Sources du champ électromagnétique

Cours · électromagnétisme (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le vecteur densité de courant et le flux des charges à travers une surface.

Le champ électromagnétique n'existe pas « en soi » : il est créé par des charges et par des courants. Avant d'écrire les équations de Maxwell qui relient champs et sources, il faut donc décrire précisément ces sources. Or la matière est constituée de particules discrètes (électrons, ions, protons) séparées par un vide immense à l'échelle atomique. Décrire le champ créé par chaque particule serait à la fois impossible et inutile : les instruments de mesure, comme les phénomènes macroscopiques, moyennent naturellement sur un très grand nombre de porteurs.

Ce chapitre introduit donc la description mésoscopique des sources — densité volumique de charge $ρ$ et vecteur densité de courant $j$ — qui lisse la granularité microscopique tout en restant locale à l'échelle des variations des champs. Nous établirons ensuite l'équation de conservation de la charge, principe physique fondamental qui contraint toute distribution de courant. Enfin, le modèle de Drude fournira une interprétation microscopique de la conduction électrique et de la loi d'Ohm locale $j = γ E$ , dont découleront la résistance d'un conducteur filiforme et l'effet Joule.

1.1 Description mésoscopique des sources

1.1.1 Échelle mésoscopique et hypothèse des milieux continus

À l'échelle microscopique, la charge est portée par des particules ponctuelles : la densité de charge y est une somme de distributions de Dirac, extrêmement discontinue. À l'échelle macroscopique (le millimètre, le centimètre), on ne perçoit qu'une matière apparemment continue. L'échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire.

Définition 1.1Volume mésoscopique

Un volume mésoscopique $d τ$ est un volume :

macroscopiquement petit : petit devant l'échelle des variations spatiales des grandeurs physiques (champs, densités), de sorte qu'on puisse le traiter comme un « point » $M$ ;
microscopiquement grand : grand devant la distance interatomique, de sorte qu'il contienne un très grand nombre de particules ( $N ≫ 1$ ) et que les moyennes statistiques y soient bien définies.

iRemarque

Dans un solide, la distance interatomique est de l'ordre de $0, 3 nm$ . Un cube mésoscopique de côté $100 nm$ contient déjà environ $1 0^{7}$ atomes : les fluctuations statistiques relatives, en $1/ N$ , y sont négligeables. On dispose donc d'une large fenêtre d'échelles pour définir des densités locales lisses.

1.1.2 Densité volumique de charge

Définition 1.2Densité volumique de charge

La densité volumique de charge $ρ (M, t)$ au point $M$ et à l'instant $t$ est le rapport

$ρ (M, t) = \frac{d q}{d τ},$

où $d q$ est la charge totale contenue dans le volume mésoscopique $d τ$ entourant $M$ . Elle s'exprime en coulomb par mètre cube ( $C / m^{3}$ ).

La charge totale contenue dans un volume $V$ macroscopique s'obtient par intégration :

$Q = ∭_{V} ρ (M, t) d τ .$

Considérons un milieu contenant plusieurs types de porteurs. Notons $n_{k}$ la densité volumique (nombre de porteurs par unité de volume) et $q_{k}$ la charge de chaque porteur du type $k$ . La densité de charge s'écrit :

$ρ = k \sum n_{k} q_{k} .$

ImportantNeutralité électrique

Un conducteur métallique contient des ions positifs fixes (densité $n_{+} q_{+}$ ) et des électrons de conduction mobiles (densité $n_{-} q_{-}$ , avec $q_{-} = - e$ ). À l'équilibre, ces contributions se compensent quasi exactement : $ρ ≃ 0$ . Un métal parcouru par un courant reste globalement neutre ( $ρ = 0$ ) même si les électrons se déplacent : ce sont les charges positives fixes qui neutralisent en permanence la charge mobile.

1.1.3 Distributions surfaciques et linéiques

Lorsque la charge se concentre sur une épaisseur très faible devant les dimensions du problème (par exemple sur la surface d'un conducteur), il est commode de la modéliser par une distribution surfacique.

Définition 1.3Densités surfacique et linéique

Une densité surfacique de charge $σ$ décrit une charge répartie sur une surface : $d q = σ d S$ , avec $σ$ en $C / m^{2}$ .
Une densité linéique de charge $λ$ décrit une charge répartie sur un fil : $d q = λ d ℓ$ , avec $λ$ en $C / m$ .

Ces modélisations sont des idéalisations : une densité surfacique correspond à la limite d'une densité volumique $ρ$ très grande sur une épaisseur $e$ très petite, telle que $σ = ρ e$ reste fini.

1.2 Vecteur densité de courant et intensité

1.2.1 Vecteur densité de courant volumique

Le déplacement d'ensemble des porteurs de charge constitue un courant électrique. Pour le décrire localement, on introduit un vecteur.

Considérons une seule population de porteurs, de charge $q$ , de densité volumique $n$ , animés en moyenne d'une vitesse $v$ (vitesse d'ensemble, ou vitesse de dérive).

Définition 1.4Vecteur densité de courant

Le vecteur densité de courant volumique est

$j = n q v .$

En présence de plusieurs types de porteurs :

$j = k \sum n_{k} q_{k} v_{k} = k \sum ρ_{k} v_{k} .$

Il s'exprime en ampère par mètre carré ( $A / m^{2}$ ).

Important

Le signe de $j$ est indépendant du signe des porteurs : des charges négatives ( $q < 0$ ) se déplaçant vers la gauche ( $v$ vers la gauche) donnent un vecteur $j = q n v$ dirigé vers la droite. C'est le sens conventionnel du courant, celui du déplacement de charges positives fictives.

1.2.2 Charge traversant une surface, intensité

Cherchons la charge $δ^{2} q$ qui traverse un petit élément de surface fixe $d S = d S n$ pendant $d t$ . Les porteurs qui franchissent $d S$ pendant $d t$ sont ceux contenus dans le cylindre oblique de base $d S$ et de génératrice $v d t$ , de volume $d τ = (v d t) \cdot d S$ .

La charge contenue dans ce cylindre est $δ^{2} q = ρ d τ = ρ v \cdot d S d t = j \cdot d S d t$ . On définit l'intensité comme le débit de charge.

Définition 1.5Intensité et flux de

j

L'intensité du courant $I$ à travers une surface orientée $S$ est le flux du vecteur densité de courant :

$I = \iint_{S} j \cdot d S .$

C'est la charge qui traverse $S$ par unité de temps, exprimée en ampère ( $A$ ).

iRemarque

Pour un fil conducteur de section $S$ dans lequel $j$ est uniforme et parallèle à l'axe, $I = j S$ . On retrouve $j = I / S$ , densité de courant homogène à une intensité surfacique.

Exemple 1.6Ordre de grandeur de la vitesse de dérive

Dans un fil de cuivre de section $S = 1 m m^{2}$ parcouru par $I = 1 A$ , avec $n \approx 8, 5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ électrons libres :

$v = \frac{I}{n e S} \approx \frac{1}{8.5 \times 1 0 ^{28} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 0 ^{- 6}} \approx 7 \times 1 0^{- 5} m / s .$

La vitesse de dérive est minuscule (quelques dizaines de microns par seconde), sans commune mesure avec la vitesse de propagation du signal électrique (proche de $c$ ) ni avec la vitesse d'agitation thermique ( $\sim 1 0^{5} m / s$ ).

1.3 Conservation de la charge

1.3.1 Principe et bilan intégral

La charge électrique est une grandeur conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, seulement déplacée. Traduisons ce principe par un bilan.

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre