Électrostatique

Cours · électromagnétisme (MPI), chapitre 2 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le théorème de Gauss : le flux du champ électrique à travers une sphère dépend de la charge qu'elle entoure.

L'électrostatique étudie le champ électrique créé par des charges immobiles, ou plus précisément dans l'approximation des régimes stationnaires où les distributions de charges sont indépendantes du temps. Bien que l'électromagnétisme soit gouverné dans le cas général par les quatre équations de Maxwell, le régime statique découple les phénomènes électriques et magnétiques : le champ électrostatique $E$ ne dépend alors que de la distribution de charges, et le champ magnétostatique $B$ que de la distribution de courants (chapitre suivant).

Ce chapitre reprend et approfondit les acquis de MP2I (loi de Coulomb, potentiel, énergie) et introduit deux outils centraux de la deuxième année : l'exploitation systématique des symétries et invariances des sources pour prévoir la structure du champ, et le théorème de Gauss pour en calculer la norme dans les cas de haute symétrie. On termine par les aspects énergétiques et l'analogie formelle avec le champ gravitationnel newtonien.

2.1 Champ et potentiel d'une charge ponctuelle

2.1.1 Loi de Coulomb

L'interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles immobiles est décrite par la loi expérimentale de Coulomb (1785).

Définition 2.1Loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles $q_{1}$ et $q_{2}$ , placées respectivement en $M_{1}$ et $M_{2}$ dans le vide, exercent l'une sur l'autre des forces opposées. La force exercée par $q_{1}$ sur $q_{2}$ s'écrit

$F_{1 \to 2} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} u_{1 \to 2}, r = M_{1} M_{2}, u_{1 \to 2} = \frac{M _{1} M _{2}}{r} .$

La constante $ε_{0} ≃ 8, 85 \times 1 0^{- 12} F / m$ est la permittivité du vide et $\frac{1}{4 π ε _{0}} ≃ 9, 0 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ .

La force est répulsive pour deux charges de même signe ( $q_{1} q_{2} > 0$ ) et attractive pour des charges de signes opposés. Sa décroissance en $1/ r^{2}$ est identique à celle de la gravitation ; à distance égale, l'interaction électrique entre deux protons est cependant environ $1 0^{36}$ fois plus intense que leur interaction gravitationnelle.

2.1.2 Champ électrostatique d'une charge ponctuelle

On interprète l'action à distance en introduisant un intermédiaire, le champ électrostatique : la charge $q$ placée en $O$ modifie l'espace environnant, et une charge test $q^{'}$ placée en $M$ subit la force $F = q^{'} E (M)$ .

Définition 2.2Champ d'une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle $q$ située en $O$ crée en tout point $M$ (repéré par $O M = r u_{r}$ ) le champ électrostatique

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} u_{r}$

Le champ s'exprime en volts par mètre ( $V / m = N / C$ ). Il est radial, dirigé vers l'extérieur si $q > 0$ , vers la charge si $q < 0$ .

Figure : Lignes de champ d'une charge ponctuelle : divergentes pour

q > 0

, convergentes pour

q < 0

2.1.3 Potentiel électrostatique

Le champ d'une charge ponctuelle dérive d'un potentiel scalaire. En remarquant que $\frac{u _{r}}{r ^{2}} = - grad (\frac{1}{r})$ , il vient $E = - grad V$ avec :

Définition 2.3Potentiel d'une charge ponctuelle

$V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r} + cste,$

la constante étant choisie nulle lorsqu'on prend l'origine des potentiels à l'infini. Le potentiel s'exprime en volts ( $V$ ).

L'énergie potentielle d'une charge $q^{'}$ placée en un point où règne le potentiel $V$ (créé par les autres charges) vaut

$E_{p} = q^{'} V .$

Pour deux charges ponctuelles distantes de $r$ , on retrouve $E_{p} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q q ^{'}}{r}$ .

2.2 Distributions de charges et superposition

2.2.1 Modélisations continues

À l'échelle macroscopique, on renonce à décrire chaque charge élémentaire et on introduit des densités selon la géométrie de la source :

densité volumique $ρ$ (en $C / m^{3}$ ) : $d q = ρ d τ$ ;
densité surfacique $σ$ (en $C / m^{2}$ ) : $d q = σ d S$ ;
densité linéique $λ$ (en $C / m$ ) : $d q = λ d ℓ$ .

2.2.2 Principe de superposition

Les équations de l'électrostatique étant linéaires, le champ (et le potentiel) créé par un ensemble de sources est la somme des champs (et potentiels) créés par chacune séparément.

Proposition 2.4Champ et potentiel d'une distribution

Pour une distribution volumique $ρ$ occupant un volume $V$ , le champ et le potentiel en $M$ s'écrivent

$E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} ∭_{V} \frac{ρ ( P ) P M}{P M ^{3}} d τ_{P}, V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} ∭_{V} \frac{ρ ( P )}{P M} d τ_{P} .$

Pour une distribution discrète ${q_{i}}$ : $E (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{q _{i}}{P _{i} M ^{2}} u_{i}$ et $V (M) = \frac{1}{4 π ε _{0}} i \sum \frac{q _{i}}{P _{i} M}$ .

Le calcul direct de ces intégrales est souvent lourd. On lui préfère, dès que la symétrie le permet, la démarche « symétries $\to$ Gauss » développée plus bas. Un calcul vectoriel se ramène toujours au calcul de composantes scalaires : ne jamais additionner des vecteurs de directions différentes sans les projeter.

