Rayonnement du dipôle oscillant

Cours · électromagnétisme (MPI), chapitre 8 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le rayonnement d'un dipôle oscillant : la puissance émise suit sin² θ, nulle dans l'axe et maximale à angle droit.

Toute charge accélérée rayonne : c'est l'origine des ondes électromagnétiques émises par une antenne, par un atome excité ou par une molécule éclairée. Le modèle du dipôle oscillant — un moment dipolaire électrique sinusoïdal $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ — constitue la brique élémentaire du rayonnement. Il permet d'expliquer le fonctionnement d'une antenne comme la réémission de lumière par un atome ou une molécule excités. Dans tout ce chapitre les expressions des champs sont admises ; l'objectif est de les exploiter par des arguments de symétrie, de conservation de l'énergie et d'analyse dimensionnelle, conformément au programme.

8.1 Le modèle du dipôle oscillant

8.1.1 Définition et exemples

Définition 8.1Dipôle électrique oscillant

Un dipôle électrique oscillant est une distribution de charges dont le moment dipolaire électrique varie sinusoïdalement dans le temps :

$p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}, p_{0} = q d,$

où $q$ est la charge de chacun des deux pôles $\pm q$ séparés d'une distance $d$ , et $ω$ la pulsation d'oscillation. On oriente conventionnellement le moment selon l'axe $e_{z}$ ; l'origine $O$ est placée au centre du dipôle.

On peut réaliser un tel dipôle par une charge $+ q$ fixe et une charge $- q$ oscillant à la pulsation $ω$ , ou plus simplement par une charge unique $- q$ (un électron) oscillant autour d'une position d'équilibre : $p (t) = - q z (t) e_{z}$ avec $z (t) = z_{0} cos (ω t)$ .

Exemple 8.2Exemples de dipôles rayonnants

Antenne demi-onde alimentée par un courant alternatif : les charges oscillent le long du brin conducteur ( $ω$ dans le domaine radio ou hertzien).
Atome excité qui se désexcite : l'électron oscille autour du noyau, $ω$ dans le visible ( $f \sim 5 \times 1 0^{14} Hz$ ).
Molécule éclairée par une onde : le nuage électronique est mis en mouvement forcé à la pulsation de l'onde incidente et réémet un rayonnement.

8.1.2 Les trois échelles de longueur

L'étude du rayonnement d'un dipôle repose sur la comparaison de trois longueurs caractéristiques.

ImportantLes trois échelles de longueur

On distingue :

$a$ : la taille du dipôle (dimension de la source, $a \sim d$ ) ;
$r$ : la distance d'observation entre la source et le point $M$ ;
$λ$ : la longueur d'onde du rayonnement, $λ = \frac{2 π c}{ω}$ .

Le modèle du dipôle oscillant et l'étude de la zone de rayonnement supposent la double hiérarchie :

$a ≪ λ ≪ r .$

L'approximation dipolaire $a ≪ λ$ signifie que la source est ponctuelle à l'échelle de l'onde : on peut négliger le retard entre les différentes parties du dipôle.
L'approximation de la zone de rayonnement (ou zone de champ lointain) $λ ≪ r$ signifie que l'on observe l'onde à une distance grande devant la longueur d'onde, là où sa structure devient localement plane.

Attention

Ces deux conditions sont indépendantes. La première porte sur la source, la seconde sur le point d'observation. Toutes les expressions de champs de ce chapitre ne sont valables que dans la zone de rayonnement $λ ≪ r$ .

8.1.3 Géométrie et notations

On repère le point d'observation $M$ par ses coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ d'axe $O z$ (axe du dipôle), avec la base sphérique $(e_{r}, e_{θ}, e_{φ})$ . Par symétrie de révolution autour de $O z$ , rien ne dépend de $φ$ .

Exercices du chapitre

Trois longueurs, cinq sources : quand le modèle du dipôle s'applique-t-il ? corrigé
La structure du champ rayonné sans calcul corrigé
Bilan d'énergie : où va la puissance, et en combien de temps ? corrigé
L'antenne courte et sa résistance de rayonnement corrigé
Détecter le rayonnement d'un dipôle : relevés et indicatrice corrigé
Deux dipôles : diriger le rayonnement corrigé

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