.

4.3.1 Force volumique et puissance cédée aux porteurs de charge

Proposition 4.5Force et puissance volumiques

Dans un milieu où règnent $E$ et $B$ , la force exercée par le champ sur les charges contenues dans le volume $d τ$ est $f d τ$ , et la puissance qu'il leur cède est $p d τ$ , avec

$f = ρ E + j \land B, p = j \cdot E .$

Démonstration (Établissement à partir de la force de Lorentz)

Supposons, pour simplifier, une seule espèce de porteurs, de charge $q$ , de densité particulaire $n$ et de vitesse $v$ (en présence de plusieurs espèces, on somme les contributions). Le volume $d τ$ contient $n d τ$ porteurs, soumis chacun à la force de Lorentz $q (E + v \land B)$ : la force totale vaut $n q (E + v \land B) d τ = (ρ E + j \land B) d τ$ , puisque $ρ = n q$ et $j = n q v$ . La puissance de la force de Lorentz sur un porteur vaut $q (E + v \land B) \cdot v = q E \cdot v$ , la force magnétique étant orthogonale à $v$ ; pour les $n d τ$ porteurs, on obtient $n q v \cdot E d τ = j \cdot E d τ$ .

Dans un conducteur ohmique ( $j = γ E$ ), cette puissance vaut $γ E^{2} = j^{2} / γ > 0$ : elle est dissipée sur place par effet Joule. Dans le vide (faisceau d'électrons), elle devient de l'énergie cinétique des porteurs.

4.3.2 Densité d'énergie et vecteur de Poynting

Définition 4.6Densité d'énergie électromagnétique

La densité volumique d'énergie électromagnétique dans le vide est

$u = u_{e ˊ l.} \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + u_{mag.} \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} (J / m^{3}),$

somme des densités d'énergie électrique et magnétique déjà rencontrées en régime stationnaire.

Définition 4.7Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting est défini par

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} (W / m^{2}) .$

Il représente la densité de flux d'énergie électromagnétique : sa direction donne le sens de propagation de l'énergie, et son flux à travers une surface donne la puissance qui la traverse.

iRemarqueHomogénéité

Vérifions la dimension de $Π$ . Le produit $E B$ a pour unité $V / m \times T$ ; divisé par $μ_{0}$ (en $H / m$ ), il se réduit à $W / m^{2}$ , une densité surfacique de puissance. De même $ε_{0} E^{2}$ et $B^{2} / μ_{0}$ valent $J / m^{3}$ : $u$ est bien une densité volumique d'énergie.

4.3.3 Le bilan local de Poynting

◆Théorème 4.8Équation locale de Poynting

En tout point et à tout instant,

$\frac{\partial u}{\partial t} + div Π = - j \cdot E .$

iRemarqueCe qu'exige le programme

Le programme fournit cette équation : on doit savoir interpréter chacun de ses termes et l'utiliser pour un bilan local ou intégral. La démonstration qui suit est donnée à titre de complément ; elle n'est pas exigible.

Démonstration (Établissement du bilan)

Partons de la puissance volumique cédée par le champ aux porteurs de charge, $j \cdot E$ (proposition précédente). On tire $j$ de Maxwell--Ampère : $μ_{0} j = rot B - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ , d'où

$j \cdot E = \frac{1}{μ _{0}} E \cdot rot B - ε_{0} E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} .$

On utilise l'identité d'analyse vectorielle $div (E \land B) = B \cdot rot E - E \cdot rot B$ , soit $E \cdot rot B = B \cdot rot E - div (E \land B)$ . En remplaçant $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ (Maxwell--Faraday),

$E \cdot rot B = - B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} - div (E \land B) .$

D'où, en reconnaissant $B \cdot \frac{\partial B}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial ( B ^{2} )}{\partial t}$ et $E \cdot \frac{\partial E}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial ( E ^{2} )}{\partial t}$ ,

$j \cdot E = - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} + \frac{ε _{0} E ^{2}}{2}) - div (\frac{E \land B}{μ _{0}}) = - \frac{\partial u}{\partial t} - div Π .$

On obtient le bilan annoncé en réordonnant les termes.

L'interprétation est celle d'un bilan de conservation. Intégrons sur un volume $V$ fixe délimité par la surface $Σ$ (figure fig:poynting) :

$variation d’ e ˊ nergie stock e ˊ e \frac{d}{d t} ∭_{V} u d τ + puissance sortante \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S = - puissance c e ˊ d e ˊ e a ˋ la mati e ˋ re ∭_{V} j \cdot E d τ .$

Figure : Bilan de Poynting sur un volume fixe

V

: la puissance

$\oint \oint_{Σ} Π \cdot d S$ rayonnée à travers la frontière et la puissance $∭_{V} j \cdot E d τ$ cédée aux charges se répartissent

la variation de l'énergie stockée.

Important

Le terme $j \cdot E$ est la puissance volumique fournie par le champ à la matière. S'il est positif, le champ cède de l'énergie aux porteurs (effet Joule dans un conducteur ohmique : $j = γ E$ donne $j \cdot E = γ E^{2} > 0$ ). S'il est négatif, la matière fournit de l'énergie au champ (fonctionnement générateur).

