Rayonnement du dipôle oscillant

Cours complet · électromagnétisme (MPI), chapitre 8 · CPGE MPI (2e année)

Toute charge accélérée rayonne : c'est l'origine des ondes électromagnétiques émises par une antenne, par un atome excité ou par une molécule éclairée. Le modèle du dipôle oscillant — un moment dipolaire électrique sinusoïdal $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ — constitue la brique élémentaire du rayonnement. Il permet d'expliquer le fonctionnement d'une antenne comme la réémission de lumière par un atome ou une molécule excités. Dans tout ce chapitre les expressions des champs sont admises ; l'objectif est de les exploiter par des arguments de symétrie, de conservation de l'énergie et d'analyse dimensionnelle, conformément au programme.

8.1 Le modèle du dipôle oscillant

8.1.1 Définition et exemples

Définition 8.1Dipôle électrique oscillant

Un dipôle électrique oscillant est une distribution de charges dont le moment dipolaire électrique varie sinusoïdalement dans le temps :

$p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}, p_{0} = q d,$

où $q$ est la charge de chacun des deux pôles $\pm q$ séparés d'une distance $d$ , et $ω$ la pulsation d'oscillation. On oriente conventionnellement le moment selon l'axe $e_{z}$ ; l'origine $O$ est placée au centre du dipôle.

On peut réaliser un tel dipôle par une charge $+ q$ fixe et une charge $- q$ oscillant à la pulsation $ω$ , ou plus simplement par une charge unique $- q$ (un électron) oscillant autour d'une position d'équilibre : $p (t) = - q z (t) e_{z}$ avec $z (t) = z_{0} cos (ω t)$ .

Exemple 8.2Exemples de dipôles rayonnants

Antenne demi-onde alimentée par un courant alternatif : les charges oscillent le long du brin conducteur ( $ω$ dans le domaine radio ou hertzien).
Atome excité qui se désexcite : l'électron oscille autour du noyau, $ω$ dans le visible ( $f \sim 5 \times 1 0^{14} Hz$ ).
Molécule éclairée par une onde : le nuage électronique est mis en mouvement forcé à la pulsation de l'onde incidente et réémet un rayonnement.

8.1.2 Les trois échelles de longueur

L'étude du rayonnement d'un dipôle repose sur la comparaison de trois longueurs caractéristiques.

ImportantLes trois échelles de longueur

On distingue :

$a$ : la taille du dipôle (dimension de la source, $a \sim d$ ) ;
$r$ : la distance d'observation entre la source et le point $M$ ;
$λ$ : la longueur d'onde du rayonnement, $λ = \frac{2 π c}{ω}$ .

Le modèle du dipôle oscillant et l'étude de la zone de rayonnement supposent la double hiérarchie :

$a ≪ λ ≪ r .$

L'approximation dipolaire $a ≪ λ$ signifie que la source est ponctuelle à l'échelle de l'onde : on peut négliger le retard entre les différentes parties du dipôle.
L'approximation de la zone de rayonnement (ou zone de champ lointain) $λ ≪ r$ signifie que l'on observe l'onde à une distance grande devant la longueur d'onde, là où sa structure devient localement plane.

Attention

Ces deux conditions sont indépendantes. La première porte sur la source, la seconde sur le point d'observation. Toutes les expressions de champs de ce chapitre ne sont valables que dans la zone de rayonnement $λ ≪ r$ .

8.1.3 Géométrie et notations

On repère le point d'observation $M$ par ses coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ d'axe $O z$ (axe du dipôle), avec la base sphérique $(e_{r}, e_{θ}, e_{φ})$ . Par symétrie de révolution autour de $O z$ , rien ne dépend de $φ$ .

8.2 Champs rayonnés dans la zone de rayonnement

8.2.1 Expressions des champs (admises)

Proposition 8.3Champs du dipôle oscillant en zone de rayonnement

Dans la zone de rayonnement ( $λ ≪ r$ ), les champs créés en $M (r, θ)$ par le dipôle $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ s'écrivent, en tenant compte du retard $t - r / c$ :

$E (M, t) = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{4 π r} sin θ cos (ω (t - \frac{r}{c})) e_{θ}$

$B (M, t) = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{4 π r c} sin θ cos (ω (t - \frac{r}{c})) e_{φ}$

Ces expressions sont fournies ; on retiendra surtout leur structure.

8.2.2 Lecture qualitative de la structure

Méthode : Analyser la structure du champ rayonné

On exploite les expressions ci-dessus par trois arguments généraux.

