Réflexion sur un conducteur ; ondes stationnaires et cavités

Cours · électromagnétisme (MPI), chapitre 7 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde stationnaire dans une cavité : des nœuds fixes et des ventres, entre deux parois réfléchissantes.

Une onde électromagnétique se propageant dans le vide finit toujours par rencontrer un obstacle. Lorsque cet obstacle est un métal — modélisé ici par le conducteur parfait — l'onde ne peut y pénétrer : elle est intégralement renvoyée. La superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne naissance à une structure spatiale remarquable, l'onde stationnaire, dont les nœuds et ventres sont fixes dans l'espace.

L'objectif de ce chapitre est double. D'abord, établir l'onde réfléchie par un plan conducteur parfait sous incidence normale, en exploitant les relations de passage du champ électromagnétique, et interpréter les courants et charges qui apparaissent à sa surface. Ensuite, enfermer le champ entre deux plans conducteurs pour former une cavité électromagnétique : on découvre alors que seuls certains modes propres, aux pulsations quantifiées, peuvent y subsister — exactement comme les harmoniques d'une corde de Melde. Ce parallèle avec l'acoustique et la corde vibrante donne à ce chapitre une portée qui dépasse le seul électromagnétisme.

7.1 Le modèle du conducteur parfait

7.1.1 Définition et champ intérieur nul

Définition 7.1Conducteur parfait

Un conducteur parfait est un milieu de conductivité infinie ( $γ \to \infty$ ). Dans un tel milieu, tout champ électrique induirait une densité de courant $ = γ E$ infinie : le champ électrique y est donc nécessairement nul. On admet qu'en régime variable le champ électromagnétique est intégralement nul dans le volume du conducteur :

$E_{int} = 0, B_{int} = 0 .$

iRemarque

Le conducteur parfait est la limite $γ \to \infty$ du conducteur ohmique étudié au chapitre précédent : l'épaisseur de peau $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ tend vers zéro. L'onde ne pénètre plus du tout ; charges et courants se concentrent sur une pellicule d'épaisseur nulle, d'où les densités surfaciques qui suivent.

7.1.2 Relations de passage à la surface

À la traversée d'une surface portant une densité surfacique de charge $σ$ et une densité surfacique de courant $_{s}$ , le champ électromagnétique subit des discontinuités données par les relations de passage, que l'on admet.

ImportantRelations de passage (admises)

Soit $n_{1 \to 2}$ le vecteur unitaire normal à l'interface, orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Alors :

$E_{2} - E_{1} = \frac{σ}{ε _{0}} n_{1 \to 2}, B_{2} - B_{1} = μ_{0} _{s} \land n_{1 \to 2} .$

Autrement dit : la composante tangentielle de $E$ est continue, la composante normale de $E$ subit un saut $σ / ε_{0}$ ; la composante normale de $B$ est continue, la composante tangentielle de $B$ subit un saut $μ_{0} _{s}$ .

Proposition 7.2Conditions aux limites sur un conducteur parfait

Soit le milieu 1 = conducteur parfait ( $E_{1} = B_{1} = 0$ ) et le milieu 2 = vide, de normale sortante $n$ dirigée du conducteur vers le vide. Au voisinage immédiat de la surface, côté vide :

$E_{∥} = 0, E_{⊥} = \frac{σ}{ε _{0}} n, B_{⊥} = 0, B_{∥} = μ_{0} _{s} \land n .$

Démonstration

On applique les relations de passage avec $E_{1} = B_{1} = 0$ (conducteur) et $n_{1 \to 2} = n$ . Le saut de $E$ vaut $E_{2} = (σ / ε_{0}) n$ : sa partie tangentielle est nulle et sa partie normale vaut $σ / ε_{0}$ . Le saut de $B$ vaut $B_{2} = μ_{0} _{s} \land n$ : ce vecteur est orthogonal à $n$ , donc $B$ n'a pas de composante normale et sa composante tangentielle vaut $μ_{0} _{s} \land n$ .

ImportantÀ retenir

Sur un conducteur parfait : le champ électrique est normal à la surface (pas de composante tangentielle) et le champ magnétique est tangent à la surface (pas de composante normale). Ce sont ces deux conditions qui « pilotent » toute la réflexion.