4.3.4 Puissance rayonnée

Lorsqu'aucune charge n'est présente dans $V$ ( $j = 0$ ), le bilan se réduit à

$\frac{d}{d t} ∭_{V} u d τ = - \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S .$

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée mesure alors la puissance rayonnée, c'est-à-dire l'énergie électromagnétique qui s'échappe du volume par unité de temps. En optique, la valeur moyenne temporelle du module du vecteur de Poynting s'identifie à l'intensité (ou éclairement) lumineux : $I = ⟨ Π ⟩$ .

iRemarqueOrdres de grandeur de flux énergétiques

Flux solaire au sol $\sim 1 kW / m^{2}$ ; pointeur laser $\sim 1 kW / m^{2}$ ( $1 mW$ concentré sur $1 m m^{2}$ ) ; laser de découpe industriel $\sim 1 0^{10} W / m^{2}$ . Un faisceau laser modeste rivalise donc localement avec le Soleil, d'où les précautions oculaires.

Figure : Flux d'énergie rayonné par une source : à travers toute sphère centrée sur

la source, le flux du vecteur de Poynting vaut la puissance émise $P$ . En l'absence

d'absorption,

⟨ Π ⟩

décroît en

1/ r^{2}

4.4 Équations de propagation dans le vide

Dans une région vide de charges et de courants ( $ρ = 0$ , $j = 0$ ), les équations de Maxwell conduisent à des équations de propagation.

◆Théorème 4.9Équations de d'Alembert du champ dans le vide

En l'absence de sources,

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, Δ B - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} .$

Démonstration (Découplage des champs)

Prenons le rotationnel de Maxwell--Faraday : $rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B)$ . L'identité $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ et $div E = 0$ (pas de charge) donnent $- Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B)$ . En remplaçant $rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ (Maxwell--Ampère sans courant),

$Δ E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Le calcul est identique pour $B$ , en partant du rotationnel de Maxwell--Ampère et en utilisant $div B = 0$ . Sans le courant de déplacement, on obtiendrait $Δ E = 0$ : aucune propagation.

iRemarqueCaractère non instantané des interactions

La structure de ces équations, à vitesse de propagation finie $c$ , traduit le fait qu'une modification des sources ne se répercute pas instantanément à distance : le signal électromagnétique met un temps $r / c$ pour parcourir la distance $r$ . C'est une rupture profonde avec l'électrostatique et la magnétostatique, où les champs « suivent » leurs sources sans retard.

4.5 L'ARQS magnétique

(L'ARQS magnétique est au programme de PT, qui reçoit ce chapitre ; elle n'est pas au programme de MP ni de MPI, pour qui cette section est un complément.)

Dans de nombreux dispositifs (circuits électriques, bobines, machines), les dimensions $L$ sont petites devant la longueur d'onde $λ = c T$ associée à la période $T$ des variations. Le temps de propagation $τ_{prop} = L / c$ est alors négligeable devant $T$ :

$L ≪ λ = c T ⟺ \frac{L}{c} ≪ T .$

Définition 4.10ARQS magnétique

L'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique consiste à négliger le courant de déplacement $ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ devant la densité de courant de conduction $j$ dans l'équation de Maxwell--Ampère. Les équations deviennent

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j .$

On conserve donc le couplage inductif (Maxwell--Faraday intact) mais on traite le champ magnétique comme en magnétostatique (théorème d'Ampère), tout en autorisant sa variation lente dans le temps.

Proposition 4.11Conservation de la charge en ARQS

Prendre la divergence de $rot B = μ_{0} j$ impose $div j = 0$ : la densité de courant est à flux conservatif, comme en régime permanent. C'est la justification de la loi des nœuds pour les circuits en ARQS.

Méthode : Vérifier la validité de l'ARQS magnétique

Estimer la dimension caractéristique $L$ du dispositif et la fréquence $f$ (ou la période $T = 1/ f$ ) des variations.
Calculer la longueur d'onde $λ = c / f$ .
L'ARQS est valable si $L ≪ λ$ , c'est-à-dire $f ≪ c / L$ .
En pratique : pour un circuit de $L \sim 1 m$ , on a $c / L \sim 300 M Hz$ ; l'ARQS est donc excellente jusqu'à des fréquences de l'ordre du $M Hz$ .

iRemarqueExtension des résultats de la magnétostatique

En ARQS magnétique, toutes les expressions de champ magnétique établies en régime permanent (champ d'un fil, d'un solénoïde, d'une bobine…) restent valables instantanément, en remplaçant simplement le courant permanent $I$ par sa valeur instantanée $i (t)$ . C'est ce qui autorise l'étude des circuits inductifs.

4.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Les quatre équations de Maxwell (postulats) :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Force de Lorentz : $F = q (E + v \land B)$ ; la partie magnétique ne travaille pas.
Courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ : indispensable à la cohérence avec la conservation de la charge $div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ .
Régimes stationnaires ( $\frac{\partial}{\partial t} = 0$ ) : découplage en électrostatique ( $rot E = 0$ ) et magnétostatique ( $rot B = μ_{0} j$ ).
Poisson et Laplace : le potentiel électrostatique vérifie $Δ V = - \frac{ρ}{ε _{0}}$ (Poisson), soit $Δ V = 0$ (Laplace) hors des charges ; analogie gravitationnelle $Δ ϕ = 4 π G μ$ .
Force et puissance volumiques : $f = ρ E + j \land B$ , $p = j \cdot E$ ( $= j^{2} / γ$ dans un milieu ohmique).
Énergie : densité $u = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ , vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ (en $W / m^{2}$ ).
Bilan local de Poynting : $\frac{\partial u}{\partial t} + div Π = - j \cdot E$ . Puissance rayonnée $= \oint \oint_{Σ} Π \cdot d S$ .
Propagation dans le vide : $Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ , $c = 1/ μ_{0} ε_{0} ≃ 3, 0 \times 1 0^{8} m / s$ .
ARQS magnétique (PT) : on néglige $j_{d}$ devant $j$ , valable si $L ≪ λ = c T$ ; alors $div j = 0$ (loi des nœuds).

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