Onde localement plane, transverse, progressive. On a

$B = \frac{e _{r} \land E}{c}, E ⊥ e_{r}, B ⊥ e_{r}, E ⊥ B, E = c B .$

La direction de propagation est $e_{r}$ (l'onde s'éloigne de la source) ; le trièdre $(E, B, e_{r})$ est direct comme pour une OPPM dans le vide. Localement, au voisinage de $M$ , l'onde sphérique ressemble à une onde plane.

Dépendance en $1/ r$ . L'amplitude décroît en $1/ r$ (et non en $1/ r^{2}$ comme un champ électrostatique). C'est imposé par la conservation de l'énergie : la puissance traversant une sphère de rayon $r$ doit être indépendante de $r$ (voir $§3$ ), donc le vecteur de Poynting en $1/ r^{2}$ et le champ en $1/ r$ .
Dépendance en $sin θ$ et en $ω^{2}$ . Le champ est proportionnel à $sin θ$ (nul dans l'axe du dipôle) et à $ω^{2}$ (donc à l'accélération des charges, car $p ¨ = - p_{0} ω^{2} cos ω t$ ). Une charge rayonne parce qu'elle accélère.

iRemarqueAnalyse dimensionnelle

On peut retrouver la structure $E \propto \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{r} sin θ$ sans calcul : $E$ doit être proportionnel à l'accélération $p ¨ \sim p_{0} ω^{2}$ , décroître en $1/ r$ (conservation de l'énergie), s'annuler dans l'axe (symétrie) donc contenir $sin θ$ , et le préfacteur $μ_{0} / (4 π r)$ assure l'homogénéité. Seul le facteur numérique exige le calcul complet.

Exemple 8.4Champ magnétique par la relation de structure

Vérifier la cohérence $B = \frac{e _{r} \land E}{c}$ .

Démonstration

Avec $E = E_{θ} e_{θ}$ et la base sphérique directe $e_{r} \land e_{θ} = e_{φ}$ , on obtient

$B = \frac{e _{r} \land ( E _{θ} e _{θ} )}{c} = \frac{E _{θ}}{c} e_{φ} .$

En reportant $E_{θ} = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{4 π r} sin θ cos (ω (t - r / c))$ on retrouve exactement l'expression de $B$ donnée, avec $B = E / c$ . La donnée du seul champ $E$ suffit donc à reconstruire $B$ .

8.3 Puissance rayonnée

8.3.1 Vecteur de Poynting

Proposition 8.5Vecteur de Poynting du dipôle

Le vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ est radial, dirigé vers l'extérieur :

$Π (M, t) = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{16 π ^{2} r ^{2} c} sin^{2} θ cos^{2} (ω (t - \frac{r}{c})) e_{r} .$

Sa moyenne temporelle vaut (car $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ ) :

$⟨ Π ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} r ^{2} c} sin^{2} θ e_{r} .$

On vérifie que $⟨ Π ⟩$ décroît en $1/ r^{2}$ et est toujours sortant ( $\propto e_{r}$ ) : le dipôle est bien une source qui cède de l'énergie au champ.

8.3.2 Formule de Larmor

◆Théorème 8.6Puissance rayonnée --- formule de Larmor

La puissance moyenne totale rayonnée par le dipôle à travers une sphère de rayon $r$ vaut

$⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} .$

Elle est indépendante de $r$ (conservation de l'énergie) et croît comme $ω^{4}$ : c'est la loi en $ω^{4}$ de Larmor.

Exemple 8.7Intégration du flux de Poynting

Démontrer la formule de Larmor.

Démonstration

On calcule le flux de $⟨ Π ⟩$ à travers la sphère $S_{r}$ de rayon $r$ . L'élément de surface est $d S = r^{2} sin θ d θ d φ e_{r}$ , donc

$⟨ P ⟩ = \iint_{S_{r}} ⟨ Π ⟩ \cdot d S = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} r ^{2} c} \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} sin^{2} θ r^{2} sin θ d θ .$

Le facteur $r^{2}$ se simplifie (d'où l'indépendance en $r$ ). L'intégrale angulaire donne

$\int_{0}^{2 π} d φ = 2 π, \int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = \frac{4}{3} .$

On rappelle $\int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = \int_{0}^{π} (1 - cos^{2} θ) sin θ d θ = [- cos θ + \frac{c o s ^{3} θ}{3}]_{0}^{π} = \frac{4}{3}$ . D'où

$⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} \times 2 π \times \frac{4}{3} = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} .$

iRemarqueÉcriture avec l'accélération

Pour une charge $q$ d'accélération $a$ , on a $p ¨ = q a$ et $⟨ p_{0}^{2} ω^{4} ⟩$ correspond à $⟨ p ¨^{2} ⟩$ . La formule de Larmor se réécrit $P = \frac{μ _{0} q ^{2} a ^{2}}{6 π c}$ (où $a$ désigne l'accélération instantanée) : la puissance rayonnée est proportionnelle au carré de l'accélération. Une charge en mouvement rectiligne uniforme ( $a = 0$ ) ne rayonne pas.

