Équations de Maxwell

Cours · électromagnétisme (MPI), chapitre 4 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les chapitres précédents ont décrit séparément le champ électrostatique créé par des charges immobiles et le champ magnétostatique créé par des courants permanents, deux domaines qui restent découplés tant que rien ne dépend du temps. James Clerk Maxwell (1831--1879) a réalisé la synthèse de ces domaines en un jeu unique de quatre équations aux dérivées partielles reliant, en tout point et à tout instant, les champs $E$ et $B$ à leurs sources locales, la densité de charge $ρ$ et la densité de courant $j$ . Ces équations constituent un postulat fondamental de la physique classique : on ne les démontre pas, on les admet, et l'on vérifie qu'elles redonnent tous les résultats connus des régimes stationnaires tout en prédisant des phénomènes nouveaux — au premier rang desquels la propagation des ondes électromagnétiques à la vitesse de la lumière.

Ce chapitre énonce les quatre équations de Maxwell, en dégage la cohérence avec les lois déjà rencontrées, introduit la notion cruciale de courant de déplacement, puis développe le bilan énergétique du champ (densité d'énergie, vecteur de Poynting) avant d'aborder l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques.

4.1 Les postulats de l'électromagnétisme

4.1.1 La force de Lorentz

L'action du champ électromagnétique sur les charges est postulée sous la forme de la force de Lorentz : une particule de charge $q$ , animée de la vitesse $v$ dans un référentiel galiléen où règnent les champs $E$ et $B$ , subit la force

$F = q (E + v \land B) .$

La composante électrique $q E$ travaille et peut modifier l'énergie cinétique ; la composante magnétique $q v \land B$ , toujours orthogonale à $v$ , ne travaille pas. Cette loi définit opérationnellement les champs : $E$ et $B$ sont les grandeurs par lesquelles la matière chargée « ressent » son environnement électromagnétique.

4.1.2 Les quatre équations locales

ImportantLes équations de Maxwell

Dans le vide (au sens : dans un milieu décrit par les seules sources $ρ$ et $j$ ), les champs $E (r, t)$ et $B (r, t)$ vérifient en tout point et à tout instant :

$Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp e ˋ re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Les constantes fondamentales sont la permittivité du vide $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F / m$ et la perméabilité du vide $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Ces quatre équations se répartissent en deux groupes de nature différente :

Les équations de structure (Maxwell--flux et Maxwell--Faraday) ne font pas intervenir les sources : elles traduisent des propriétés intrinsèques des champs. La première interdit tout monopôle magnétique ; la seconde couple variation temporelle de $B$ et rotationnel de $E$ .
Les équations aux sources (Maxwell--Gauss et Maxwell--Ampère) relient les champs à la charge et au courant qui les produisent.

iRemarque

Le produit $μ_{0} ε_{0}$ a la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse. On pose $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ , dont l'évaluation numérique donne $c ≃ 3, 00 \times 1 0^{8} m / s$ : la coïncidence avec la vitesse de la lumière fut l'argument décisif de Maxwell pour identifier lumière et onde électromagnétique.

4.1.3 Le courant de déplacement

Le terme $μ_{0} ε_{0} \partial E / \partial t$ ajouté par Maxwell à l'équation d'Ampère de la magnétostatique est le courant de déplacement. On définit la densité de courant de déplacement

$j_{d} = ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, de sorte que rot B = μ_{0} (j + j_{d}) .$

Sans ce terme, l'équation d'Ampère serait incompatible avec la conservation de la charge dès que les régimes deviennent variables, comme le montre la figure fig:condensateur.

Figure : Condensateur en charge. Le courant de conduction

j

traverse la

surface plane $S_{1}$ mais non la surface bombée $S_{2}$ passant entre les armatures. Le courant de déplacement $j_{d} = ε_{0} \partial E / \partial t$

assure la continuité en traversant

S_{2}

Démonstration (Nécessité du courant de déplacement)

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell--Ampère. Comme $div (rot B) = 0$ identiquement,

$0 = μ_{0} div j + μ_{0} ε_{0} div (\frac{\partial E}{\partial t}) = μ_{0} div j + μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (ε_{0} div E) .$

En remplaçant $ε_{0} div E$ par $ρ$ (Maxwell--Gauss), on obtient

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0,$

qui est exactement l'équation locale de conservation de la charge. Sans le courant de déplacement, on aurait $div j = 0$ en tout régime, ce qui est faux dès qu'une charge s'accumule quelque part (armature d'un condensateur).