7.2 Réflexion d'une onde plane sous incidence normale

7.2.1 Géométrie du problème

Le demi-espace $x > 0$ est vide ; le demi-espace $x < 0$ est occupé par un conducteur parfait. Sa surface est le plan $x = 0$ , de normale sortante $n = e_{x}$ (du conducteur vers le vide).

Une onde plane progressive harmonique (OPPH), polarisée rectilignement selon $e_{y}$ , se propage vers les $x$ décroissants et vient frapper le conducteur :

$E_{i} (x, t) = E_{0} cos (ω t + k x) e_{y}, k = \frac{ω}{c} .$

L'onde ne peut pénétrer dans le conducteur ; il naît donc une onde réfléchie repartant vers les $x$ croissants. Comme le milieu est linéaire et l'incidence normale, elle garde la même pulsation, le même vecteur d'onde en module et la même direction de polarisation :

$E_{r} (x, t) = E_{r} cos (ω t - k x + φ) e_{y} .$

7.2.2 Détermination de l'onde réfléchie

Méthode : Exploiter la condition aux limites sur $E$

Le champ électrique total dans le vide est $E = E_{i} + E_{r}$ . La composante tangentielle de $E$ (ici selon $e_{y}$ , donc toute la composante) doit s'annuler sur le conducteur, en $x = 0$ , à tout instant. Cette unique condition fixe amplitude et phase de l'onde réfléchie.

Démonstration (Onde réfléchie)

En $x = 0$ , la nullité de la composante tangentielle de $E$ impose :

$E_{0} cos (ω t) + E_{r} cos (ω t + φ) = 0 \forall t .$

Cette égalité, valable pour tout $t$ , exige $E_{r} = E_{0}$ et $φ = π$ (déphasage de $π$ ) ; on écrit donc $E_{r} = - E_{0}$ avec $φ = 0$ . L'onde réfléchie s'écrit :

$E_{r} (x, t) = - E_{0} cos (ω t - k x) e_{y} .$

Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique vaut $r = - 1$ : réflexion totale avec inversion (déphasage de $π$ ), analogue à la corde attachée à un mur.

iRemarqueChamps magnétiques associés

Pour une OPPH, $B = \frac{u \land E}{c}$ où $u$ est le sens de propagation. L'onde incidente ( $u = - e_{x}$ ) donne

$B_{i} = \frac{- e _{x} \land E _{i}}{c} = - \frac{E _{0}}{c} cos (ω t + k x) e_{z},$

et l'onde réfléchie ( $u = + e_{x}$ ) donne

$B_{r} = \frac{e _{x} \land E _{r}}{c} = - \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) e_{z} .$

Contrairement au champ électrique, le champ magnétique se réfléchit sans inversion : le coefficient de réflexion en $B$ vaut $+ 1$ .

7.3 L'onde stationnaire résultante

7.3.1 Structure spatiale

En superposant onde incidente et onde réfléchie, on obtient le champ total dans le vide.

Démonstration (Champs totaux)

Pour le champ électrique :

$E = E_{i} + E_{r} = E_{0} [cos (ω t + k x) - cos (ω t - k x)] e_{y} .$

Avec $cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin a sin b$ (ici $a = ω t$ , $b = k x$ ) :

$E (x, t) = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y} .$

Pour le champ magnétique :

$B = B_{i} + B_{r} = - \frac{E _{0}}{c} [cos (ω t + k x) + cos (ω t - k x)] e_{z},$

et avec $cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b$ :

$B (x, t) = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) e_{z} .$

ImportantCaractère stationnaire

Dans ces deux expressions, les variables d'espace et de temps sont séparées : le champ s'écrit sous la forme (fonction de $x$ ) $\times$ (fonction de $t$ ). Il n'y a plus de terme en $ω t \pm k x$ : la structure spatiale est figée, seule son amplitude oscille dans le temps. C'est la signature d'une onde stationnaire. Aucune énergie ne se propage en moyenne.

Définition 7.3Nœud et ventre

Un nœud de vibration est un point où l'amplitude de la grandeur est constamment nulle ; un ventre est un point où cette amplitude est maximale.

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