8.4 Indicatrice de rayonnement

8.4.1 Définition et diagramme en $sin^{2} θ$

Définition 8.8Indicatrice de rayonnement

L'indicatrice de rayonnement est la représentation polaire, dans un plan méridien contenant l'axe $O z$ , de la puissance moyenne rayonnée par unité d'angle solide en fonction de la direction $θ$ :

$\frac{d ⟨ P ⟩}{d Ω} = r^{2} ⟨ Π ⟩ \cdot e_{r} = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} sin^{2} θ \propto sin^{2} θ .$

ImportantPropriétés de l'indicatrice

Le rayonnement est maximal dans le plan équatorial $θ = π /2$ (perpendiculaire au dipôle).
Le rayonnement est nul dans l'axe du dipôle $θ = 0$ et $θ = π$ : un dipôle ne rayonne pas dans la direction de ses oscillations.
L'indicatrice possède la symétrie de révolution autour de $O z$ : le diagramme 3D est un tore (donut) engendré par la rotation du « papillon » $sin^{2} θ$ .

Capacité numérique : Tracer l'indicatrice de rayonnement

Le diagramme polaire $r (θ) = sin^{2} θ$ se trace en quelques lignes de Python (matplotlib, projection polaire). On mesure $θ$ à partir de l'axe $O z$ du dipôle.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
r = np.sin(theta)**2            # indicatrice en sin^2(theta)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='polar')
ax.plot(theta, r, color='teal')
ax.fill(theta, r, color='teal', alpha=0.2)
ax.set_title("Indicatrice de rayonnement du dipole")
plt.show()

On observe les deux lobes (« papillon »), maximaux à $θ = π /2$ et nuls à $θ = 0, π$ .

Synthèse

Dipôle oscillant : $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ , modèle de toute source rayonnante (antenne, atome, molécule). Hiérarchie des trois échelles : $a ≪ λ ≪ r$ (approximation dipolaire + zone de rayonnement).
Champs rayonnés (zone de rayonnement) : onde localement plane, transverse, progressive selon $e_{r}$ , avec $E = c B$ . Amplitude $\propto \frac{sin θ}{r} ω^{2}$ : décroissance en $1/ r$ (conservation de l'énergie), facteur $sin θ$ (symétrie), facteur $ω^{2}$ (accélération des charges).
Puissance rayonnée (Larmor) : $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c}$ , indépendante de $r$ et $\propto ω^{4}$ .
Indicatrice de rayonnement : $\frac{d P}{d Ω} \propto sin^{2} θ$ ; maximale dans le plan équatorial, nulle dans l'axe du dipôle, tore par révolution.

Exercices d'entraînement

Hiérarchie des échelles. Une antenne de taille $a = 1 m$ émet à $f = 100 M Hz$ . Calculer $λ$ et discuter si $a ≪ λ$ est satisfait. À quelle distance minimale se place-t-on en zone de rayonnement ?

Direction d'émission. Un dipôle vertical rayonne. Dans quelle(s) direction(s) un récepteur capte-t-il un signal maximal ? nul ? Justifier avec l'indicatrice.

Relation de structure. À partir de $E = E_{θ} e_{θ}$ , retrouver $B$ et vérifier $E = c B$ ainsi que le caractère direct du trièdre $(E, B, e_{r})$ .

Loi en $ω^{4}$ . De combien la puissance rayonnée est-elle multipliée quand on double la fréquence à moment dipolaire $p_{0}$ fixé ?

Intégrale angulaire. Recalculer $\int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ$ et en déduire le facteur $4/3$ de la formule de Larmor.

Fraction de puissance. Quelle fraction de la puissance totale est rayonnée dans le cône $θ \in [π /4, 3 π /4]$ ? (calculer $\int sin^{3} θ d θ$ sur cet intervalle).

Larmor et accélération. Un électron oscille à $ω = 5 \times 1 0^{14} rad / s$ avec une amplitude $z_{0} = 1 \times 1 0^{- 10} m$ . Estimer la puissance moyenne rayonnée.

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