4.2 Formes intégrales et cohérence avec les régimes stationnaires

Les quatre équations locales admettent une écriture intégrale équivalente, obtenue par les théorèmes de Green--Ostrogradski (flux--divergence) et de Stokes (circulation--rotationnel).

Proposition 4.1Formes intégrales

Pour une surface fermée $Σ$ délimitant un volume $V$ , et pour un contour fermé orienté $C$ s'appuyant sur une surface $S$ :

$(th e ˊ or e ˋ me de Gauss) (conservation du flux) (loi de Faraday) (Amp e ˋ re g e ˊ n e ˊ ralis e ˊ) \oint \oint_{Σ} E \cdot d S \oint \oint_{Σ} B \cdot d S \oint_{C} E \cdot d ℓ \oint_{C} B \cdot d ℓ = \frac{Q _{int}}{ε _{0}}, = 0, = - \frac{d}{d t} \iint_{S} B \cdot d S, = μ_{0} \iint_{S} (j + ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) \cdot d S .$

4.2.1 Retour aux régimes stationnaires

En régime permanent, toutes les dérivées temporelles s'annulent : $\partial_{t} \to 0$ . Les équations de Maxwell se découplent alors en deux groupes indépendants.

Électrostatique. $div E = ρ / ε_{0}$ et $rot E = 0$ : le champ électrique est à circulation conservative, d'où l'existence d'un potentiel scalaire $E = - grad V$ , et l'on retrouve le théorème de Gauss.
Magnétostatique. $div B = 0$ et $rot B = μ_{0} j$ : on retrouve le flux conservatif du champ magnétique et le théorème d'Ampère.

La grande nouveauté du régime variable est le couplage : Maxwell--Faraday montre qu'une variation de $B$ engendre un champ $E$ à circulation non nulle (induction), tandis que Maxwell--Ampère montre qu'une variation de $E$ engendre un champ $B$ .

Exemple 4.2Cohérence avec la loi de Faraday

La forme intégrale de Maxwell--Faraday, pour un contour fixe, s'écrit $e = \oint_{C} E \cdot d ℓ = - \frac{d Φ}{d t}$ avec $Φ = \iint_{S} B \cdot d S$ : c'est exactement la loi de Faraday de l'induction, où la f.é.m. induite est l'opposée de la variation du flux magnétique. L'équation locale contient donc l'induction comme cas particulier.

Attention

Le champ électrique en régime variable n'est plus, en général, à circulation conservative ( $rot E \neq = 0$ ) : on ne peut plus lui associer un simple potentiel scalaire, contrairement au cas de l'électrostatique. C'est précisément le couplage entre $E$ et $B$ qui rend possible la propagation des ondes électromagnétiques.

4.2.2 Équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique

En régime stationnaire, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire, $E = - grad V$ , et vérifie l'équation de Maxwell--Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ . En combinant ces deux relations,

$div E = div (- grad V) = - Δ V = \frac{ρ}{ε _{0}},$

où $Δ = div grad$ désigne l'opérateur laplacien. Le potentiel obéit donc à une équation aux dérivées partielles du second ordre.

◆Théorème 4.3Équations de Poisson et de Laplace

Le potentiel électrostatique $V$ vérifie en tout point l'équation de Poisson

$Δ V + \frac{ρ}{ε _{0}} = 0 c’est- a ˋ -dire Δ V = - \frac{ρ}{ε _{0}} .$

Dans une région vide de charges ( $ρ = 0$ ), elle se réduit à l'équation de Laplace

$Δ V = 0 .$

Ces équations déterminent entièrement le potentiel — donc le champ $E = - grad V$ — dans un domaine, dès que sont fixées les conditions aux limites (valeur de $V$ , ou de sa dérivée normale, sur la frontière). Elles sont le point de départ de la résolution, notamment numérique, des problèmes d'électrostatique.

ImportantAnalogie gravitationnelle

Le champ de gravitation $G$ créé par une distribution de masse de densité volumique $μ$ dérive lui aussi d'un potentiel, $G = - grad ϕ$ , et vérifie un théorème de Gauss gravitationnel de forme locale $div G = - 4 π G μ$ , analogue de Maxwell--Gauss avec les correspondances $\frac{1}{ε _{0}} \leftrightarrow - 4 π G$ et $ρ \leftrightarrow μ$ . En y reportant $G = - grad ϕ$ , le potentiel gravitationnel obéit à l'équation de Poisson gravitationnelle

$Δ ϕ = 4 π G μ,$

qui se réduit à $Δ ϕ = 0$ (Laplace) dans le vide. La structure est identique à celle de l'électrostatique, au signe près : les masses étant toujours positives, la gravitation est toujours attractive.

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