2.3 Propriétés de symétrie et d'invariance

L'exploitation des symétries de la distribution source permet, avant tout calcul, de connaître la direction du champ et les variables dont il dépend. C'est l'étape préalable indispensable à l'usage du théorème de Gauss.

2.3.1 Symétries : direction du champ

Le champ $E$ est un vrai vecteur (vecteur polaire). Il se transforme comme le vecteur position dans une symétrie géométrique de la distribution des sources.

ImportantRègles de symétrie

Si un plan $Π$ est plan de symétrie de la distribution de charges, alors en tout point $M$ de $Π$ le champ $E (M)$ appartient à $Π$ .
Si un plan $Π^{*}$ est plan d'antisymétrie (les charges se transforment en charges opposées), alors en tout point $M$ de $Π^{*}$ le champ $E (M)$ est orthogonal à $Π^{*}$ .

En un point appartenant à deux plans de symétrie, $E$ est porté par leur intersection.

Figure : En un point

M

d'un plan de symétrie des sources, le champ appartient au plan.

2.3.2 Invariances : variables dont dépend le champ

Si la distribution de charges est invariante par une transformation géométrique (translation, rotation), alors les grandeurs $E$ et $V$ le sont aussi : le champ ne dépend pas de la variable associée.

Méthode : Analyse préalable au calcul du champ

Choisir le système de coordonnées adapté à la géométrie (cartésien, cylindrique, sphérique).
Invariances : repérer les translations/rotations laissant la source invariante $\Rightarrow$ variables dont $E$ ne dépend pas.
Symétries : en $M$ , trouver les plans de symétrie/antisymétrie de la source passant par $M$ $\Rightarrow$ direction de $E (M)$ .
En déduire la forme $E = E (variable) u_{direction}$ , puis appliquer Gauss.

Exemple 2.5Trois géométries de référence

Fil infini (axe $O z$ , densité $λ$ ) : invariance par translation selon $z$ et par rotation autour de $z$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Les plans contenant $M$ et l'axe, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$ , sont plans de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).
Plan infini ( $x O y$ , densité $σ$ ) : invariance par translation selon $x$ et $y$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $z$ . Tout plan perpendiculaire au plan chargé est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (z) u_{z}$ .
Distribution à symétrie sphérique (centre $O$ ) : invariance par toute rotation autour de $O$ $\Rightarrow$ $E$ ne dépend que de $r$ . Tout plan passant par $O$ et $M$ est plan de symétrie $\Rightarrow$ $E = E (r) u_{r}$ (radial sphérique).

2.4 Circulation et potentiel

2.4.1 Circulation du champ électrostatique

Proposition 2.6Circulation et existence du potentiel

La circulation du champ électrostatique le long d'un chemin allant de $A$ à $B$ ne dépend que des extrémités :

$\int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = V (A) - V (B),$

et sur tout contour fermé $\oint E \cdot d ℓ = 0$ . Le champ électrostatique est donc à circulation conservative ; il dérive d'un potentiel scalaire :

$E = - grad V ⟺ rot E = 0 .$

La relation locale $rot E = 0$ (équation de Maxwell–Faraday en régime stationnaire) est équivalente à l'existence du potentiel. Le signe « moins » traduit que $E$ pointe vers les potentiels décroissants.

2.4.2 Lignes de champ et équipotentielles

Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point à $E$ ; une équipotentielle est une surface $V = cste$ .

Proposition 2.7Orthogonalité et orientation

Les lignes de champ électrostatique sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants. En effet, le long d'un déplacement $d ℓ$ sur une équipotentielle, $d V = - E \cdot d ℓ = 0$ , donc $E ⊥ d ℓ$ .

iRemarque

Le resserrement des lignes de champ (tubes de champ étroits) signale un champ intense ; leur évasement loin des sources traduit sa décroissance. Sur une carte de champ, les lignes divergent des charges positives (sources) et convergent vers les charges négatives (puits) ; une carte dont les lignes formeraient des boucles fermées ne peut pas être celle d'un champ électrostatique, puisque sa circulation serait non nulle.

Figure : Champ de deux charges opposées : les lignes partent de

+ q

et aboutissent à

- q

2.5 Théorème de Gauss

2.5.1 Énoncé

◆Théorème 2.8Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée $S$ (orientée vers l'extérieur) est égal à la charge intérieure $Q_{int}$ à cette surface divisée par $ε_{0}$ :

$\oint \oint_{S} E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}$

où $Q_{int} = ∭_{V (S)} ρ d τ$ est la charge enfermée par $S$ .

Ce théorème est la forme intégrale de l'équation de Maxwell–Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ (obtenue par le théorème d'Ostrogradski). Seule la charge intérieure contribue au flux, mais les charges extérieures contribuent, elles, au champ $E$ en chaque point de $S$ .

Méthode : Calcul d'un champ par le théorème de Gauss

Applicable seulement lorsque les symétries donnent $E = E (u) u$ avec $E$ constant sur une surface bien choisie :

déterminer par symétrie/invariance la forme de $E$ ;
choisir une surface de Gauss fermée passant par le point $M$ , adaptée à la symétrie (cylindre, sphère) ;
calculer le flux : $E$ sort des intégrales sur les faces où $E ∥ d S$ , le flux est nul là où $E ⊥ d S$ ;
évaluer $Q_{int}$ puis résoudre en $E$ .

2.5.2 Fil infini uniformément chargé

On considère un fil infini d'axe $O z$ portant la densité linéique uniforme $λ$ . L'analyse de symétrie donne $E = E (r) u_{r}$ (radial cylindrique).

Figure : Surface de Gauss cylindrique (rayon

r

, hauteur

h

) coaxiale au fil.

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